AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409<我年代年代npub-type="ppub"> 1085 - 3375 Hindawi 10.1155 / 2018/3905632<一个rt我cle-id pub-id-type="publisher-id"> 3905632<一个rt我cle-categories> 研究文章 稳定沃尔泰拉线性差分方程在巴拿赫空间中 http://orcid.org/0000 - 0002 - 1392 - 8049 麦地那 Rigoberto 1 春 Changbum Departamento de Ciencias正序连赢<一个ddr- - - - - -line> 拉各斯大学<一个ddr- - - - - -line> Casilla 933<一个ddr- - - - - -line> Osorno 智利 ulagos.cl 2018年 1 3 2018年 2018年 27 10 2017年 23 12 2017年 16 01 2018年 1 3 2018年 2018年 版权©2018 Rigoberto麦地那。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。 本文致力于研究隐式沃尔泰拉的存在性和稳定性差分方程在巴拿赫空间中。证明我们的结果由使用一个适当的扩展沃尔泰拉的冻结方法差分方程在巴拿赫空间中。此外,锋利的显式的稳定性条件。 Direccion de Investigacion NU06/16 1。介绍</t我tle><p>在本文中,我们研究解的存在性和稳定性的一类抽象函数差分方程所描述的形式<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>巴拿赫空间(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>),<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,有限的空间序列配备标准<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个函数上定义<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,其值是有界的运营商<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,对于任何固定的整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可和和有界吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>非负整数的集合。</p><p>一个解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)是一个序列上定义<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和令人满意的(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>对所有有限)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。解的存在性和稳定性的研究内隐沃尔泰拉nonconvolution类型的差分方程,定义在抽象的空间,是一个复杂的问题。然而,随着适当的条件<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,一个可以使用的冻结方法抽象沃尔泰拉差分方程,因此,克服困难。</p><p>存在性和唯一性问题沃尔泰拉差分方程讨论了一些作者(例如,看到<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 2</xref>])。沃尔泰拉差分方程的存在性和稳定性已经被许多作者研究(Federson et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 3</xref>],村上和Nagabuchi [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 4</xref>),Gyor我和霍<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 5</xref>],明加莱利副总司长[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),冈萨雷斯et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>),Kolmanovskii et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),歌曲和贝克(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>])。</p><p>的主要技术理论沃尔泰拉差分方程的稳定性和有界性是直接李雅普诺夫方法和它的变体。相反,许多李雅普诺夫函数的替代方法已经成功地应用于沃尔泰拉差分方程的稳定性分析;例如,在Federson et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 3</xref>),Kurzweil-Henstok积分形式应用于建立存在沃尔泰拉积分方程的解决方案的类型。在村上和Nagabuchi [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 4</xref>),足够的稳定特性和沃尔泰拉线性差分方程的渐近几乎周期性巴拿赫空间。冈萨雷斯et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>)被认为是一个隐式沃尔泰拉在希尔伯特空间差分方程,得到的解存在的充分条件,所以,一个有界的行为。考虑的系数方程的实数序列。对明加莱利副总司长(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>],Volterra-Stieltjes积分方程进行了研究,这可以视为广义沃尔泰拉差分方程。Banas和Sadarangani [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 2</xref>),一类operator-integral方程Volterra-Stieltjes类型创建一个泛化的众多积分方程出现在数学研究文学。在Gyori和霍<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 5</xref>),提出了充分条件下解决nonconvolution沃尔泰拉线性差分方程的收敛到极限,给出了极限公式。在Kolmanovskii et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),某些类别的标量沃尔泰拉的稳定性和有界性问题非线性差分方程。其稳定性条件制定的特征方程。宋、贝克(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>),不动点理论是用于建立稳定性的充分条件,以确保一个隐式非线性沃尔泰拉差分方程的零解。然而,在上述文章中,沃尔泰拉方程与卷积核主要是考虑。</p><p>本文制定了沃尔泰拉在相空间离散方程<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个适当的希尔伯特空间,并假设内核操作符是完全连续的,我们获得足够的条件存在性和唯一性问题。建议的方法是基于抽象的“冻结”法差分方程(麦地那和吉尔”[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]),铅笔的概念以及分析(分析算子函数的复杂的参数)。见,例如,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 10</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]。在麦地那<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B25"> 14</xref>),一类非线性离散时间沃尔泰拉方程在巴拿赫空间被认为是。利用线性化方法,建立了存在性和有界性的充分条件。事实上,假设内核是因果运营商,解的存在性和有界性。因此,方法和相应的结果(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - - - - -type="bibr" rid="B25"> 14</xref>)相比,本文的结果完全不同。</p><p>考虑一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>重视Volterra-Stieltjes方程形式<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mfenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mfenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> →</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。方程的解是一个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,这是在本地<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可积Riemann-Stieltjes意义上。</p><p>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,然后我们可以限制我们的注意功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这是分段常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。我们可以找出这样的一个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>用一个序列<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在空间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在这种情况下,Volterra-Stieltjes原始方程等价于一个沃尔泰拉差分方程<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2、3</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 2</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B26"> 15</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B27"> 16</xref>非常适合我们的研究。</p><年代t一个tement id="rem1"> <title>备注1。</t我tle><p>我们想要指出,介绍了冻结法在v . m . Alekseev线性常微分方程(见Bylov et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B14"> 17</xref>])和扩展到不同系统由吉尔和麦地那(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B22"> 18</xref>]。</p></年代t一个tement> <p>我们本文的目的是为理论的发展做出新的贡献的存在和定性属性的解决方案nonconvolution沃尔泰拉差分方程描述了沃尔泰拉运营商在巴拿赫空间中。</p><p>本文的其余部分组织如下:在部分<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec2"> 2</xref>我们建立一个初步的结果,一个类卷积沃尔泰拉的差分方程将制定相应的基础nonconvolution问题在巴拿赫空间中。节<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec3"> 3</xref>,解的存在性和稳定性的充分条件nonconvolution沃尔泰拉建立了差分方程。