大宗商品现货价格的跳跃大小分布及其对期货和期权价格的影响

文摘

在本文中,我们分析的角色跳跃大小分布在美国天然气价格当重视天然气期货交易在纽约商品交易所(NYMEX),我们观察到一个jump-diffusion模型总是错误提供低于扩散模型。此外,我们还表明,尽管正态分布提供了降低错误期限短,长期限的指数分布是相当准确的。我们还天然气价格选项,我们看到,在一般情况下,正常跳大小分布的模型低估了这些选项的指数分布。最后,我们获得期货风险溢价在这两种情况下,我们观察到长期限风险溢价的期限结构是负的。此外,该指数分布提供了绝对值最高溢价。

1。介绍

在文献中,大宗商品价格通常遵循一个扩散过程与连续路径当大宗商品衍生品定价。虽然这个假设是很有吸引力的,因为它计算,方便,理论推导和统计特性,1- - - - - -4)其他重大发现存在的大宗商品价格的跳跃。

在传统jump-diffusion商品模型,随机过程的功能和风险的市场价格通常指定为简单的参数函数,为纯粹的温顺和简单。此外,模型的函数通常选择提供一个仿射模型有一个已知的封闭解。例如,[5认为一个三因子模型,现货价格遵循jump-diffusion随机过程。在[6)现有商品估值模型扩展到允许随机波动性和跳跃,同时在现货价格和波动。标准的几何布朗运动的跳跃(用7)来描述底层现货和利率的均值回归扩散过程和便利收益率在金和铜的价格模型。在[8季节性均值回归模型与跳跃和Heston-type随机波动进行了分析。

我们认为,在这篇文章中,一个双重jump-diffusion商品模型,其中的一个因素是大宗商品现货价格,另一个是便利收益。这些因素经常使用在商品文学。例如,[9,10)提出了仿射模型与这两个因素,尽管他们不考虑跳跃。然后,所有的功能可以很容易地估计和大宗商品衍生品定价。然而,没有任何经验的证据或共识,仿射模型是最好的模型价格商品期货。此外,风险的市场价格没有观察到在市场。如果我们考虑其他更实际的功能状态变量或风险的市场价格甚至非参数的方法,然后,模型不会仿射了,封闭的解,无法获得,因此,市场价格风险的估计是不可能的。然而,(11)展示了一种新方法来估计模型的整体功能虽然是未知的封闭解。他们甚至把它应用到一个jump-diffusion跳遵循正态分布模型。最后,他们估计整个函数非参数技术为了避免任意函数模型。

作者发现了大宗商品市场的季节性模式,以及这一事实已经考虑在他们的模型;参见[12- - - - - -15]。

在这篇文章中,我们天然气期货价格假设现货价格遵循一个扩散过程,然后,我们也考虑jump-diffusion过程与正常跳大小分布在11),但给予更高的预测时间。此外,我们还假定跳大小服从指数分布,使一些比较和分析的作用大小分布。我们发现在短期限正态分布提供了更准确的期货价格。然而,指数分布显示了长期限最低的错误。此外,长期限分布模型与定价低于期货市场,但期货价格的指数分布高于正态分布。此外,他们更接近观测到的。然后,为了补充(11),我们也跳时期货期权价格不考虑当正常以及一个指数跳大小分布。在这种情况下,我们可以看到,价格高之间的差异(尤其是资金选项)。

期货价格是一个潜在的有价值的信息来源的市场预期资产价格。事实上,金融投资者利用期货合约来对冲大宗商品价格风险。然而,利用这些信息很难在实践中,因为存在的一个风险溢价之间目前的期货价格和现货价格预计潜在的资产。此外,理解这种溢价是非常重要的;参见[16]。也因此,在这篇文章中,我们展示了一个样本外的分析天然气期货风险溢价。我们发现的风险溢价指数分布与正态分布是负的多次。在所有的情况下,我们使用天然气数据在纽约商品交易所交易和非参数方法估计整个函数的双因素模型。

剩下的纸是组织如下。部分2显示了一个双重jump-diffusion为大宗商品衍生品定价的模型。部分3价格与扩散模型和期货jump-diffusion模型,当跳大小是正常的和指数分布。然后比较。部分4比较期货期权价格跳时遵循正常或一个指数分布。部分5分析了期货风险溢价和,最后,部分6总结道。所有使用MATLAB软件的实现已经完成。

2。估值模型

在本节中,我们介绍一个商品模型与两个状态变量:现货价格和便利收益,大宗商品衍生品定价;参见[11,17]。我们假设现货价格遵循jump-diffusion过程,因为大宗商品价格通常遭受突然变化的市场;参见[1]。然而,我们假定便利收益率是一个扩散过程,因为其行为不受极端变化的影响;见,例如,(6]。

