raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AAA

抽象和应用分析

1687 - 0409 1085 - 3375

Hindawi

10.1155 / 2018/3805042

3805042

研究文章

Milstein方案的实现在二维sd使用傅里叶方法

http://orcid.org/0000 - 0002 - 5412 - 7432

Alnafisah

尤瑟夫

¹ Gine

Jaume

数学系

大学的科学

卡西姆大学

邮政信箱6644

Buraydah 51452 沙特阿拉伯

qu.edu.sa

2018年 10<米onth> 5 2018年 2018年 23<米onth> 01 2018年 29日<米onth> 03 2018年 05年<米onth> 04 2018年 10<米onth> 5 2018年

2018年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

不能总是表达多个随机积分更高的多样性而言,简单的随机积分,特别是当维纳过程是多维的。在本文中,我们描述的傅里叶级数展开维纳过程可以用来模拟二维随机微分方程(SDE)使用Matlab程序。我们的数值实验使用Matlab来展示我们的截断Ito的泰勒扩张一个适当的时候产生Milstein SDE的方法。

1。介绍</t我tle>数值分析的随机微分方程(SDE)近年来发生了相当大的发展。有许多数值方法求解sd。Kloeden和滚筒<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>)描述了一种基于随机泰勒级数展开的方法,但这种方法的主要困难在于,双随机积分无法轻易表达的简单随机积分的维纳过程是多维的。在多维情况下,维纳过程的傅里叶级数展开被用来代表的二重积分(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 3</xref>),但它需要生成许多随机变量在每个时间。因此,它需要很多的时间来计算,也很难扩展到高阶。已经有许多研究随机微分方程的数值解析。戴维(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 4</xref>]使用耦合和给订单一个强收敛的随机微分方程(sd)。神奈川[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 5</xref>]对收敛速度的近似解与我之间的两个概率指标。维随机变量。Rachev和Ruschendorff<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>)神奈川的方法通过使用Komlos等人开发的定理在<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 7</xref>]。弗尔涅(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 8</xref>)使用二次Vaserstein距离近似的欧拉计划和里约热内卢的结果<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B12"> 9</xref>)使一个非常精确的收敛速度的中心极限定理Vaserstein距离。同时,力拓(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B17"> 10</xref>)提供精确的估计。在统一的椭圆率下,Alfonsi et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 11</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 12</xref>]研究了Vaserstein开往欧拉方法和他们证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> ϵ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>一维扩散过程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是步长,然后归纳结果sd的维度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:msqrt> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 日志</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:msqrt> </mml:math> </inline-formula>系数是time-homogeneous时绑定。克鲁塞罗et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B13"> 13</xref>)得到一个订单一个方法和非退化下他们构建一个修改Milstein计划获得一个订单一个强劲的近似。夏博诺et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B14"> 14</xref>)调查Vaserstein绑定(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 15</xref>)通过使用弱收敛和Strassen -达德利定理。收敛性的一个近似一个强大的解决方案给定概率空间上建立了Gyongy和维多(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B15"> 16</xref>使用耦合)。戴维在[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B18"> 17</xref>)应用向量sd的Vaserstein绑定解决方案和使用Komlos等人定理下订单一个近似非退化假设。本文的其余部分组织如下。部分<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec2"> 2</xref>评论一些钻相关的结果。部分<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec3"> 3</xref>提出了一些现有方案数值解析数据。节<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec4"> 4</xref>我们展示的理论和实现Milstein计划使用傅里叶方法。在上一节我们给出数值例子显示收敛行为。</年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。随机微分方程(sd)</t我tle><我t一个lic> 定义。</我t一个l我c>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在概率空间维标准布朗运动<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Ω</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>配备一个过滤<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> F</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>维向量函数(称为<我t一个l我c> 漂移</我t一个l我c>系数),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵函数(称为<我t一个l我c> 扩散</我t一个l我c>系数)。的随机过程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>本文认为可以描述的<我t一个l我c> 随机微分方程</我t一个l我c> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让初始条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可测量的随机向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>采用随机过程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>被称为方程解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 1</xref>)如果<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>其子as。积分过程的条件,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>定义良好的要求(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 2</xref>)和功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>我们有以下的条件<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>,几乎可以肯定<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和这些条件暗示(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.3"> 4</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.4"> 5</xref>)是定义良好的。随机积分的一个重要属性<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和随机积分的更多细节,请参见[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>]。<年代ec id="sec2.1"> <title>2.1。存在性和唯一性定理</t我tle>下面的定理,将表示没有证据,解的存在性和唯一性的充分条件随机微分方程。<l我年代t><l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l我年代t- - - - - -我te米> </list> 可测性:让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>联合波莱尔可测<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o><米米l:米o> ×</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。<l我年代t- - - - - -我te米><l一个bel>(2)</l一个bel>李普希兹条件:有一个常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <label>(3)</l一个bel>生长条件:有一个常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> K</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</l我年代t- - - - - -我te米> <statement id="thm2.1"> <title>定理1。</t我tle>在这些条件下((i) -(3))的随机微分方程(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 1</xref>)有一个独特的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>与<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle>看到Kloeden和滚筒(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>4。5。3)定理。</年代t一个te米ent> </sec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2。强劲的sd收敛</t我tle>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Ω</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个概率空间满足以下:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续函数的集合的上确界度量区间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>波莱尔集的代数和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>维纳的措施。我们考虑一个近似解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 1</xref>),使用一个细分的间隔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>成一个有限<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们假设的小区间的长度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们也假设近似的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是随机变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。