AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409<我年代年代npub-type="ppub"> 1085 - 3375 Hindawi 10.1155 / 2018/7345401<一个rt我cle-id pub-id-type="publisher-id"> 7345401<一个rt我cle-categories> 研究文章 P-Iteration的收敛速度,SP-Iteration, D-Iteration不减少的连续函数在闭区间的方法 Daengsaen Jukkrit 1 http://orcid.org/0000 - 0002 - 2508 - 1738 Khemphet Anchalee 2 帝国 西缅 1<一个ddr- - - - - -l我ne> 数学系<一个ddr- - - - - -line> 理学院<一个ddr- - - - - -line> 清迈大学<一个ddr- - - - - -line> 清迈50200 泰国 cmu.ac.th 2<一个ddr- - - - - -l我ne> 卓越中心的数学和应用数学<一个ddr- - - - - -line> 数学系<一个ddr- - - - - -line> 理学院<一个ddr- - - - - -line> 清迈大学<一个ddr- - - - - -line> 清迈50200 泰国 cmu.ac.th 2018年 2<米onth>72018年年 2018年 02<米onth>032018年年 24<米onth>05年年2018年年 29日<米onth>05年年2018年年 2<米onth>72018年年 2018年 版权©2018 Jukkrit Daengsaen和Anchalee Khemphet。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们引入一个新的迭代方法称为D-iteration近似不动点的任意闭区间上连续不减少的功能。目的是提高收敛速度比以前的工作。具体地说,我们的主要结果表明,D-iteration收敛速度比P-iteration SP-iteration不动点。因此,我们有D-iteration收敛速度比其他人在同样的计算成本。此外,模拟的收敛定理适用于D-iteration。

清迈大学
1。介绍</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mo> ⊆</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个闭区间。定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续映射。一个点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>据说是一个固定的点吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。所有固定的点的集合<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>用<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。这是一个众所周知的事实<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果间隔有一个定点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是有界的。找到一个固定的角度的一种流行方式<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个迭代的方法。</p><p>1953年年年,曼<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 1</xref>)提出了一个迭代,曼迭代,定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,一个两步迭代,石川迭代(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 2</xref>),在1974年引入和定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。两年后,罗迪斯[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 3</xref>)表明,曼恩和石川迭代收敛类的闭区间连续不减少的功能单元。接下来,Borwein和Borwein [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 4</xref>]证明了曼迭代收敛类的有界闭区间上的连续映射在1991年。2000年,努尔(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 5</xref>)引入了一个新的三步迭代法,努尔迭代,定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> o</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> o</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,清和Qihou<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B9"> 6</xref>)扩展罗迪斯的结果(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 3</xref>]和Borwein Borwein [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 4</xref>]在任意区间上连续函数的类在2006年。最重要的是,充分必要条件石川迭代的收敛于任意间隔。</p><p>2011年年年,Phuengrattana和Suantai [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 7</xref>]介绍了迭代,叫做SP-iteration,定义的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。此外,这个三步迭代的收敛性适用于任意区间连续函数。此外,他们显示SP-iteration收敛速度比曼,石川,努尔迭代类的连续不减少的功能。</p><p>两年后,Kosol [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 8</xref>]研究S-iteration的收敛<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 9</xref>)类的闭区间上连续不减少的功能。S-iteration首次引入了Agarwal et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 9</xref>),定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。2015年,Sainuan [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 10</xref>)建造了一个新的迭代,叫做P-iteration,表明这类连续的迭代收敛速度比S-iteration不减少的功能。P-iteration被定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>出于以上的结果,我们定义D-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>在这项工作中,我们给出一个D-iteration收敛的充分必要条件。然后,我们表明,D-iteration迭代收敛速度比其他类的连续不减少的功能。同时,数值例子是提供给支持我们的结果。</p></年代ec><年代ec id="sec2"> <title>2。收敛性定理</t我tle><p>在本节中,我们提供的收敛定理D-iteration类的任意闭区间上连续不减少的功能。首先,我们开始下面的引理。</p><年代t一个te米ent我d="lem1"> <title>引理1。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list></p> <p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>nonincreasing。</p><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel><p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不减少的。</p></l我年代t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>(我)的假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。我们将显示<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>通过感应<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。显然,这是真的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。的定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的。同样的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>最后,我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。此外,通过上面的证明,我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>nonincreasing。</p><p>(2)证明可以做同样的(我)。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="thm2"> <title>定理2。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是当且仅当它有界收敛于一个固定的点吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof2"> <title>证明。</t我tle><p>假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是有界的。首先,我们将证明它是收敛的。如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是收敛的。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≠</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。从引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>我们有,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>nonincreasing或不减少的。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是有界的,接下去<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是收敛的。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。接下来,我们将显示<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不动点的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是有界的,我们有吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是有界的,所以是谁<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。