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抽象和应用分析
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抽象和应用分析/2018年/文章

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体积 2018年 |文章的ID 3805042 | https://doi.org/10.1155/2018/3805042

尤瑟夫Alnafisah, ”Milstein方案的实现在二维sd使用傅里叶方法”,抽象和应用分析, 卷。2018年, 文章的ID3805042, 7 页面, 2018年。 https://doi.org/10.1155/2018/3805042

Milstein方案的实现在二维sd使用傅里叶方法

尤瑟夫Alnafisah1

1理学院数学系,卡西姆大学,邮政信箱6644,Buraydah 51452年,沙特阿拉伯

学术编辑器:Jaume Gine
收到了 2018年1月23日
修改后的 2018年3月29日
接受 05年4月2018年
发表 2018年5月10日

文摘

不能总是表达多个随机积分更高的多样性而言,简单的随机积分,特别是当维纳过程是多维的。在本文中,我们描述的傅里叶级数展开维纳过程可以用来模拟二维随机微分方程(SDE)使用Matlab程序。我们的数值实验使用Matlab来展示我们的截断Ito的泰勒扩张一个适当的时候产生Milstein SDE的方法。

1。介绍

数值分析的随机微分方程(SDE)近年来发生了相当大的发展。有许多数值方法求解sd。Kloeden和滚筒1)描述了一种基于随机泰勒级数展开的方法,但这种方法的主要困难在于,双随机积分无法轻易表达的简单随机积分的维纳过程是多维的。在多维情况下,维纳过程的傅里叶级数展开被用来代表的二重积分(1- - - - - -3),但它需要生成许多随机变量在每个时间。因此,它需要很多的时间来计算,也很难扩展到高阶。

已经有许多研究随机微分方程的数值解析。戴维(4]使用耦合和给订单一个强收敛的随机微分方程(sd)。神奈川[5]对收敛速度的近似解与我之间的两个概率指标。维随机变量。Rachev和Ruschendorff6)神奈川的方法通过使用Komlos等人开发的定理在7]。弗尔涅(8)使用二次Vaserstein距离近似的欧拉计划和里约热内卢的结果9)使一个非常精确的收敛速度的中心极限定理Vaserstein距离。同时,力拓(10)提供精确的估计。在统一的椭圆率下,Alfonsi et al。11,12]研究了Vaserstein开往欧拉方法和他们证明 一维扩散过程 是步长,然后归纳结果sd的维度 系数是time-homogeneous时绑定。克鲁塞罗et al。13)得到一个订单一个方法和非退化下他们构建一个修改Milstein计划获得一个订单一个强劲的近似。夏博诺et al。14)调查Vaserstein绑定(15)通过使用弱收敛和Strassen -达德利定理。收敛性的一个近似一个强大的解决方案给定概率空间上建立了Gyongy和维多(16使用耦合)。戴维在[17)应用向量sd的Vaserstein绑定解决方案和使用Komlos等人定理下订单一个近似非退化假设。本文的其余部分组织如下。部分2评论一些钻相关的结果。部分3提出了一些现有方案数值解析数据。节4我们展示的理论和实现Milstein计划使用傅里叶方法。在上一节我们给出数值例子显示收敛行为。

2。随机微分方程(sd)

定义。让 是一个 在概率空间维标准布朗运动 配备一个过滤 , 一个 维向量函数(称为漂移系数), 一个 矩阵函数(称为扩散系数)。

的随机过程 本文认为可以描述的随机微分方程 让初始条件 是一个 可测量的随机向量 。一个 采用随机过程 被称为方程解(1)如果 其子as。

积分过程的条件, 定义良好的要求(2)和功能 和 我们有以下的条件 ,几乎可以肯定 , 和这些条件暗示(4)和(5)是定义良好的。

随机积分的一个重要属性 和随机积分的更多细节,请参见[1]。

2.1。存在性和唯一性定理

下面的定理,将表示没有证据,解的存在性和唯一性的充分条件随机微分方程。(我)可测性:让 : 和 : 联合波莱尔可测 。(2)李普希兹条件:有一个常数 这样 , ,尽管 和 。(3)生长条件:有一个常数 这样 , ,尽管 和 。

定理1。在这些条件下((i) -(3))的随机微分方程(1)有一个独特的解决方案 与

证明。看到Kloeden和滚筒(14.5.3)定理。

2.2。强劲的sd收敛

让 是一个概率空间满足以下: 是连续函数的集合的上确界度量区间 , 是 波莱尔集的代数和 维纳的措施。我们考虑一个近似解 (1),使用一个细分的间隔 成一个有限 我们假设的小区间的长度 。我们也假设近似的解决方案 是随机变量 。现在我们说离散时间近似 与步长 收敛强烈的秩序 在时间 解决方案 如果 强大的融合将在哪里 空间和 随机微分方程的解。 是一个积极的常数和 是独立于 。