节<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec4"> 4</xref>,我们说明了主要结果研究一个有趣的问题。最后,部分<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec5"> 5</xref>致力于我们的讨论结果。</p></年代ec><年代ec id="sec2"> <title>2。初步结果</t我tle><p>为了证明我们的主要结果,方便建立一些已知的一类卷积沃尔泰拉差分方程定性结果(见[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 11</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B15"> 19</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B23"> 25</xref>])。</p><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,巴拿赫空间中有界的线性算子<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与规范<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>考虑到卷积沃尔泰拉差分方程<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个给定的序列。</p><p>假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> →</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mroot> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> →</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mroot> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>解决(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2"> 4</xref>),将<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (5)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>考虑方程<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在一个社区<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>零,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有限是可逆的。然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>多次无限可微是零。</p><p>区分(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4"> 6</xref>)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>次,我们得到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,替换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>到后来的平等,我们获得以下关系:<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们到达(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq5"> 7</xref>)。因此,序列<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq5"> 7</xref>)。根据(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq5"> 7</xref>),我们得到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (10)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由于柯西公式<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个光滑的轮廓周围零,提供了吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有限是可逆的,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>定期在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,可以建立下一个结果。</p><年代t一个tement id="thm1"> <title>定理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= "去往B15 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B23 " > < / xref > 25])。</t我tle><p>内部<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有限可逆的,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是常规的。然后的溶液(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2"> 4</xref>)是由公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq6"> 11</xref>)。</p></年代t一个tement> <statement id="rems1"> <title>备注3。</t我tle><p>定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm1"> 2</xref>将发挥基础性作用建立nonconvolution方程的解的存在性和稳定性(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)。在这一过程中,我们将使用冷冻方法。</p></年代t一个tement> <statement id="deff1"> <title>定义4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B7 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B8 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B19 " > < / xref > 22 - < xref ref-type =“bibr”掉= " B21 " > < / xref > 24])。</t我tle><p>我们会说,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)是稳定的,如果任何<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,解决方案<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)满足不平等<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不依赖于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:math> </inline-formula></p> <p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mi> H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个可分离的希尔伯特空间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个线性紧凑的运营商<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正交基<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和系列<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛,然后系列的总和叫做操作员的痕迹<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和用<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> 跟踪</mml:mtext> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Tr</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="deff2"> <title>定义5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B16转椅" > 20 < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= "的energisk B18 " > < / xref > 26])。</t我tle><p>一个操作员<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>令人满意的关系<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi mathvariant="normal"> T</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>据说是一个<我t一个l我c>H我lbert- - - - - -Schmidt运营商,</我t一个l我c>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>伴随运营商吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>一种常态<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi mathvariant="normal"> Tr</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>被称为<我t一个l我c>H我lbert- - - - - -Schmidt规范</我t一个l我c>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="deff3"> <title>定义6(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B16转椅" > 20 < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= "的energisk B18 " > < / xref > 26])。</t我tle><p>一个有界的线性算子<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是<我t一个l我c>quasi-Hermitian</我t一个l我c>如果其虚构的组件<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是一个Hilbert-Schmidt运营商,在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>伴随运营商吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="thm2"> <title>定理7(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B14 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= "去往B15 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= "的energisk B18 " > < / xref > 26])。