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Jukkrit Daengsaen, Anchalee Khemphet, ”P-Iteration的收敛速度,SP-Iteration, D-Iteration不减少的连续函数在闭区间的方法”,抽象和应用分析, 卷。2018年, 文章的ID7345401, 6 页面, 2018年。 https://doi.org/10.1155/2018/7345401
P-Iteration的收敛速度,SP-Iteration, D-Iteration不减少的连续函数在闭区间的方法
Jukkrit Daengsaen1和 Anchalee Khemphet
2
1理学院数学系,清迈大学,50200年清迈,泰国
2卓越中心的数学和应用数学,数学系,理学院,50200年清迈,泰国清迈大学
文摘
我们引入一个新的迭代方法称为D-iteration近似不动点的任意闭区间上连续不减少的功能。目的是提高收敛速度比以前的工作。具体地说,我们的主要结果表明,D-iteration收敛速度比P-iteration SP-iteration不动点。因此,我们有D-iteration收敛速度比其他人在同样的计算成本。此外,模拟的收敛定理适用于D-iteration。
1。介绍
让 是一个闭区间。定义 是一个连续映射。一个点 据说是一个固定的点吗如果 。所有固定的点的集合用 。这是一个众所周知的事实如果间隔有一个定点是有界的。找到一个固定的角度的一种流行方式是一个迭代的方法。
1953年,曼1)提出了一个迭代,曼迭代,定义的 和 在哪里 和 。然后,一个两步迭代,石川迭代(2),在1974年引入和定义的 和 和 。两年后,罗迪斯[3)表明,曼恩和石川迭代收敛类的闭区间连续不减少的功能单元。接下来,Borwein和Borwein [4]证明了曼迭代收敛类的有界闭区间上的连续映射在1991年。2000年,努尔(5)引入了一个新的三步迭代法,努尔迭代,定义 和 在哪里 和 。然后,清和Qihou6)扩展罗迪斯的结果(3]和Borwein Borwein [4]在任意区间上连续函数的类在2006年。最重要的是,充分必要条件石川迭代的收敛于任意间隔。
2011年,Phuengrattana和Suantai [7]介绍了迭代,叫做SP-iteration,定义的 和 在哪里 和 。此外,这个三步迭代的收敛性适用于任意区间连续函数。此外,他们显示SP-iteration收敛速度比曼,石川,努尔迭代类的连续不减少的功能。
两年后,Kosol [8]研究S-iteration的收敛9)类的闭区间上连续不减少的功能。S-iteration首次引入了Agarwal et al。9),定义为 和 在哪里 和 。2015年,Sainuan [10)建造了一个新的迭代,叫做P-iteration,表明这类连续的迭代收敛速度比S-iteration不减少的功能。P-iteration被定义为 和 在哪里 和 。
出于以上的结果,我们定义D-iteration 和 在哪里 和 。
在这项工作中,我们给出一个D-iteration收敛的充分必要条件。然后,我们表明,D-iteration迭代收敛速度比其他类的连续不减少的功能。同时,数值例子是提供给支持我们的结果。
2。收敛性定理
在本节中,我们提供的收敛定理D-iteration类的任意闭区间上连续不减少的功能。首先,我们开始下面的引理。
引理1。让 是一个连续不减少的功能,让是一个序列定义为(7)。(我)如果 ,然后 对所有 和nonincreasing。(2)如果 ,然后 对所有 和不减少的。
证明。(我)的假设
。我们将显示
对所有
通过感应
。显然,这是真的
。假设
对于一些
。从(7),我们有
。自不减少的,
。的定义
,
。然后,
自不减少的。同样的,
最后,我们获得
。因此,
对所有
。此外,通过上面的证明,我们有
对所有
。因此,nonincreasing。
(2)证明可以做同样的(我)。
定理2。让 是一个连续不减少的功能,让是一个序列定义为(7), 和 。然后,是当且仅当它有界收敛于一个固定的点吗 。
证明。假设是有界的。首先,我们将证明它是收敛的。如果
,(7),我们获得
对所有
。因此,是收敛的。假设
。从引理1我们有,nonincreasing或不减少的。自是有界的,接下去是收敛的。假设收敛于对于一些
。接下来,我们将显示是一个不动点的
。自是连续的,是有界的,我们有吗是有界的,所以是谁
和
。请注意,
自
。