3所示。数值方法近似sd

有许多数值方法求解随机微分方程;在这里我们将提到两个重要的计划。第一个是Euler-Maruyama方案将给强大的秩序 和第二个是Milstein计划订单的强收敛性。我们将通过一个数值例子说明他们的收敛行为Milstein方案。

假设我们有随机微分方程 在哪里 在一个时间间隔 ,对于一个 维向量 ,与一个 维布朗路径 。

为了近似的解决方案,我们假设 分为 长度相等的时间间隔 。

3.1。Euler-Maruyama方案

最简单的随机微分方程的数值方法来近似解是随机欧拉计划(也称为Euler-Maruyama方案),利用泰勒展开式的只有前两项,达到很强的收敛 。

首先,考虑Euler-Maruyama近似方案。 在哪里 我们的数值近似 将表示 。

3.2。Milstein方案

我们现在介绍Milstein计划给订单一个强有力的泰勒的计划。我们可以获得Milstein计划通过增加二次项 欧拉计划提供以下方案 在哪里

欧拉的实现方案简单,因为它只需要为标准布朗运动生成正态分布 但它是不容易产生积分 为Milstein计划当我们有两个或两个以上的维sd。我们将展示通过一个数值例子在下一节中我们如何生成积分 使用傅里叶方法当我们有二维sd。

Milstein计划实现之前,我们需要提到一些关于二级近似。

4所示。二级近似

我们需要生成增量 当我们近似的解决方案(1)通过使用Milstein或其他方案;因此利维的布朗运动的建设将用于模拟序列收敛到近似的解决方案。

也就是说, 在哪里 和 与 。

我们将调用的二级近似(14)微不足道的耦合。我们可以生成的正态分布(14)增量对于一个给定的水平 首先生成增量的lh 然后有条件地生成增量的皇家。我们为每个级别相同的过程 , 等等。

从下一节我们将看到Milstein的扩展 是不容易做的。但是我们可以实现特殊类的方程Milstein计划只使用 。从观察,就可以做到这一点 在哪里 如果 和 。

4.1。实证估计误差的数值方法

通常我们不知道随机微分方程显式的解决方案;因此我们不能直接估计平均误差 这是近似解之间的差异的绝对值 和解决方案 钻(1)。假设近似解 收敛于解 当我们减少步长和趋于零。然后我们可以估计融合为一个特定的顺序计划通过重复 不同的独立的模拟样本路径。我们将使用下面的估计量 对于不同的近似解 和 对不同范围的价值 。所以对于任何数值方法如果我们有一个绑定错误 然后 然后 等等。因此,我们将得到一个几何级数;然后我们将获得

所以从(15)我们可以估计收敛和常数。

4.2。二维随机微分方程

在本节中,我们考虑二维随机微分方程,我们需要测试使用Milstein方案的收敛性。我们将选择实现的sd方法 在哪里 和 是独立的标准布朗运动。

二维sd (16),我们可以简单地实现欧拉方法仅生成一些正常的分布。现在,我们需要应用Milstein方法(16)和显示这些方法的最终解决方案之间的融合。我们需要找到一个近似为二维SDE Milstein方案。

sd (16),我们有Milstein方案

但这里的主要困难是双随机积分 为 不能轻易表达的简单当维纳过程多维随机积分。因此我们将使用傅里叶级数展开的维纳过程代表了二重积分。

在解释傅里叶方法之前让我们先应用Milstein计划(17)(16),然后哪些术语解释傅里叶方法将代表。写作Milstein近似之前,我们需要找到导数项 sd (16)。

我们有

然后,Milstein近似(16)是 在这个近似我们有双维纳积分 , , ,和 。双维纳积分 和 在(20.从维纳增量)很容易计算 和 ,分别,所以 另一方面,双维纳积分 无法表达的简单随机积分当维纳过程多维。因此,对于这些积分将使用傅里叶级数展开近似。

现在我们将解释傅里叶方法中描述的想法Kloeden,滚筒(1,18]。布朗桥过程 的傅里叶级数 在哪里 。

这里的系数 和 是独立的随机变量 分布式和我们可以推导出从傅里叶积分,

为每一个 和 ,当我们集成(24的时间间隔内) ,我们将获得多个Stratonovich积分的近似 在公式(26),我们有 此外, 和 是独立标准正态随机变量。

傅里叶级数截断的我们需要秩序的收敛速度 对全球Milstein方案和我们将使用错误(26)来表达二重积分 为 。为了这个收敛速度,我们需要比较均方误差(MSE)的近似迭代伊藤积分离散化误差的Milstein方案。所述Kloeden和滚筒1)、推论10.6.5和方程10.6.16我们要求的均方误差有界 对于一些积极的常数 。的算法Kloeden et al。18]的MSE秩序 然后我们获得 这给了 。因此我们想要截断的条款和数量 是成正比的 。