现在我们说离散时间近似<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与步长<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛强烈的秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> N</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>如果<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>强大的融合将在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>空间和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>随机微分方程的解。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的常数和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是独立于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</年代ec> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。数值方法近似sd</t我tle>有许多数值方法求解随机微分方程;在这里我们将提到两个重要的计划。第一个是Euler-Maruyama方案将给强大的秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和第二个是Milstein计划订单的强收敛性。我们将通过一个数值例子说明他们的收敛行为Milstein方案。假设我们有随机微分方程<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在一个时间间隔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,对于一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>维向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>维布朗路径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。为了近似的解决方案,我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>分为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>长度相等的时间间隔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米i> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。<年代ec id="sec3.1"> <title>3.1。Euler-Maruyama方案</t我tle>最简单的随机微分方程的数值方法来近似解是随机欧拉计划(也称为Euler-Maruyama方案),利用泰勒展开式的只有前两项,达到很强的收敛<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。首先,考虑Euler-Maruyama近似方案。<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>我们的数值近似<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>将表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</年代ec> <sec id="sec3.2"> <title>3.2。Milstein方案</t我tle>我们现在介绍Milstein计划给订单一个强有力的泰勒的计划。我们可以获得Milstein计划通过增加二次项<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>欧拉计划提供以下方案<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 欧拉的实现方案简单,因为它只需要为标准布朗运动生成正态分布<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>但它是不容易产生积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为Milstein计划当我们有两个或两个以上的维sd。我们将展示通过一个数值例子在下一节中我们如何生成积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>使用傅里叶方法当我们有二维sd。Milstein计划实现之前,我们需要提到一些关于二级近似。</年代ec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。二级近似</t我tle>我们需要生成增量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>当我们近似的解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 1</xref>)通过使用Milstein或其他方案;因此利维的布朗运动的建设将用于模拟序列收敛到近似的解决方案。也就是说,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们将调用的二级近似(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 14</xref>)<我t一个l我c> 微不足道的耦合</我t一个l我c>。我们可以生成的正态分布(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 14</xref>)增量对于一个给定的水平<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>首先生成增量的lh<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>然后有条件地生成增量的皇家。我们为每个级别相同的过程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>等等。从下一节我们将看到Milstein的扩展<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>是不容易做的。但是我们可以实现特殊类的方程Milstein计划只使用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。从观察,就可以做到这一点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。<年代ec id="sec4.1"> <title>4.1。实证估计误差的数值方法</t我tle>通常我们不知道随机微分方程显式的解决方案;因此我们不能直接估计平均误差<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这是近似解之间的差异的绝对值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>钻(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 1</xref>)。假设近似解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>当我们减少步长和趋于零。然后我们可以估计融合为一个特定的顺序计划通过重复<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>不同的独立的模拟样本路径。我们将使用下面的估计量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>对于不同的近似解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对不同范围的价值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。所以对于任何数值方法如果我们有一个绑定错误<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mo> |</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> /</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>等等。因此,我们将得到一个几何级数;然后我们将获得<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 所以从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)我们可以估计收敛和常数。</年代ec> <sec id="sec4.2"> <title>4.2。二维随机微分方程</t我tle>在本节中,我们考虑二维随机微分方程,我们需要测试使用Milstein方案的收敛性。我们将选择实现的sd方法<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.3"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> f</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> w</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> t</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是独立的标准布朗运动。二维sd (<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>),我们可以简单地实现欧拉方法仅生成一些正常的分布。现在,我们需要应用Milstein方法(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>)和显示这些方法的最终解决方案之间的融合。我们需要找到一个近似为二维SDE Milstein方案。年代d(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>),我们有Milstein方案<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 但这里的主要困难是双随机积分<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>不能轻易表达的简单当维纳过程多维随机积分。因此我们将使用傅里叶级数展开的维纳过程代表了二重积分。在解释傅里叶方法之前让我们先应用Milstein计划(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.4"> 17</xref>)(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>),然后哪些术语解释傅里叶方法将代表。写作Milstein近似之前,我们需要找到导数项<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mo> ∂</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>sd (<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>)。我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd rowspan="8"> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 111年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 112年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 121年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 211年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 221年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 222年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 122年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 212年</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 然后,Milstein近似(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 16</xref>)是<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.6"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在这个近似我们有双维纳积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。