请注意,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),我们获得<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的,我们获得了吗<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米under> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米under> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>相反,如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是收敛的,那么很明显,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是有界的。</p></年代t一个te米ent><p>因此,可以看到从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm2"> 2</xref>D-iteration总是收敛于一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个连续函数定义在有界闭区间不减少的。</p><年代t一个te米ent我d="coro3"> <title>推论3。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent></sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。收敛速度</t我tle><p>为了证明我们的主要定理,我们首先定义如何比较两种迭代方法之间的收敛速度,然后给一些有用的词来完成我们的结果。</p><年代t一个te米ent我d="deff1"> <title>定义4。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续函数,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>两个迭代收敛于同一点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>据说,收敛速度比吗<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米o> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="lem4"> <title>引理5。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)。假设存在一个点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list></p> <p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel><p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p></l我年代t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle><p>(我)让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。我们将展示的感应<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。很明显,这是真的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。的定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们有,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。同样的,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),我们获得<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>(2)通过使用相同的证明(i),做完了。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="lem5"> <title>引理6。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续不减少的功能,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xref>),(<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),分别为,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list></p> <p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel><p>如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p></l我年代t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle><p>(我)让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。首先,我们证明<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>通过归纳。很明显,这种不平等适用于这种情况<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>通过引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>(我),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。由此可见,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。从迭代(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。然后,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也就是说,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这意味着<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。考虑<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。通过感应,我们可以得出这样的结论:<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。接下来,我们证明<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>通过归纳。很明显,这是真的<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>我们有,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(见[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 7</xref>引理3.2(七))。从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xref>),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。的定义<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。由(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xref>),我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不减少的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。然后,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也就是说,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。考虑<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。通过感应,我们可以得出这样的结论:<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>(2)通过使用类似的参数作为与引理(我)在一起<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>(2)和引理3.2(八)<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 7</xref>),做完了。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="prop6"> <title>命题7。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续,不减少的功能<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>非空的和有界。如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)不收敛到一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof5"> <title>证明。</t我tle><p>假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。然后,通过引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>(二),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不减少的。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,接下去<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不收敛到一个固定的点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="prop7"> <title>8号提案。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续,不减少的功能<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>非空的和有界。如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>)不收敛到一个固定的角度<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof6"> <title>证明。</t我tle><p>假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。然后,通过引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>(我),<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>nonincreasing。自<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不收敛到一个固定的点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><p>2011年,Phuengrattana和Suantai [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 7</xref>)的收敛速度曼相比,石川,努尔SP-iteration迭代。