定义 作为一个完整的过滤概率空间满足通常的情况是一个过滤;参见[18- - - - - -20.]。让是现货价格瞬时便利收益。我们假设这些因素遵循这个联合jump-diffusion随机过程: 在哪里和是飘和波动。此外,和维纳过程和跳跃的影响是由复合泊松过程, ,跳次 ,在哪里代表一个泊松过程和强度 和 是一个序列的恒等分布的随机变量的概率分布 。我们假设和是独立的 ,但与标准布朗运动 我们还假设模跳和跳到达时间与扩散的部分不相关的流程。我们假设功能 和满足合适的正则性条件:[20.,21]。在上述假设下,大宗商品期货价格的时间与成熟时间 , 可以表示为 并确认到期 。

我们假设市场无套利。然后,存在一个等价鞅测度,衡量,这被称为风险中性测度;看到扩展Girsanov-type测量变换(22]。模型的状态变量(1风险中性测度下)如下: 在哪里和维纳过程在风险中性测度下吗 。风险的市场价格和维纳过程 和 ,分别。最后, 补偿下的复合泊松过程吗测量,泊松过程的强度是 ,表示下的期望测量。然后,期货价格可以表示为

让 是一个欧洲的价格看涨期权到期在期货合约到期 , ,是执行价格。然后,类似地(4),一个欧洲商品期货期权定价下预期贴现回报测量;参见[6,22]: 在哪里表示瞬时无风险利率,这是假定为常数。此外, 和 到期的期权合约和期货合同,分别。

3所示。纽约商品交易所大宗商品期货数据的估值

在本节中,通过实证应用程序与天然气纽约商品交易所数据,我们说明了模型的优点和缺点的现货价格jump-diffusion过程指数分布和正态分布。在所有的情况下,我们使用的方法,非参数技术和分类的数据(2004年1月- 2014年12月)(11),估计风险中性的功能。然而,我们增加样本外段天然气衍生品价格从1月到2015年7月。

在此实证应用程序中,我们使用模型节中提到的2,大宗商品现货价格的因素和便利收益。为简单起见和驯良像往常一样在文献中,我们还假设下跳大小的分布测量已知的和等于分配下测量。这意味着所有相关风险溢价跳人为吸收强度的变化的跳物理测量在风险中性测度;参见[8,11,23]。此外,我们假设跳大小遵循正态分布 (见[11])或一个指数分布(见[6,24,25])。

为了天然气期货价格,我们每天使用的天然气来自纽约商交所Quandl平台的数据。天然气现货价格得到美国能源信息管理局(EIA)。样本期间涵盖了从2004年1月至2015年7月。更准确地说,我们使用数据从2004年1月至2014年12月估计风险中性功能(11),然后,我们把数据从1月到2015年7月,让我们的样本外的期货价格分析。

众所周知的文学,便利收益率不是观察市场。然后,后9),我们通过以下结果近似 在哪里是指远期利率之间 和 。我们获得这个远期利率是每天两次短期国库债券利率与期限尽可能的期货合约的计算 ,未来一个月折合成年率便利收益。后者是认同了瞬时便利收益 ;参见[9,11为更多的细节。

为了估计风险中性jump-diffusion模型的功能,我们遵循相同的方法11]。注意,类似的技术提出了利率衍生品;参见[26,27]。

首先,我们获得补偿风险中性漂移的现货价格通过以下平等相关期货斜率在原点的偏移位置的随机过程测量;参见[11更多的细节:

我们近似偏导数的数值微分的方法 与期货价格期限等于1,2,3,4个月。然后,我们估计它通过Nadaraya-Watson估计量;参见[28为更多的细节在这估计技术。

其次,对于中性跳强度,我们使用结果提出了[11)涉及期货斜率的起源与现货价格,现货价格波动,和参数的大小分布在跳测量:

最初,(11)认为跳大小遵循正态分布 那么, , 。此外,众所周知,

在本文中,我们还假设跳大小的指数分布 ;然后: 这跳大小分布也被认为29日)的波动性和(30.]因为利率。这种假设可能是有用的定价期间,积极跳跃预计将主宰-跳跃,例如,走出经济危机(见[30.])或在特定经济制度(见[31日])。

与分布,跳转的参数大小分布和现货价格波动, ,估计的矩方程组jump-diffusion过程(见[11,32,33): 更准确地说,我们用的时刻 , ,和正态分布和时刻 , ,和指数分布;见,例如,(34,35),分别。然后,Nadaraya-Watson估计量。一旦我们跳大小分布的参数估计和现货波动性和近似偏导数 和 ,我们代替他们(9)。然后,我们估计风险中性跳强度与Nadaraya-Watson现货价格的估计量。