双维纳积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>从维纳增量)很容易计算<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>分别,所以<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>另一方面,双维纳积分<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>无法表达的简单随机积分当维纳过程多维。因此,对于这些积分将使用傅里叶级数展开近似。现在我们将解释傅里叶方法中描述的想法Kloeden,滚筒(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B16"> 18</xref>]。布朗桥过程<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> f</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的傅里叶级数<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这里的系数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是独立的随机变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>分布式和我们可以推导出从傅里叶积分,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.9"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 为每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,当我们集成(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.8"> 24</xref>的时间间隔内)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们将获得多个Stratonovich积分的近似<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> d</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.11"> 26</xref>),我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4.13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msqrt> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> w</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>此外,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是独立标准正态随机变量。傅里叶级数截断的我们需要秩序的收敛速度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对全球Milstein方案和我们将使用错误(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.11"> 26</xref>)来表达二重积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> l</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。为了这个收敛速度,我们需要比较均方误差(MSE)的近似迭代伊藤积分离散化误差的Milstein方案。所述Kloeden和滚筒<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>)、推论10.6.5和方程10.6.16我们要求的均方误差有界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>对于一些积极的常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。的算法Kloeden et al。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B16"> 18</xref>]的MSE秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>然后我们获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这给了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此我们想要截断的条款和数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是成正比的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们知道的对称关系,对任何二重积分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Δ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> j</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</年代ec> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。数值例子</t我tle>在m文件清单<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="other" rid="lst1"> 1</xref>,我将近似二重积分的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和一些解释公式所示((<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.11"> 26</xref>)- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.12"> 27</xref>))。<p我d="lst1"> <list list-content="algorithm"> <title>清单1:<大胆> < /大胆>代码来近似二重积分< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M165 " > < mml: mrow > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mn mathvariant =“正常”> 12 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >和< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M166 " > < mml: mrow > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mn mathvariant =“正常”> 21 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >。</t我tle><l我年代t- - - - - -我te米></list-item> </list> 函数[j - 1 w, v, J2] = F_year_J (N、h)<l我年代t- - - - - -我te米>N = 5;% N = P系列的截断(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.11"> 26</xref>)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> T = 1;h = T / N;s = sqrt (h);N1 = randn;N2 = randn;N7 = randn;w = s<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N1;v =年代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>氮气;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:10pt"></styled-content>f = 0;g1 = 0;g2 = 0;z = 0;N3 = randn (1, N);陶瓷= randn (1, N);它们被= randn (1, N);N6 = randn (1, N);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> n = 1: n;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> f = f + (n。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(−2));c = (1/12)−(2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(π)。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(−1))<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>f;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> g1 = g1 + (n。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(−1))<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N3 (n);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> g2 = g2 + (n。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(−1))。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>陶瓷(n);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> z = z + (n。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(−1))。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(N3 (n)。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N6 (n)−(它们(n)。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>陶瓷(n)));</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> 一个= 1. / (2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>π)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>z;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> %计算公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.12"> 27</xref>)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> 结束</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> B = (1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(w<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>v);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> d1 = (−1 / pi)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>√2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>g1−(2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>sqrt (h<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>c)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N7);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> %计算公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.13"> 28</xref>)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> d2 = (−1 / pi)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>√2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>g2−(2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>sqrt (h<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>c)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N7);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> %计算公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.13"> 28</xref>)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> j - 1 = (1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N1<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N2−(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>年代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(d2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N1−(d1<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>N2) + h<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> %计算公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.11"> 26</xref>)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> J2 = 2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>B−j - 1;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> 结束</l我年代t- - - - - -我te米> 现在,在我们代表二重积分的近似<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们可以用他们在Milstein近似(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>)。之后,我们需要估计Milstein解决方案在二维情况下的误差和测试收敛阶。Matlab代码清单<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="other" rid="lst2"> 2</xref>计算Milstein误差区间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,步长(200、400、800、1600、3200)的仿真(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 20000年</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>)。<p我d="lst2"> <list list-content="algorithm"> <title>清单2:<大胆> < /大胆>代码估计误差的二维Milstein方案。</t我tle><l我年代t- - - - - -我te米></list-item> </list> T = 1;NN = 10;h = T /神经网络;R = 10000;q = 0;<l我年代t- - - - - -我te米> <styled-content style="margin-left:10pt"></styled-content>为r = 1: r, x = 2;y = 0;xx = 2;yy = 0;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> m = 1:神经网络、hh = h / 2;N = 10;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:10pt"></styled-content>(王,六世、J1L J2L] = F_year_J (N, hh);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> w</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mtext> ,</米米l:米text><米米l:mi mathvariant="normal"> v</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mtext> ,</米米l:米text><米米l:mi mathvariant="normal"> J</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mtext> ,</米米l:米text><米米l:mi mathvariant="normal"> J</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>= F_year_J (N, hh);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:30pt"></styled-content>w =王+福;v =六世+虚拟现实;j - 1 = J1L + J1r +弯角<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>六世;J2 = J2L + J2r +西城<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>虚拟现实;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:30pt"></styled-content>u = x + y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>王+ (x + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>六世+ exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(王。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J1L + y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2L + (x + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(六世。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> y = y + exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>王+ (x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>六世−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(王。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (y−exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2))<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2L + (y + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(六世。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J1L;x = u;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:30pt"></styled-content>u = x + y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>或者说是+ (x + (m−1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>vr + exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(或者说是。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J1r + y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2r + (x + (m−1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(虚拟现实。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> y = y + exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>或者说是+ (x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>vr−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(或者说是。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (y−exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2))<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2r + (y + (m−1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(虚拟现实。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−hh)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>y<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−y。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(x−y)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J1r;x = u;</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:30pt"></styled-content>u = xx + yy<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>w + (xx + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>v + exp (−yy。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(w。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−h)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (xx−yy)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>j - 1 + yy<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2 + (xx + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(v。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−h);</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> yy = yy + exp (−yy。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>w + (xx−yy)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>v−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>yy<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>yy。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(w。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−h)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>+ (yy−exp (−yy。