四年后,Sainuan [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 10</xref>]研究了收敛速度P-iteration和S-iteration之间。他们的研究结果总结如下。</p><年代t一个te米ent我d="thm8"> <title>定理9(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B8 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 10])。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续,不减少的功能<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>非空的和有界。相同的初始点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,以下是满意。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list></p> <p>石川迭代收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当曼迭代收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,石川迭代收敛速度比曼迭代。</p><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel><p>努尔迭代收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当石川迭代收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,努尔迭代收敛速度比石川迭代。</p></l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <label>(3)</l一个bel><p>SP- - - - - -我ter一个t我on收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当努尔迭代收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,SP-iteration收敛速度比努尔迭代。</p></l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <label>(iv)</l一个bel><p>如果S-iteration收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后P-iteration收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,比S-iteration P-iteration收敛更快。</p></l我年代t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="rem1"> <title>备注10。</t我tle><p>从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm8"> 9</xref>,可以得出这样的结论:SP-iteration比努尔,石川,曼迭代。然而,一个人可以得出不同的结论,如果我们考虑计算成本。(所<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 11</xref>]3。3的话,SP-iteration正是三步曼迭代。因此,曼迭代收敛速度比努尔迭代和石川迭代下相同的计算成本,因为石川努尔迭代的迭代是一个特例。</p></年代t一个te米ent><p>接下来,我们比较D-iteration的收敛速度与SP-iteration P-iteration。</p><年代t一个te米ent我d="thm9"> <title>定理11。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个连续,不减少的功能<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>非空的和有界,让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>序列定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xref>),(<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xref>),分别为,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,以下是满意。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list></p> <p>如果P-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后D-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,比P-iteration D-iteration收敛更快。</p><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel><p>如果SP-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后P-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,比SP-iteration P-iteration收敛更快。</p></l我年代t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle><p>(我)认为P-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。注意,如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,那么我们就做完了。假设<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。考虑以下两种情况。</p><p><我t一个l我c> 情况下</我t一个l我c><我t一个l我c> 1</我t一个l我c>(<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>)。如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>3.6,然后,通过命题的证明(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 10</xref>),接下去<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不收敛<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>导致矛盾。因此,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。利用引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem4"> 5</xref>(我)和引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem5"> 6</xref>(我),我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这意味着<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米o> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。假设,我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,我们也有,D-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛速度比P-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。</p><p><我t一个l我c> 情况下</我t一个l我c><我t一个l我c> 2</我t一个l我c>(<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>)。同样的,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ></米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>因为如果<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>不收敛<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>3.5由命题的证明(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 10</xref>]。然后,通过前题<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem4"> 5</xref>(2)和5 (ii),我们获得<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这意味着<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米o> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此,D-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛速度比P-iteration (<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>(2)假设SP-iteration<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。通过使用相同的证明(我)一起命题3.5,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:mn> 3所示。6</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 7</xref>),引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem4"> 5</xref>,引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem5"> 6</xref>,得到期望的结果。</p></年代t一个te米ent><p>它遵循从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm8"> 9</xref>和<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm9"> 11</xref>石川,D-iteration收敛速度比曼努尔,SP - S -, P-iterations类的连续不减少的功能。</p><年代t一个te米ent我d="rem2"> <title>评论12。</t我tle><p>因此从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm9"> 11</xref>,我们也可以得出这样的结论:D-iteration收敛速度比曼迭代和P-iteration在同样的计算成本。自S-iteration P-iteration是一个特例,曼迭代收敛速度比S-iteration在同样的计算成本。从评论<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="rem1"> 10</xref>,我们有D-iteration比其他迭代尽管是否正在考虑计算成本。