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>Hilbert-Schmidt完全连续quasinilpotent(沃尔泰拉)算子作用可分希尔伯特空间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:mi> H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。那么不平等<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> f</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> y</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> t</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> l</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是真的。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。主要结果</t我tle><p>现在,我们能够建立解的存在性和稳定性的充分条件(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)。</p><p>认为,对于任何固定的整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可和和有界<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,假设存在一个非负常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mtext> const。</mml:mtext> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>(下<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq8"> 17</xref>),这个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>对于一个固定的整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,承认<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:mi> Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>变换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的收敛半径<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。此外,假定操作员<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>所有有限可逆吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一个社区<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为零。</p><p>介绍了格林函数<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <statement id="thm3"> <title>定理8。</t我tle><p>在假设(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq8"> 17</xref>),让<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)是稳定的。此外,常数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 12</xref>下面明确指出)。</p></年代t一个tement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>考虑卷积方程<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与一个固定的整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq9"> 20.</xref>)可以写成<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>通过离散格林函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>定义。</p><p>现在,重写(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq9"> 20.</xref>)的形式<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,根据(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq10"> 21</xref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>表示<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,我们得到<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由于(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq11"> 22</xref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq12"> 24</xref>),我们有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>取<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>;然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,对于任何<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>另一方面,条件<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>意味着<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因为右边并不取决于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>条件(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq7"> 12</xref>)之前<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>解决方案的存在是由于纽曼级数的收敛性<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>前提是<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>对于任何固定的整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。事实上,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)操作符形式重写<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这个收益率<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个quasinilpotent Hilbert-Schmidt算子,它遵循由[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B15"> 19</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B23"> 25</xref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> !</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mroot> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,诺伊曼系列<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是收敛的。</p></年代t一个tement> <statement id="rem2"> <title>备注9。</t我tle><p>沃尔泰拉差分方程的稳定性理论认为,例如,通过歌曲和贝克<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>],明加莱利副总司长[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>],冈萨雷斯et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>]。然而,没有以前“冻结”的方法来研究系统在巴拿赫空间沃尔泰拉的定性性质不同。因此,本文的理论贡献显著。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。例子</t我tle><p>为了说明的主要结果,考虑中<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这个方程<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> h</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mtext> const。</mml:mtext> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>一个变量有界算子在吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>取<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。然后,通过(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq14"> 41</xref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们也有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq43"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这个关系收益<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq44"> <mml:mtd> <mml:mtext> (44)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>另一方面,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq45"> <mml:mtd> <mml:mtext> (45)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq46"> <mml:mtd> <mml:mtext> (46)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>要有规律、<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq47"> <mml:mtd> <mml:mtext> (47)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq48"> <mml:mtd> <mml:mtext> (48)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq49"> <mml:mtd> <mml:mtext> (49)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <statement id="thm4"> <title>定理10。