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2))<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>J2 + (yy + (m−1)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>h)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(1/2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(v。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2−h)</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> <styled-content style="margin-left:70pt"></styled-content>−2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>yy<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>exp (−yy。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>2)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(xx−yy)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>j - 1;xx = u;结束</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> q = q + abs (x−xx) + abs (y−yy);结束</l我年代t- - - - - -我te米><list-item> (q / R)</l我年代t- - - - - -我te米> 很明显从表<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab1"> 1</xref>和图的绘制<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="fig" rid="fig1"> 1</xref>收敛似乎发生当我们减少步长和获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>收敛性。通过评估一系列的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们也可以得到估计的收敛性和不断使用的估计(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>),所以<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</l一个bel>错误结果Milstein计划2<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的情况。<t一个ble><thead> <tr> <th align="left">步长</th><th一个l我gn="center">错误(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td align="left">0.0050</td><td一个l我gn="center">0.1318</td></tr><tr> <td align="left">0.0025</td><td一个l我gn="center">0.0673</td></tr><tr> <td align="left">0.00125</td><td一个l我gn="center">0.0347</td></tr><tr> <td align="left">0.00062</td><td一个l我gn="center">0.0177</td></tr><tr> <td align="left">0.00031</td><td一个l我gn="center">0.0088</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <fig id="fig1"> <label>图1</l一个bel>Milstein sd方法两个维度。<graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2018/3805042.fig.001"></graphic> </fig> </sec> <back> <sec> <title>的利益冲突</t我tle>作者宣称没有利益冲突。</年代ec> <ref-list> <ref id="B4" content-type="book"> <label>1</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kloeden</年代urname> <given-names> p E。</given-names> </name> <name> <surname> 滚筒</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 随机微分方程的数值解</我t一个l我c> <year> 1992年</ye一个r><volu米e> 23</volu米e><publ我年代her-name> 斯普林格出版社,柏林</publ我年代her- - - - - -name> <series> 应用数学(纽约)</年代er我e年代><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-3-662-12616-5</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1214374</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>2</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ryden</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Wiktorsson</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模拟的迭代伊藤积分</一个rt我cle-title> <source> <italic> 随机过程及其应用</我t一个l我c> <year> 2001年</ye一个r><volu米e> 91年</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 151年</fp一个ge> <lpage> 168年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0304 - 4149 (00) 00053 - 3</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1807367</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>3</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Wiktorsson</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 联合特征函数和迭代的同时模拟伊藤积分为多个独立的布朗运动</一个rt我cle-title> <source> <italic> 上应用的可能性</我t一个l我c> <year> 2001年</ye一个r><volu米e> 11</volu米e><我年代年代ue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 470年</fp一个ge> <lpage> 487年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1214 / aoap / 1015345301</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1843055</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="misc"> <label>4</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="other"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴维</年代urname> <given-names> a . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 使用耦合Pathwise近似的随机微分方程</一个rt我cle-title> <comment> <ext-link ext-link-type="url" xlink:href="http://www.maths.ed.ac.uk/~adavie/coum.pdf"> http://www.maths.ed.ac.uk/ ~ adavie / coum.pdf</ext- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -l我nk> </comment> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>5</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 神奈川</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛速度的随机微分方程的近似解</一个rt我cle-title> <source> <italic> 东京数学杂志</我t一个l我c> <year> 1989年</ye一个r><volu米e> 12</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 33</fp一个ge> <lpage> 48</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3836 / tjm / 1270133546</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1001730</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl0701.60056</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84972496400</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="book"> <label>6</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rachev</年代urname> <given-names> s T。</given-names> </name> <name> <surname> Ruschendorff</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 交通问题,卷1,理论;卷2,应用程序</我t一个l我c> <year> 1998年</ye一个r><publ我年代her-name> 斯普林格出版社</publ我年代her- - - - - -name> <pub-id pub-id-type="other"> MR1619171</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>7</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Komlos</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 主要</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Tusnady</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个近似部分和独立的房车的DF和样本</一个rt我cle-title> <source> <italic> Zeitschrift毛皮Wahrscheinlichkeitstheorie学会和Gebiete</我t一个l我c> <year> 1975年</ye一个r><volu米e> 32</volu米e><我年代年代ue> 1 - 2</我年代年代ue><fp一个ge> 111年</fp一个ge> <lpage> 131年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF00533093</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR0375412</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>8</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 弗尔涅</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 模拟和逼近Levy-driven随机微分方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> ESAIM:概率论与数理统计</我t一个l我c> <year> 2011年</ye一个r><volu米e> 15</volu米e><fp一个ge> 