</p></年代t一个te米ent><p>接下来,我们给出数值例子的SP - P -,和D-iterations,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>对所有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><年代t一个te米ent我d="ex1"> <title>示例13。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0,8</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0,8</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代qrt> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 5</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们有<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不减少的连续函数。考虑到初始点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 6</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后,P - SP -, D-iterations展示在表<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab1"> 1</xref>,不动点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。可以看出D-iteration收敛速度比其他的迭代结果从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm9"> 11</xref>。此外,表<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab2"> 2</xref>显示了每次迭代的收敛速度。注意,至少24步骤D-iteration必须计算获得不到一个错误<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,至少30步骤P-iteration SP-iteration超过32个步骤。事实上,至少有119 SP-iteration所需的步骤。</p></年代t一个te米ent><table-wrap id="tab1"> <label>表1</l一个bel><p>SP- - - - - -P- - - - - -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代qrt> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><tdcol年代p一个n="2" align="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">5</td><td一个l我gn="center">4.089767594</td><td一个l我gn="center">2.761477135</td><td一个l我gn="center">1.948539462</td><td一个l我gn="center">4.20216 e-01</td></tr><tr> <td align="left">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td></tr><tr> <td align="left">15</td><td一个l我gn="center">1.379380405</td><td一个l我gn="center">1.000194745</td><td一个l我gn="center">1.000004283</td><td一个l我gn="center">3.67813 e-01</td></tr><tr> <td align="left">16</td><td一个l我gn="center">1.295812521</td><td一个l我gn="center">1.000072757</td><td一个l我gn="center">1.000001234</td><td一个l我gn="center">3.64817 e-01</td></tr><tr> <td align="left">17</td><td一个l我gn="center">1.230394331</td><td一个l我gn="center">1.000027194</td><td一个l我gn="center">1.000000357</td><td一个l我gn="center">3.62012 e-01</td></tr><tr> <td align="left">18</td><td一个l我gn="center">1.179372155</td><td一个l我gn="center">1.000010168</td><td一个l我gn="center">1.000000103</td><td一个l我gn="center">3.59376 e-01</td></tr><tr> <td align="left">19</td><td一个l我gn="center">1.139668491</td><td一个l我gn="center">1.000003803</td><td一个l我gn="center">1.000000030</td><td一个l我gn="center">3.56890 e-01</td></tr><tr> <td align="left">20.</td><td一个l我gn="center">1.108810300</td><td一个l我gn="center">1.000001423</td><td一个l我gn="center">1.000000009</td><td一个l我gn="center">3.54539 e-01</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab2"> <label>表2</l一个bel><p>SP- - - - - -的收敛速度,P -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代qrt> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn> 8</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><td一个l我gn="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">23</td><td一个l我gn="center">5.1733132295 e-02</td><td一个l我gn="center">7.4597958699 e-08</td><td一个l我gn="center">2.1734436473平台以及</td></tr><tr> <td align="left">24</td><td一个l我gn="center">4.0468736811 e-02</td><td一个l我gn="center">2.7929774493 e-08</td><td一个l我gn="center">6.3705707376 e-11</td></tr><tr> <td align="left">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td></tr><tr> <td align="left">29日</td><td一个l我gn="center">1.2079291278 e-02</td><td一个l我gn="center">2.0582890947平台以及</td><td一个l我gn="center">1.4099832413 e-13</td></tr><tr> <td align="left">30.</td><td一个l我gn="center">9.5201332284 e 03</td><td一个l我gn="center">7.7109207908 e-11</td><td一个l我gn="center">4.1744385726 e-14</td></tr><tr> <td align="left">31日</td><td一个l我gn="center">7.5121079051 e 03</td><td一个l我gn="center">2.8889335368 e-11</td><td一个l我gn="center">1.2212453271 e-14</td></tr><tr> <td align="left">32</td><td一个l我gn="center">5.9345143329 e 03</td><td一个l我gn="center">1.0824230401 e-11</td><td一个l我gn="center">3.5527136788 e15汽油</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <statement id="ex2"> <title>例14。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 10、5</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 10、5</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> c</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.2</米米l:米n><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个不减少的连续函数。考虑到初始点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后,表<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab3"> 3</xref>提供了SP - P -, D-iterations定点的地方<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n><米米l:米i> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 15</米米l:米n><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 7.1460183660</米米l:米n><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。然后,D-iteration迭代收敛速度比其他满足定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm9"> 11</xref>。此外,每次迭代的收敛速度表所示<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab4"> 4</xref>。注意,至少87步D-iteration必须计算获得不到一个错误<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>P-iteration,至少113步,123步以上SP-iteration。准确地说,至少455 SP-iteration所需的步骤。