从(7),我们获得
自
,
,是连续的,我们获得了吗
因此,
。
相反,如果是收敛的,那么很明显,是有界的。
因此,可以看到从定理2D-iteration总是收敛于一个固定的角度 ,在哪里是一个连续函数定义在有界闭区间不减少的。
推论3。让 是一个连续不减少的功能,让是一个序列定义为(7), 和 。然后,收敛于一个固定的角度 。
3所示。收敛速度
为了证明我们的主要定理,我们首先定义如何比较两种迭代方法之间的收敛速度,然后给一些有用的词来完成我们的结果。
定义4。让 是一个连续函数,让和两个迭代收敛于同一点 。然后据说,收敛速度比吗如果 对所有 。
引理5。让 是一个连续不减少的功能,让是一个序列定义为(7)。假设存在一个点 。(我)如果 ,然后 对所有 。(2)如果 ,然后 对所有 。
证明。(我)让
。我们将展示的感应
对所有
。很明显,这是真的
。假设
对于一些
。自不减少的,
。的定义
,我们有
因此,
。同样的,
因此,
。从(7),我们获得
因此,
对所有
。
(2)通过使用相同的证明(i),做完了。
引理6。让 是一个连续不减少的功能,让 , ,和序列定义为(4),(6)和(7),分别为, 。(我)如果 ,然后 对所有 。(2)如果 ,然后 对所有 。
证明。(我)让
。首先,我们证明
对所有
通过归纳。很明显,这种不平等适用于这种情况
。假设
对于一些
。自不减少的,
。自
通过引理1(我),
。由此可见,
的定义
。从迭代(6)和(7),我们有
因此,
。因此,
。然后,
也就是说,
这意味着
。考虑
我们获得
。通过感应,我们可以得出这样的结论:
对所有
。接下来,我们证明
对所有
通过归纳。很明显,这是真的
。假设
对于一些
。然后
。自
我们有,
(见[7引理3.2(七))。从(4),
。自不减少的,
。的定义
,
。由(4)和(6),我们有
因此,
。自不减少的,
。然后,
也就是说,
。因此,
。考虑
我们有
。通过感应,我们可以得出这样的结论:
对所有
。
(2)通过使用类似的参数作为与引理(我)在一起1(2)和引理3.2(八)7),做完了。
命题7。让 是一个连续,不减少的功能非空的和有界。如果 和 ,然后定义为(7)不收敛到一个固定的角度 。
证明。假设 和 。然后,通过引理1(二),不减少的。自 ,接下去不收敛到一个固定的点 。
8号提案。让 是一个连续,不减少的功能非空的和有界。如果 和 ,然后定义为(7)不收敛到一个固定的角度 。
证明。假设 和 。然后,通过引理1(我),nonincreasing。自 ,不收敛到一个固定的点 。
2011年,Phuengrattana和Suantai [7)的收敛速度曼相比,石川,努尔SP-iteration迭代。四年后,Sainuan [10]研究了收敛速度P-iteration和S-iteration之间。他们的研究结果总结如下。
定理(见[97,10])。让 是一个连续,不减少的功能非空的和有界。相同的初始点 ,以下是满意。(我)石川迭代收敛于当且仅当曼迭代收敛于 。此外,石川迭代收敛速度比曼迭代。(2)努尔迭代收敛于当且仅当石川迭代收敛于 。此外,努尔迭代收敛速度比石川迭代。(3)SP-iteration收敛于当且仅当努尔迭代收敛于 。此外,SP-iteration收敛速度比努尔迭代。(iv)如果S-iteration收敛于 ,然后P-iteration收敛于 。此外,比S-iteration P-iteration收敛更快。
备注10。从定理9,可以得出这样的结论:SP-iteration比努尔,石川,曼迭代。然而,一个人可以得出不同的结论,如果我们考虑计算成本。(所11]3.3的话,SP-iteration正是三步曼迭代。因此,曼迭代收敛速度比努尔迭代和石川迭代下相同的计算成本,因为石川努尔迭代的迭代是一个特例。
接下来,我们比较D-iteration的收敛速度与SP-iteration P-iteration。
定理11。让 是一个连续,不减少的功能非空的和有界,让 。让 , ,和序列定义为(4),(6)和(7),分别为, 。然后,以下是满意。(我)如果P-iteration收敛于 ,然后D-iteration收敛于 。此外,比P-iteration D-iteration收敛更快。(2)如果SP-iteration收敛于 ,然后P-iteration收敛于 。此外,比SP-iteration P-iteration收敛更快。
证明。(我)认为P-iteration收敛于
。注意,如果
,那么我们就做完了。假设
。考虑以下两种情况。
情况下1(
