1。介绍让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1">
E米米l:米我><米米l:mo>
⊆米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
R米米l:米我>米米l:math>
是一个闭区间。定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2">
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
是一个连续映射。一个点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3">
p米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
据说是一个固定的点吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4">
f米米l:米我>米米l:mrow>
如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o><米米l:米o>
=米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我>米米l:math>
。所有固定的点的集合<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6">
f米米l:米我>米米l:mrow>
用<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7">
F米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o>米米l:math>
。这是一个众所周知的事实<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8">
f米米l:米我>米米l:mrow>
如果间隔有一个定点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9">
E米米l:米我>米米l:mrow>
是有界的。找到一个固定的角度的一种流行方式<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10">
f米米l:米我>米米l:mrow>
是一个迭代的方法。
1953年年年,曼
1)提出了一个迭代,曼迭代,定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11">
u米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12">
(1)米米l:米text>米ml:mtd>
u米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
u米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
u米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。然后,一个两步迭代,石川迭代(
2),在1974年引入和定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15">
p米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16">
(2)米米l:米text>米ml:mtd>
问米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
p米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
p米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
p米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
p米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
问米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。两年后,罗迪斯[
3)表明,曼恩和石川迭代收敛类的闭区间连续不减少的功能单元。接下来,Borwein和Borwein [
4]证明了曼迭代收敛类的有界闭区间上的连续映射在1991年。2000年,努尔(
5)引入了一个新的三步迭代法,努尔迭代,定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19">
v米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20">
(3)米米l:米text>米ml:mtd>
r米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
v米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
v米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
o米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
v米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
r米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
v米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
v米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
o米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。然后,清和Qihou
6)扩展罗迪斯的结果(
3]和Borwein Borwein [
4]在任意区间上连续函数的类在2006年。最重要的是,充分必要条件石川迭代的收敛于任意间隔。
2011年年年,Phuengrattana和Suantai [
7]介绍了迭代,叫做SP-iteration,定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23">
h米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24">
(4)米米l:米text>米ml:mtd>
b米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
h米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
h米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
b米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
b米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
h米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
l米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
l米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。此外,这个三步迭代的收敛性适用于任意区间连续函数。此外,他们显示SP-iteration收敛速度比曼,石川,努尔迭代类的连续不减少的功能。
两年后,Kosol [
8]研究S-iteration的收敛
9)类的闭区间上连续不减少的功能。S-iteration首次引入了Agarwal et al。
9),定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27">
d米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28">
(5)米米l:米text>米ml:mtd>
e米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
d米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
d米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
d米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
e米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。2015年,Sainuan [
10)建造了一个新的迭代,叫做P-iteration,表明这类连续的迭代收敛速度比S-iteration不减少的功能。P-iteration被定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31">
w米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32">
(6)米米l:米text>米ml:mtd>
t米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
w米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
w米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
年代米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
t米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
t米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
w米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
t米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
年代米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。
出于以上的结果,我们定义D-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35">
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
和<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36">
(7)米米l:米text>米ml:mtd>
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
y米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
1米米l:米n><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
y米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
β米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
,米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
∈米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0 1米米l:米n><米米l:米o stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。
在这项工作中,我们给出一个D-iteration收敛的充分必要条件。然后,我们表明,D-iteration迭代收敛速度比其他类的连续不减少的功能。同时,数值例子是提供给支持我们的结果。
年代ec><年代ec id="sec2">
2。收敛性定理在本节中,我们提供的收敛定理D-iteration类的任意闭区间上连续不减少的功能。首先,我们开始下面的引理。
<年代t一个te米ent我d="lem1">
引理1。让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39">
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是一个序列定义为(
7)。(我)
如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
<米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
nonincreasing。
(2)如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
>米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≥米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
不减少的。
证明。(我)的假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
<米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
。我们将显示<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
通过感应<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52">
n米米l:米我>米米l:mrow>
。显然,这是真的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53">
n米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:math>