</p></年代t一个te米ent><table-wrap id="tab3"> <label>表3</l一个bel><p>SP- - - - - -P- - - - - -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> c</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.2</米米l:米n><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><tdcol年代p一个n="2" align="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">87年</td><td一个l我gn="center">-7.1308754582</td><td一个l我gn="center">-7.1460183352</td><td一个l我gn="center">-7.1460183659</td><td一个l我gn="center">1.92024 e-11</td></tr><tr> <td align="left">88年</td><td一个l我gn="center">-7.1317558732</td><td一个l我gn="center">-7.1460183413</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">1.44693 e-11</td></tr><tr> <td align="left">89年</td><td一个l我gn="center">-7.1325837416</td><td一个l我gn="center">-7.1460183463</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">1.09042 e-11</td></tr><tr> <td align="left">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td></tr><tr> <td align="left">113年</td><td一个l我gn="center">-7.1427309049</td><td一个l我gn="center">-7.1460183659</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">1.24345 e-14</td></tr><tr> <td align="left">114年</td><td一个l我gn="center">-7.1429149653</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">9.76996 e15汽油</td></tr><tr> <td align="left">115年</td><td一个l我gn="center">-7.1430884985</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">-7.1460183660</td><td一个l我gn="center">7.10543 e15汽油</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab4"> <label>表4</l一个bel><p>SP- - - - - -的收敛速度,P -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> c</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.2</米米l:米n><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><td一个l我gn="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">86年</td><td一个l我gn="center">1.6079317678 e-02</td><td一个l我gn="center">3.8590673768 e-08</td><td一个l我gn="center">1.2743317512平台以及</td></tr><tr> <td align="left">87年</td><td一个l我gn="center">1.5142907816 e-02</td><td一个l我gn="center">3.0871461831 e-08</td><td一个l我gn="center">9.6013863526 e-11</td></tr><tr> <td align="left">88年</td><td一个l我gn="center">1.4262492814 e-02</td><td一个l我gn="center">2.4696326761 e-08</td><td一个l我gn="center">7.2347461355 e-11</td></tr><tr> <td align="left">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td></tr><tr> <td align="left">112年</td><td一个l我gn="center">3.4827043677 e 03</td><td一个l我gn="center">1.1655210130平台以及</td><td一个l我gn="center">8.3488771452 e-14</td></tr><tr> <td align="left">113年</td><td一个l我gn="center">3.2874611183 e 03</td><td一个l我gn="center">9.3240970500 e-11</td><td一个l我gn="center">6.3948846218 e-14</td></tr><tr> <td align="left">114年</td><td一个l我gn="center">3.1034007327 e 03</td><td一个l我gn="center">7.4591888222 e-11</td><td一个l我gn="center">4.7961634664 e-14</td></tr><tr> <td align="left">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td><td一个l我gn="center">…</td></tr><tr> <td align="left">121年</td><td一个l我gn="center">2.0776963242 e 03</td><td一个l我gn="center">1.5641710149 e-11</td><td一个l我gn="center">7.1054273576 e15汽油</td></tr><tr> <td align="left">122年</td><td一个l我gn="center">1.9625188948 e 03</td><td一个l我gn="center">1.2514433934 e-11</td><td一个l我gn="center">6.2172489379 e15汽油</td></tr><tr> <td align="left">123年</td><td一个l我gn="center">1.8538565287 e 03</td><td一个l我gn="center">1.0011547147 e-11</td><td一个l我gn="center">6.2172489379 e15汽油</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <statement id="ex3"> <title>15例。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0、5</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0、5</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被定义为<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.5</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个nonincreasing连续函数。考虑到初始点,<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后,我们有SP - P -, D-iterations如表所示<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab5"> 5</xref>,不动点<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.6411857445</米米l:米n><米米l:米o> …</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>由NSolve命令在数学计算的准确性40位小数。一个可以看到D-iteration收敛速度比其他迭代。此外,每个迭代的收敛速度表<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab6"> 6</xref>。结果,至少14步骤D-iteration必须计算获得不到一个错误<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>P-iteration至少28步骤,至少27 SP-iteration的步骤。</p></年代t一个te米ent><table-wrap id="tab5"> <label>表5</l一个bel><p>SP- - - - - -P- - - - - -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.5</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><tdcol年代p一个n="2" align="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M325"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M326"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M327"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M328"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">10</td><td一个l我gn="center">0.6412050446</td><td一个l我gn="center">0.6410282913</td><td一个l我gn="center">0.6411857269</td><td一个l我gn="center">2.54983 e-08</td></tr><tr> <td align="left">11</td><td一个l我gn="center">0.6411940179</td><td一个l我gn="center">0.6412543436</td><td一个l我gn="center">0.6411857479</td><td一个l我gn="center">4.90076 e-09</td></tr><tr> <td align="left">12</td><td一个l我gn="center">0.6411893615</td><td一个l我gn="center">0.6411557546</td><td一个l我gn="center">0.6411857438</td><td一个l我gn="center">9.59270平台以及</td></tr><tr> <td align="left">13</td><td一个l我gn="center">0.6411873528</td><td一个l我gn="center">0.6411988907</td><td一个l我gn="center">0.6411857446</td><td一个l我gn="center">1.90767平台以及</td></tr><tr> <td align="left">14</td><td一个l我gn="center">0.6411864703</td><td一个l我gn="center">0.6411799699</td><td一个l我gn="center">0.6411857445</td><td一个l我gn="center">3.84718 e-11</td></tr><tr> <td align="left">15</td><td一个l我gn="center">0.6411860764</td><td一个l我gn="center">0.6411882852</td><td一个l我gn="center">0.6411857445</td><td一个l我gn="center">7.85594 e-12</td></tr><tr> <td