</t我tle><p>条件下(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq15"> 42</xref>),一个积极的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>要有规律、<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。然后(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq13"> 40</xref>)是稳定的。</p></年代t一个tement> <p>例如,如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个常数算子,然后条件(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq14"> 41</xref>)持有<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq50"> <mml:mtd> <mml:mtext> (50)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq51"> <mml:mtd> <mml:mtext> (51)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>采取<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,通过(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq14"> 41</xref>),<d我年代p- - - - - -formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq52"> <mml:mtd> <mml:mtext> (52)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,每一个语句的定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm4"> 10</xref>很容易验证。</p></年代ec><年代ec id="sec5"> <title>5。结束语</t我tle><p>沃尔泰拉差分方程的稳定性问题nonconvolution类型在无限维希尔伯特空间是比这更复杂的方程<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(一个有限维欧氏空间)。然而,随着适当的条件<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> K</mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,一个可以使用的冻结方法抽象的差分方程,因此,克服困难。事实上,考虑到时间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为一个参数,我们获得无限卷积沃尔泰拉家族的差分方程。因此,采用冻结法,我们推导出定性属性对应nonconvolution沃尔泰拉差分方程和卷积原始方程。另一方面,研究存在的解决方案这种隐式沃尔泰拉的差分方程是一个复杂的问题。我们证明存在的解决方案是使用纽曼级数的收敛quasinilpotent Hilbert-Schmidt运营商(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - - - - -type="bibr" rid="B24"> 27</xref>]。</p></年代ec><b一个ck> <sec> <title>的利益冲突</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p></年代ec><一个ck> <title>确认</t我tle><p>这项研究受到了Direccion de Investigacion格兰特NU06/16之下。</p></一个ck><ref- - - - - -l是t> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 明加莱利副总司长</年代urn一个me> <given-names> 答:B。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> Volterra-Stieltjes积分方程和广义微分表达式</我t一个l我c><ye一个r> 1983年</ye一个r><volume> 989年</volume> <publisher-loc> 柏林,德国</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 斯普林格出版社</publ是her- - - - - -n一个me> <series> 课堂讲稿在Mthematics</年代er我e年代></element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Banas</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> Sadarangani</年代urn一个me> <given-names> K。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 可解性的Volterra-Stieltjes operator-integral方程及其应用</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序。一个国际期刊</我t一个l我c><ye一个r> 2001年</ye一个r><volume> 41</volume> <issue> 12</我年代年代ue><fp一个ge> 1535年</fp一个ge> <lpage> 1544年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0898 - 1221 (01) 00118 - 3</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1831816</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Federson</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Bianconi</年代urn一个me> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> Barbanti</年代urn一个me> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 线性沃尔泰拉积分方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Acta Mathematicae Applicatae中央研究院</我t一个l我c><ye一个r> 2002年</ye一个r><volume> 18</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fp一个ge> 553年</fp一个ge> <lpage> 560年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR2012318</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1007 / s102550200057</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1038.45002</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 村上</年代urn一个me> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Nagabuchi</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 属性和渐近稳定性几乎周期性沃尔泰拉线性差分方程在巴拿赫空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 日本数学杂志</我t一个l我c><ye一个r> 2005年</ye一个r><volume> 31日</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 193年</fp一个ge> <lpage> 223年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR2198179</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.4099 / math1924.31.193</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1093.39008</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85008885121</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gyori</年代urn一个me> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> 霍法</年代urn一个me> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 沃尔泰拉线性差分方程的解的渐近表示</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 差分方程的进步</我t一个l我c><ye一个r> 2008年</ye一个r><volume> 2008年</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 932831年</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2008/932831</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 46649105874</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 冈萨雷斯</年代urn一个me> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Jimenez-Melado</年代urn一个me> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Lorente</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解决方案的一些非线性的存在和估计沃尔泰拉在希尔伯特空间差分方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 2005年</ye一个r><volume> 305年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 63年</fp一个ge> <lpage> 71年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2004.10.015</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2128111</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kolmanovskii</年代urn一个me> <given-names> 诉B。</given-names> </name> <name> <surname> Myshkis</年代urn一个me> <given-names> 答:D。</given-names> </name> <name> <surname> 理查德。</年代urn一个me> <given-names> j。