我们知道的对称关系,对任何二重积分 在哪里 。

5。数值例子

在m文件清单1,我将近似二重积分的值 和 和一些解释公式所示((26)- (27))。

函数[j - 1 w, v, J2] = F_year_J (N、h)
N = 5;% N = P系列的截断(26)
T = 1;h = T / N;s = sqrt (h);N1 = randn;N2 = randn;N7 = randn;w = s N1;v =年代 氮气;
f = 0;g1 = 0;g2 = 0;z = 0;N3 = randn (1, N);陶瓷= randn (1, N);它们被= randn (1, N);N6 = randn (1, N);
n = 1: n;
f = f + (n。 (−2));c = (1/12)−(2 (π)。 2)。 (−1)) f;
g1 = g1 + (n。 (−1)) N3 (n);
g2 = g2 + (n。 (−1))。 陶瓷(n);
z = z + (n。 (−1))。 (N3 (n)。 N6 (n)−(它们(n)。 陶瓷(n)));
一个= 1. / (2 π) z;
%计算公式(27)
结束
B = (1/2) (w v);
d1 = (−1 / pi) √2 h) g1−(2 sqrt (h c) N7);
%计算公式(28)
d2 = (−1 / pi) √2 h) g2−(2 sqrt (h c) N7);
%计算公式(28)
j - 1 = (1/2) h N1 N2−(1/2) 年代 (d2 N1−(d1 N2) + h 一个;
%计算公式(26)
J2 = 2 B−j - 1;
结束
清单1
代码来近似的二重积分 和 。

现在,在我们代表二重积分的近似 和 ,我们可以在(在Milstein近似替代它们20.)。之后,我们需要估计Milstein解决方案在二维情况下的误差和测试收敛阶。

Matlab代码清单2计算Milstein误差区间 ,与步长(200、400、800、1600、3200)的仿真( )。

T = 1;NN = 10;h = T /神经网络;R = 10000;q = 0;
为r = 1: r, x = 2;y = 0;xx = 2;yy = 0;
m = 1:神经网络、hh = h / 2;N = 10;
(王,六世、J1L J2L] = F_year_J (N, hh);
= F_year_J (N, hh);
w =王+福;v =六世+虚拟现实;j - 1 = J1L + J1r +弯角 六世;J2 = J2L + J2r +西城 虚拟现实;
u = x + y 王+ (x + (m−1) h) 六世+ exp (−y。 2) (1/2) (王。 2−hh)
+ (x−y) J1L + y J2L + (x + (m−1) h) (1/2) (六世。 2−hh);
y = y + exp (−y。 2) 王+ (x−y) 六世−2 y exp (−2 y。 2) (1/2) (王。 2−hh)
+ (y−exp (−y。 2)) J2L + (y + (m−1) h) (1/2) (六世。 2−hh)
−2 y exp (−y。 2) (x−y) J1L;x = u;
u = x + y 或者说是+ (x + (m−1/2) h) vr + exp (−y。 2) (1/2) (或者说是。 2−hh)
+ (x−y) J1r + y J2r + (x + (m−1/2) h) (1/2) (虚拟现实。 2−hh);
y = y + exp (−y。 2) 或者说是+ (x−y) vr−2 y exp (−2 y。 2) (1/2) (或者说是。 2−hh)
+ (y−exp (−y。 2)) J2r + (y + (m−1/2) h) (1/2) (虚拟现实。 2−hh)
−2 y exp (−y。 2) (x−y) J1r;x = u;
u = xx + yy w + (xx + (m−1) h) v + exp (−yy。 2) (1/2) (w。 2−h)
+ (xx−yy) j - 1 + yy J2 + (xx + (m−1) h) (1/2) (v。 2−h);
yy = yy + exp (−yy。 2) w + (xx−yy) v−2 yy exp (−2 yy。 2) (1/2) (w。 2−h)
+ (yy−exp (−yy。 2)) J2 + (yy + (m−1) h) (1/2) (v。 2−h)
−2 yy exp (−yy。 2) (xx−yy) j - 1;xx = u;结束
q = q + abs (x−xx) + abs (y−yy);结束
(q / R)
清单2
代码估计误差的二维Milstein方案。

很明显从表1和图的绘制1收敛似乎发生当我们减少步长和获得 收敛性。通过评估一系列的值 我们也可以得到估计的收敛性和不断使用的估计(15),所以

步长 错误( )
0.0050 0.1318
0.0025 0.0673
0.00125 0.0347
0.00062 0.0177
0.00031 0.0088
表1
错误结果Milstein计划2 的情况。

图1
Milstein sd方法两个维度。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

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