align="left">16</td><td一个l我gn="center">0.6411858981</td><td一个l我gn="center">0.6411846252</td><td一个l我gn="center">0.6411857445</td><td一个l我gn="center">1.62237 e-12</td></tr><tr> <td align="left">17</td><td一个l我gn="center">0.6411858163</td><td一个l我gn="center">0.6411862382</td><td一个l我gn="center">0.6411857445</td><td一个l我gn="center">3.38507 e-13</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab6"> <label>表6</l一个bel><p>SP- - - - - -的收敛速度,P -, D-iterations<我nl我ne- - - - - -for米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M329"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0.5</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble><tbody> <tr> <td align="left"></td> <td align="center">SP</td><td一个l我gn="center">P</td><td一个l我gn="center">D-iteration</td></tr><tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">n</td><td一个l我gn="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M330"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M331"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M332"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> |</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td colspan="4"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">13</td><td一个l我gn="center">1.608284337 e-06</td><td一个l我gn="center">1.314622597 e-05</td><td一个l我gn="center">1.320704657平台以及</td></tr><tr> <td align="left">14</td><td一个l我gn="center">7.258204218 e-07</td><td一个l我gn="center">5.774555100 e-06</td><td一个l我gn="center">2.663447241 e-11</td></tr><tr> <td align="left">15</td><td一个l我gn="center">3.319134519 e-07</td><td一个l我gn="center">2.540677713 e-06</td><td一个l我gn="center">5.438760553 e-12</td></tr><tr> <td align="left">16</td><td一个l我gn="center">1.535913483 e-07</td><td一个l我gn="center">1.119313535 e-06</td><td一个l我gn="center">1.123212634 e-12</td></tr><tr> <td align="left">17</td><td一个l我gn="center">7.184125961 e-08</td><td一个l我gn="center">4.936533222 e-07</td><td一个l我gn="center">2.343680805 e-13</td></tr><tr> <td align="left">18</td><td一个l我gn="center">3.393466175 e-08</td><td一个l我gn="center">2.179109104 e-07</td><td一个l我gn="center">4.940492460 e-14</td></tr><tr> <td align="left">19</td><td一个l我gn="center">1.617459799 e-08</td><td一个l我gn="center">9.626305075 e-08</td><td一个l我gn="center">1.043609643 e-14</td></tr><tr> <td align="left">20.</td><td一个l我gn="center">7.774100030 e-09</td><td一个l我gn="center">4.255138120 e-08</td><td一个l我gn="center">2.331468352 e15汽油</td></tr><tr> <td align="left">21</td><td一个l我gn="center">3.765638468 e-09</td><td一个l我gn="center">1.881918510 e-08</td><td一个l我gn="center">4.440892099 e-16</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <p>因此,示例<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="ex3"> 15</xref>表明这可能是真正的nonincreasing连续函数的类。这是开放的。此外,可以考虑一个迭代中更大的连续函数类。</p></年代ec><b一个ck> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle><p>没有数据被用来支持本研究。</p></年代ec><年代ec> <title>的利益冲突</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p></年代ec><一个ck> <title>确认</t我tle><p>本研究是在清迈大学的支持下,泰国。</p></一个ck><ref- - - - - -l我年代t> <ref id="B6" content-type="article"> <label>1</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 曼恩</年代urn一个米e><given-names> w·R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 平均值方法迭代</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我t一个l我c><ye一个r> 1953年</ye一个r><volu米e> 4</volu米e><fp一个ge> 506年</fp一个ge> <lpage> 510年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2032162</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR0054846</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0050.11603</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84968518052</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 1953 - 0054846 - 3</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>2</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 石川</年代urn一个米e><given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 固定的点由一个新的迭代方法</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我t一个l我c><ye一个r> 1974年</ye一个r><volu米e> 44</volu米e><fp一个ge> 147年</fp一个ge> <lpage> 150年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2039245</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - 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247 (76)90038 - x</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR0430880</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0353.47029</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0001578522</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>4</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Borwein</年代urn一个米e><given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> Borwein</年代urn一个米e><given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点迭代对真正的功能</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 1991年</ye一个r><volu米e> 157年</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 112年</fp一个ge> <lpage> 126年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 247 x (91) 90139 - q</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1109446</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0742.26006</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>5</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</年代urn一个米e><given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的近似方案一般变分不等式</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 2000年</ye一个r><volu米e> 251年</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 217年</fp一个ge> <lpage> 229年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.2000.7042</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1790406</pub- - - - 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