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 估计一些沃尔泰拉差分方程的解决方案</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用。一个国际多学科期刊</我t一个l我c><ye一个r> 2000年</ye一个r><volume> 40</volume> <issue> 1 - 8</我年代年代ue><fp一个ge> 345年</fp一个ge> <lpage> 363年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0362 - 546 x (00) 85021 - x</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1768898</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 首歌</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 贝克</年代urn一个me> <given-names> c . T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 微扰理论对离散沃尔泰拉方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《差分方程和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 2003年</ye一个r><volume> 9</volume> <issue> 10</我年代年代ue><fp一个ge> 969年</fp一个ge> <lpage> 987年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR1996346</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1080 / 1023619031000080844</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1049.39010</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0042071326</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 麦地那</年代urn一个me> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 吉尔的</年代urn一个me> <given-names> m . I。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 抽象的冻结方法非线性差分方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 2007年</ye一个r><volume> 330年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 195年</fp一个ge> <lpage> 206年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2006.07.074</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2302916</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿特金森</年代urn一个me> <given-names> f . V。</given-names> </name> <name> <surname> 兰格</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> Mennicken</年代urn一个me> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Sturm-Liouville系数问题,分析依赖于特征值参数</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学Szegediensis:学报Scientiarum Mathematicarum</我t一个l我c><ye一个r> 1993年</ye一个r><volume> 57</volume> <issue> 1 - 4</我年代年代ue><fp一个ge> 25</fp一个ge> <lpage> 44</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR1243266</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0792.34024</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>11</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Fattorini</年代urn一个me> <given-names> h . O。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 二阶线性Differenttial方程在巴拿赫空间中</我t一个l我c><ye一个r> 1996年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 荷兰阿姆斯特丹</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 爱思唯尔</publ是her- - - - - -n一个me> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="book"> <label>12</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lifschitz</年代urn一个me> <given-names> 答:E。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> Magneto-hydrodynamics和光谱理论</我t一个l我c><ye一个r> 1989年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 荷兰多德雷赫特</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> Kluwer学术出版社</publ是her- - - - - -n一个me> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="book"> <label>13</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吴</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 偏泛函微分方程的理论和应用</我t一个l我c><ye一个r> 1996年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 纽约,纽约,美国</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 施普林格</publ是her- - - - - -n一个me> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-1-4612-4050-1</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1415838</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0870.35116</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>14</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 麦地那</年代urn一个me> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解的存在性和有界性非线性沃尔泰拉差分方程在巴拿赫空间中</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 抽象和应用分析</我t一个l我c><ye一个r> 2016年</ye一个r><volume> 2016年</volume> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85008877601</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2016/1319049</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="publisher-id"> 1319049</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>15</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ngoc</年代urn一个me> <given-names> p·h·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Volterra-Stieltjes线性微分方程的稳定性</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 暹罗在控制和优化》杂志上</我t一个l我c><ye一个r> 2011年</ye一个r><volume> 49</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 205年</fp一个ge> <lpage> 226年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 100788501</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2765663</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>16</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Banas</年代urn一个me> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 俄勒冈</年代urn一个me> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Volterra-Stieltjes积分算子</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 数学和计算机模拟</我t一个l我c><ye一个r> 2005年</ye一个r><volume> 41</volume> <issue> 2 - 3</我年代年代ue><fp一个ge> 335年</fp一个ge> <lpage> 344年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.mcm.2003.02.014</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2124946</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="book"> <label>17</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bylov</年代urn一个me> <given-names> b·F。</given-names> </name> <name> <surname> Grobman</年代urn一个me> <given-names> b . M。</given-names> </name> <name> <surname> Nemyckii</年代urn一个me> <given-names> 诉V。</given-names> </name> <name> <surname> Vinograd</年代urn一个me> <given-names> r·E。