稳定沃尔泰拉线性差分方程在巴拿赫空间中

文摘

本文致力于研究隐式沃尔泰拉的存在性和稳定性差分方程在巴拿赫空间中。证明我们的结果由使用一个适当的扩展沃尔泰拉的冻结方法差分方程在巴拿赫空间中。此外,锋利的显式的稳定性条件。

1。介绍

在本文中,我们研究解的存在性和稳定性的一类抽象函数差分方程所描述的形式 巴拿赫空间( ), ,有限的空间序列配备标准在 ,和 是一个函数上定义 ,其值是有界的运营商 。此外,对于任何固定的整数 , 可和和有界吗 ,非负整数的集合。

一个解决方案(1)是一个序列上定义和令人满意的(1对所有有限) 。解的存在性和稳定性的研究内隐沃尔泰拉nonconvolution类型的差分方程,定义在抽象的空间,是一个复杂的问题。然而,随着适当的条件和 ,一个可以使用的冻结方法抽象沃尔泰拉差分方程,因此,克服困难。

存在性和唯一性问题沃尔泰拉差分方程讨论了一些作者(例如,看到1,2])。沃尔泰拉差分方程的存在性和稳定性已经被许多作者研究(Federson et al。3],村上和Nagabuchi [4),Gyori和霍5],明加莱利副总司长[1),冈萨雷斯et al。6),Kolmanovskii et al。7),歌曲和贝克(8])。

的主要技术理论沃尔泰拉差分方程的稳定性和有界性是直接李雅普诺夫方法和它的变体。相反,许多李雅普诺夫函数的替代方法已经成功地应用于沃尔泰拉差分方程的稳定性分析;例如,在Federson et al。3),Kurzweil-Henstok积分形式应用于建立存在沃尔泰拉积分方程的解决方案的类型。在村上和Nagabuchi [4),足够的稳定特性和沃尔泰拉线性差分方程的渐近几乎周期性巴拿赫空间。冈萨雷斯et al。6)被认为是一个隐式沃尔泰拉在希尔伯特空间差分方程,得到的解存在的充分条件,所以,一个有界的行为。考虑的系数方程的实数序列。对明加莱利副总司长(1],Volterra-Stieltjes积分方程进行了研究,这可以视为广义沃尔泰拉差分方程。Banas和Sadarangani [2),一类operator-integral方程Volterra-Stieltjes类型创建一个泛化的众多积分方程出现在数学研究文学。在Gyori和霍5),提出了充分条件下解决nonconvolution沃尔泰拉线性差分方程的收敛到极限,给出了极限公式。在Kolmanovskii et al。7),某些类别的标量沃尔泰拉的稳定性和有界性问题非线性差分方程。其稳定性条件制定的特征方程。宋、贝克(8),不动点理论是用于建立稳定性的充分条件,以确保一个隐式非线性沃尔泰拉差分方程的零解。然而,在上述文章中,沃尔泰拉方程与卷积核主要是考虑。

本文制定了沃尔泰拉在相空间离散方程 ,在那里是一个适当的希尔伯特空间,并假设内核操作符是完全连续的,我们获得足够的条件存在性和唯一性问题。建议的方法是基于抽象的“冻结”法差分方程(麦地那和吉尔”[9]),铅笔的概念以及分析(分析算子函数的复杂的参数)。见,例如,(10- - - - - -13]。在麦地那14),一类非线性离散时间沃尔泰拉方程在巴拿赫空间被认为是。利用线性化方法,建立了存在性和有界性的充分条件。事实上,假设内核是因果运营商,解的存在性和有界性。因此,方法和相应的结果(14)相比,本文的结果完全不同。

考虑一个重视Volterra-Stieltjes方程形式 在哪里 和 。方程的解是一个函数 ,这是在本地可积Riemann-Stieltjes意义上。

如果 , ,因为 ,然后我们可以限制我们的注意功能 这是分段常数 为 , 。我们可以找出这样的一个函数用一个序列在空间 。在这种情况下,Volterra-Stieltjes原始方程等价于一个沃尔泰拉差分方程 因此,(1,2,15,16非常适合我们的研究。

备注1。我们想要指出,介绍了冻结法在v . m . Alekseev线性常微分方程(见Bylov et al。17])和扩展到不同系统由吉尔和麦地那(18]。

我们本文的目的是为理论的发展做出新的贡献的存在和定性属性的解决方案nonconvolution沃尔泰拉差分方程描述了沃尔泰拉运营商在巴拿赫空间中。

本文的其余部分组织如下:在部分2我们建立一个初步的结果,一个类卷积沃尔泰拉的差分方程将制定相应的基础nonconvolution问题在巴拿赫空间中。节3,解的存在性和稳定性的充分条件nonconvolution沃尔泰拉建立了差分方程。节4,我们说明了主要结果研究一个有趣的问题。最后,部分5致力于我们的讨论结果。