233年</fp一个ge> <lpage> 248年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1051 / ps / 2009017</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2870514</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>9</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 力拓</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 上界最小距离的中心极限定理</一个rt我cle-title> <source> <italic> 编年史de l 'Institut亨利·庞加莱概率的</我t一个l我c> <year> 2009年</ye一个r><volu米e> 45</volu米e><我年代年代ue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 802年</fp一个ge> <lpage> 817年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1214 / 08-aihp187</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2548505</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>10</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 力拓</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 渐近常数最小距离的中心极限定理</一个rt我cle-title> <source> <italic> 电子通讯的概率</我t一个l我c> <year> 2011年</ye一个r><volu米e> 16</volu米e><fp一个ge> 96年</fp一个ge> <lpage> 103年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1214 / ecp.v16 - 1609</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2772388</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1225.60047</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79952857815</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>11</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Alfonsi</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 若丹</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Kohatsu-Higa</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Pathwise最佳运输之间的边界一维扩散及其欧拉计划</一个rt我cle-title> <source> <italic> 上应用的可能性</我t一个l我c> <year> 2014年</ye一个r><volu米e> 24</volu米e><我年代年代ue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 1049年</fp一个ge> <lpage> 1080年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1214 / 13-aap941</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR3199980</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84899507774</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>12</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Alfonsi</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 若丹</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Kohatsu-Higa</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 之间的最优运输范围time-marginals多维扩散及其欧拉计划</一个rt我cle-title> <source> <italic> 电子杂志的概率</我t一个l我c> <year> 2015年</ye一个r><volu米e> 货号。A070</volu米e><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84933576020</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1214 / ejp.v20 - 4195</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 克鲁塞罗</年代urname> <given-names> 答:B。</given-names> </name> <name> <surname> Malliavin</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Thalmaier</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 几何化的蒙特卡罗数值分析椭圆算子:强大的近似</一个rt我cle-title> <source> <italic> 政府建筑渲染的数学解释。Academie des,巴黎</我t一个l我c> <year> 2004年</ye一个r><volu米e> 338年</volu米e><我年代年代ue> 6</我年代年代ue><fp一个ge> 481年</fp一个ge> <lpage> 486年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.crma.2004.01.007</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2057730</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 夏博诺</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Svyrydov</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 是</年代urname> <given-names> p F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 普罗霍罗夫指标弱收敛的随机微分方程的方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> IMA《数值分析(IMAJNA)</我t一个l我c> <year> 2010年</ye一个r><volu米e> 30.</volu米e><我年代年代ue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 579年</fp一个ge> <lpage> 594年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1093 / imanum / drn067</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR2608474</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> Zbl1201.65008</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77950199175</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>15</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Vasershtein</年代urname> <given-names> l . N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 马尔可夫过程在可数的产品空间描述大型系统的自动机</一个rt我cle-title> <source> <italic> 信息传输的问题</我t一个l我c> <year> 1969年</ye一个r><volu米e> 5</volu米e><我年代年代ue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 64年</fp一个ge> <lpage> 72年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR0314115</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>16</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gyongy</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> 维多</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 对伊藤随机方程强解的存在通过近似</一个rt我cle-title> <source> <italic> 概率理论和相关领域</我t一个l我c> <year> 1996年</ye一个r><volu米e> 105年</volu米e><我年代年代ue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 143年</fp一个ge> <lpage> 158年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF01203833</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR1392450</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="incollection"> <label>17</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戴维</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 国民党理论应用于空间数据近似</一个rt我cle-title> <source> <italic> 随机分析及其应用</我t一个l我c> <year> 2014年</ye一个r><volu米e> One hundred.</volu米e><publ我年代her-name> 施普林格</publ我年代her- - - - - -name> <fpage> 185年</fp一个ge> <lpage> 201年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978 - 3 - 319 - 11292 - 3 - _7</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> MR3332713</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>18</l一个bel><ele米ent-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kloeden</年代urname> <given-names> p E。</given-names> </name> <name> <surname> 滚筒</年代urname> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> 莱特</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 多个随机积分的近似</一个rt我cle-title> <source> <italic> 随机分析及其应用</我t一个l我c> <year> 1992年</ye一个r><volu米e> 10</volu米e><我年代年代ue> 4</我年代年代ue><fp一个ge> 431年</fp一个ge> <lpage> 441年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 07362999208809281</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0007266479</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></ele米ent-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>