。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55">
k米米l:米我><米米l:mo>
≥米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:math>
。从(
7),我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57">
f米米l:米我>米米l:mrow>
不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。的定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59">
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62">
f米米l:米我>米米l:mrow>
不减少的。同样的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
最后,我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。此外,通过上面的证明,我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67">
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
≤米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
k米米l:米我>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68">
k米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
nonincreasing。
(2)证明可以做同样的(我)。
年代t一个te米ent><年代tatement id="thm2">
定理2。让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70">
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是一个序列定义为(
7),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72">
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73">
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是当且仅当它有界收敛于一个固定的点吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75">
f米米l:米我>米米l:mrow>
。
年代t一个te米ent><年代tatement id="proof2">
证明。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是有界的。首先,我们将证明它是收敛的。如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
=米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
,(
7),我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78">
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79">
n米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck">
N米米l:米我>米米l:math>
。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是收敛的。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
≠米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
1米米l:米n>米米l:mrow>
。从引理
1我们有,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
nonincreasing或不减少的。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是有界的,接下去<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是收敛的。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86">
p米米l:米我>米米l:mrow>
对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87">
p米米l:米我><米米l:mo>
∈米米l:米o><米米l:米i>
E米米l:米我>米米l:math>
。接下来,我们将显示<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88">
p米米l:米我>米米l:mrow>
是一个不动点的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89">
f米米l:米我>米米l:mrow>
。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90">
f米米l:米我>米米l:mrow>
是连续的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是有界的,我们有吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92">
(米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>米米l:math>
是有界的,所以是谁<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o><米米l:米o>
,米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94">
(米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
y米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
)米米l:米o>米米l:math>
。请注意,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
(米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o><米米l:米o>
→米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我>米米l:math>
自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96">
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
→米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
。
从(
7),我们获得<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97">
(8)米米l:米text>米ml:mtd>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")">
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
+米米l:米o><米米l:米年代ub>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
y米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98">
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
→米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99">
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
→米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100">
f米米l:米我>米米l:mrow>
是连续的,我们获得了吗<米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101">
(9)米米l:米text>米ml:mtd>
0米米l:米n><米米l:米o>
=米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我><米米l:mo>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我><米米l:mo>
=米米l:米o><米米l:米under>
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
+米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
1米米l:米n>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米under>
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米年代ub>
z米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米i>
f米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")">
p米米l:米我>米米l:mrow>
- - - - - -米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我><米米l:mo>
。米米l:米o>米米l:mtd>
因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102">
f米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
)米米l:米o><米米l:米o>
=米米l:米o><米米l:米i>
p米米l:米我>米米l:math>
。
相反,如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是收敛的,那么很明显,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是有界的。
年代t一个te米ent>因此,可以看到从定理
2D-iteration总是收敛于一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105">
f米米l:米我>米米l:mrow>
,在那里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106">
f米米l:米我>米米l:mrow>
是一个连续函数定义在有界闭区间不减少的。
<年代t一个te米ent我d="coro3">
推论3。让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107">
f米米l:米我><米米l:mo>
:米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
一个米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o><米米l:米i>
b米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
]米米l:米o><米米l:米o>
→米米l:米o><米米l:米o stretchy="false">
(米米l:米o><米米l:米i>
一个米米l:米我><米米l:mo>
,米米l:米o><米米l:米i>
b米米l:米我><米米l:mo stretchy="false">
]米米l:米o>米米l:math>
是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
是一个序列定义为(
7),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109">
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
α米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110">
l米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
我米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal">
米米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我><米米l:mo>
→米米l:米o><米米l:米i>
∞米米l:米我>米米l:mrow>
γ米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
=米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal">
0米米l:米n>米米l:math>
。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111">
(米米l:米o><米米l:米年代ub>
x米米l:米我>米米l:mrow>
n米米l:米我>米米l:mrow>
)米米l:米o>米米l:math>
收敛于一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112">
f米米l:米我>米米l:mrow>
。
年代t一个te米ent>