2。初步结果

为了证明我们的主要结果,方便建立一些已知的一类卷积沃尔泰拉差分方程定性结果(见[7,8,11,19- - - - - -25])。

让 ,巴拿赫空间中有界的线性算子与规范 。

考虑到卷积沃尔泰拉差分方程 在哪里 , , 是一个给定的序列。

假设 和 。

解决(4),将 考虑方程 在一个社区零,让 有限是可逆的。然后 因此,多次无限可微是零。

区分(6)次,我们得到 自 ,替换 到后来的平等,我们获得以下关系: 在哪里 。因此,我们到达(7)。因此,序列 是一个解决方案(7)。根据(7),我们得到 由于柯西公式 在哪里是一个光滑的轮廓周围零,提供了吗 有限是可逆的,定期在和 。因此,可以建立下一个结果。

定理2(见[19,25])。内部和 ,让 有限可逆的,是常规的。然后的溶液(4)是由公式(11)。

备注3。定理2将发挥基础性作用建立nonconvolution方程的解的存在性和稳定性(1)。在这一过程中,我们将使用冷冻方法。

定义4(见[7,8,22- - - - - -24])。我们会说,(1)是稳定的,如果任何 ,解决方案(1)满足不平等 的常数不依赖于
让是一个可分离的希尔伯特空间一个线性紧凑的运营商 。如果是一个正交基和系列收敛,然后系列的总和叫做操作员的痕迹和用

定义5(见[20.,26])。一个操作员令人满意的关系 据说是一个Hilbert-Schmidt运营商,在哪里伴随运营商吗 。
一种常态 被称为Hilbert-Schmidt规范的 。

定义6(见[20.,26])。一个有界的线性算子据说是quasi-Hermitian如果其虚构的组件 是一个Hilbert-Schmidt运营商,在哪里伴随运营商吗 。

定理7(见[17,19,26])。让Hilbert-Schmidt完全连续quasinilpotent(沃尔泰拉)算子作用可分希尔伯特空间 。那么不平等 是真的。

3所示。主要结果

现在,我们能够建立解的存在性和稳定性的充分条件(1)。

认为,对于任何固定的整数 , 是可和和有界 。此外,假设存在一个非负常数这样 (下17),这个函数 对于一个固定的整数 ,承认变换 ,在那里的收敛半径 。此外,假定操作员 所有有限可逆吗在一个社区为零。

介绍了格林函数

定理8。在假设(17),让 然后(1)是稳定的。此外,常数在(12下面明确指出)。

证明。考虑卷积方程 与一个固定的整数 。
解决方案(20.)可以写成 通过离散格林函数 定义。
现在,重写(20.)的形式 在哪里 因此,根据(21), 在哪里 。
表示 因此,我们得到 由于(22), 由(24),我们有 取 ;然后 因此 因此,对于任何 , 在哪里 。
另一方面,条件 意味着 因为右边并不取决于 ,条件(12)之前 。
解决方案的存在是由于纽曼级数的收敛性 在哪里 前提是 对于任何固定的整数 。事实上,(1)操作符形式重写 因此 这个收益率 自是一个quasinilpotent Hilbert-Schmidt算子,它遵循由[19,25), 因此,诺伊曼系列是收敛的。

备注9。沃尔泰拉差分方程的稳定性理论认为,例如,通过歌曲和贝克8],明加莱利副总司长[1],冈萨雷斯et al。6]。然而,没有以前“冻结”的方法来研究系统在巴拿赫空间沃尔泰拉的定性性质不同。因此,本文的理论贡献显著。

4所示。例子

为了说明的主要结果,考虑中这个方程 在哪里一个变量有界算子在吗令人满意的 取 。然后,通过(41), 我们也有 这个关系收益 另一方面, 在哪里 如果 ,让要有规律、 然后 因此,

定理10。条件下(42),一个积极的和所有 ,与 ,让要有规律、 。然后(40)是稳定的。

例如,如果 ,在那里是一个常数算子,然后条件(41)持有 自 采取 。然后,通过(41), 因此,每一个语句的定理10很容易验证。

5。结束语

沃尔泰拉差分方程的稳定性问题nonconvolution类型在无限维希尔伯特空间是比这更复杂的方程(一个有限维欧氏空间)。然而,随着适当的条件和 ,一个可以使用的冻结方法抽象的差分方程,因此,克服困难。事实上,考虑到时间作为一个参数,我们获得无限卷积沃尔泰拉家族的差分方程。因此,采用冻结法,我们推导出定性属性对应nonconvolution沃尔泰拉差分方程和卷积原始方程。另一方面,研究存在的解决方案这种隐式沃尔泰拉的差分方程是一个复杂的问题。我们证明存在的解决方案是使用纽曼级数的收敛quasinilpotent Hilbert-Schmidt运营商(27]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究受到了Direccion de Investigacion格兰特NU06/16之下。

引用

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