)。如果
3.6,然后,通过命题的证明(10),接下去不收敛导致矛盾。因此,
。利用引理5(我)和引理6(我),我们获得
对所有
。这意味着
对所有
。假设,我们有收敛于
。此外,我们也有,D-iteration收敛速度比P-iteration
。
情况下2(
)。同样的,
因为如果
,然后不收敛3.5由命题的证明(10]。然后,通过前题5(2)和5 (ii),我们获得
对所有
。这意味着
对所有
。因此,D-iteration收敛速度比P-iteration ()
。
(2)假设SP-iteration收敛于
。通过使用相同的证明(我)一起命题3.5,在[7),引理5,引理6,得到期望的结果。
它遵循从定理9和11石川,D-iteration收敛速度比曼努尔,SP - S -, P-iterations类的连续不减少的功能。
评论12。因此从定理11,我们也可以得出这样的结论:D-iteration收敛速度比曼迭代和P-iteration在同样的计算成本。自S-iteration P-iteration是一个特例,曼迭代收敛速度比S-iteration在同样的计算成本。从评论10,我们有D-iteration比其他迭代尽管是否正在考虑计算成本。
接下来,我们给出数值例子的SP - P -,和D-iterations, 和 对所有 。
示例13。让 被定义为 。我们有是一个不减少的连续函数。考虑到初始点 。然后,P - SP -, D-iterations展示在表1,不动点 。可以看出D-iteration收敛速度比其他的迭代结果从定理11。此外,表2显示了每次迭代的收敛速度。注意,至少24步骤D-iteration必须计算获得不到一个错误 ,至少30步骤P-iteration SP-iteration超过32个步骤。事实上,至少有119 SP-iteration所需的步骤。
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例14。让 被定义为 。然后,是一个不减少的连续函数。考虑到初始点 。然后,表3提供了SP - P -, D-iterations定点的地方 。然后,D-iteration迭代收敛速度比其他满足定理11。此外,每次迭代的收敛速度表所示4。注意,至少87步D-iteration必须计算获得不到一个错误 P-iteration,至少113步,123步以上SP-iteration。准确地说,至少455 SP-iteration所需的步骤。
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15例。让 被定义为 。然后,是一个nonincreasing连续函数。考虑到初始点, 。然后,我们有SP - P -, D-iterations如表所示5,不动点 由NSolve命令在数学计算的准确性40位小数。一个可以看到D-iteration收敛速度比其他迭代。此外,每个迭代的收敛速度表6。结果,至少14步骤D-iteration必须计算获得不到一个错误 P-iteration至少28步骤,至少27 SP-iteration的步骤。
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因此,示例15表明这可能是真正的nonincreasing连续函数的类。这是开放的。此外,可以考虑一个迭代中更大的连续函数类。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
本研究是在清迈大学的支持下,泰国。
引用
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- m·a·努尔”新的近似方案一般变分不等式”,《数学分析和应用程序,卷251,不。1,第229 - 217页,2000。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
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- p . Sainuan”P-iteration收敛速度和S-iteration连续函数在闭区间,”泰国《数学,13卷,不。2、449 - 457年,2015页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
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