</given-names> </name> </person-group> <source xml:lang="ru"> <italic> <italic> 李雅普诺夫指数的理论</我t一个l我c></我t一个l我c> <year> 1966年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 莫斯科,俄罗斯</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> Nauka</publ是her- - - - - -n一个me> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>18</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吉尔的</年代urn一个me> <given-names> m . I。</given-names> </name> <name> <surname> 麦地那</年代urn一个me> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的冻结方法线性差分方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《差分方程和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 2002年</ye一个r><volume> 8</volume> <issue> 5</我年代年代ue><fp一个ge> 485年</fp一个ge> <lpage> 494年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10236190290017478</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1897070</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="book"> <label>19</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吉尔的</年代urn一个me> <given-names> m . I。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 范数估计算子函数和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 1995年</ye一个r><volume> 192年</volume> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 马塞尔•德克尔</publ是her- - - - - -n一个me> <series> 专著和教科书纯粹与应用数学</年代er我e年代><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1352684</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0840.47006</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="book"> <label>20.</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Corduneanu</年代urn一个me> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 函数方程与因果运营商</我t一个l我c><ye一个r> 2002年</ye一个r><volume> 16</volume> <publisher-loc> 英国伦敦</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 泰勒和弗朗西斯</publ是her- - - - - -n一个me> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4324 / 9780203166376</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1949578</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>21</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kolmanovskii</年代urn一个me> <given-names> 诉B。</given-names> </name> <name> <surname> Matasov</年代urn一个me> <given-names> 答:我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个近似方法求解遗传系统的最优控制问题</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Doklady数学</我t一个l我c><ye一个r> 1997年</ye一个r><volume> 55</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 475年</fp一个ge> <lpage> 478年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>22</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 莱文森</年代urn一个me> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个非线性沃尔泰拉方程中出现超流态的理论</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 1960年</ye一个r><volume> 1</volume> <fpage> 1</fp一个ge> <lpage> 11</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>23</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nagabuchi</年代urn一个me> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的相空间分解在巴拿赫空间沃尔泰拉线性差分方程</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Funkcialaj Ekvacioj。Serio Internacia</我t一个l我c><ye一个r> 2006年</ye一个r><volume> 49</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 269年</fp一个ge> <lpage> 290年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR2271235</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1619 / fesi.49.269</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1125.39018</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85010104466</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>24</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rejto</年代urn一个me> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Taboada</年代urn一个me> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在加权空间独特的非线性沃尔泰拉方程可解性</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><ye一个r> 1992年</ye一个r><volume> 167年</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 368年</fp一个ge> <lpage> 381年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR1168595</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 247 x (92) 90213 - w</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0755.45007</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38249012296</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="book"> <label>25</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 康尼锡</年代urn一个me> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 特征值分布的紧凑的运营商</我t一个l我c><ye一个r> 1986年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 瑞士巴塞尔</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> Birkhauser 1 -</publ是her- - - - - -n一个me> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="book"> <label>26</l一个bel><element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Dunford</年代urn一个me> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> 施瓦兹</年代urn一个me> <given-names> j . T。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 线性算子,第一部分</我t一个l我c><ye一个r> 1966年</ye一个r><publ是her- - - - - -loc> 纽约,纽约,美国</publ是her- - - - - -loc><publisher-name> 威利跨学科出版商</publ是her- - - - - -n一个me> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>27</l一个bel><element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 铃木</年代urn一个me> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在巴拿赫空间纽曼级数的收敛性</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Mathematische年鉴</我t一个l我c><ye一个r> 1976年</ye一个r><volume> 220年</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 143年</fp一个ge> <lpage> 146年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR0412855</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF01351698</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0304.47016</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0002087716</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>