便利收益遵循一个扩散过程,我们估计其风险中性漂移的 参见[11]。为了估计的相关性,我们使用 和Nadaraya-Watson估计量;参见[36为更多的细节。之后,我们取代估计协方差的近似 和 在(13),我们估计的风险中性漂移便利收益率通过Nadaraya-Watson估计量。

最后,便利收益率的波动性测量等于下的波动测量。因此,我们估计通过扩散过程的二阶矩: 和Nadaraya-Watson估计量,位置和便利收益数据。

到目前为止,我们主要集中在风险中性的估计jump-diffusion过程的功能。如果我们假设现货价格遵循一个扩散随机过程,模型的因素将跟随这个关节扩散随机过程测量: 与 。

这些函数的估计是由通过的方法37]Nadaraya-Watson估计量,用同样的天然气数据和数值微分近似jump-diffusion模型。

分析的影响天然气期货价格上的跳跃,我们天然气期货价格扩散模型(DM)以及jump-diffusion模型与正常跳大小分布(JDMN)和一个指数分布(JMDExp)。为了天然气期货价格需要解决一个偏积分微分的方程,同样,通过Feynman-Kac定理的期望(4)。当我们无法找到使用非参数方法封闭的解。最近,一些数值方法被开发来解决这类问题;参见[38,39]。

在本文中,我们使用蒙特卡罗模拟方法,因为在市场广泛应用的实践者,特别是对于多因素模型由于其简单性和效率,(40]。更准确地说,我们认为5000模拟和每天的时间步长, 。我们天然气期货价格期限从1到44个月,我们比较他们与那些在纽约商品交易所交易的样本外(1 2015)。作为误差的措施,我们使用均方根误差(RMSE)和均方根误差百分比(PRMSE)样本外: 在哪里是观察,的数量在纽约商品交易所期货价格交易,不同模型的预测期货价格。

表1显示一个总结的RMSE PRMSE样本外的不同模型和几个期限。F1是一个成熟的期货价格1月,F6与六个月,等等。在这个表中,我们表明,短期限的RMSE通常低于长期限。此外,对于短期限有时扩散模型天然气期货价格相当准确,至于F6。然而,F1和期限高于或等于9个月,jump-diffusion模型提供了较低的错误比扩散模型(11]。此外,期限低于18个月比JDMExp JDMN更准确,但长时间期限(高于或等于18个月)结果变化和JDMExp显示错误比JDMN低。因此,根据成熟的期货价格,比其他一些模型更准确。PRMSE而言,我们得出这样的结论,但期限长或等于36,JDMN相对误差之间的差异和JDMExp更高。

现在我们将注意力转向绝对错误的样本外期限。图1情节的绝对误差考虑模型等期限6,18日,44个月。我们只显示这些期限,因为其余类似的行为。例如,6个月到期,我们观察到的错误DM沿着样本外的第一个月是最低的,虽然它改变最后一个月。较长期公债,例如18个月,JDExp模型提供了许多个月最低的错误,其次是JDN。最后,当我们考虑最长的成熟度,JDExp模型显然是最准确的。

如果我们分析样本外的价格行为,我们观察短期高变化,但他们减少当我们增加成熟度。成熟的时间越长,越低的价格随时间动态变化。为了说明这个问题,因此,在图2情节,我们在纽约商品交易所期货价格交易和定价的不同模型考虑本文(DM、JDMN JDMExp)。在这个图中,我们可以看到最高的变化是F44 F6和最低的。关注估计价格,我们观察到,一般来说,DM提供最低的价格和JDMExp最高价格为每个成熟的时间期限。我们观察到纽约商品交易所和期货价格估计通常上升当成熟度增加,但是市场价格上涨的速度高于不同模型的估计价格。我们也看到,估计模型相对纽约商交所F6期货在几个月后。然而,在大多数情况下,JDMN和DM定价低于纽约商品交易所期货期限为18个月。最后,对于一个成熟的44个月,整个估计模型低估了纽约商品交易所期货。然后,成熟度越高越高的可能性天然气期货价格偏低的不同模型,特别是由DM。

总之,在[11),jump-diffusion模型提供错误低于扩散模型除了一些短的期限。因此,这一事实支持使用跳转流程建模时商品动态定价天然气期货价格。跳的大小分布而言,JDMN价格,一般情况下,低于JDMExp价格。这与假设一致跳大小分布的部分3。正态分布下跳的平均尺寸为零,而在指数分布下跳的平均尺寸是正的。因此,平均跳跃的影响正态分布下的现货价格应低于下指数分布。此外,正态分布提供了误差最低期限短于或等于12个月,但指数分布是更精确的时间期限。这一事实可能是由于非常低的天然气现货价格预测期间的时间。此外,投资者在市场上应该照顾可能过度高估或低估这些模型根据成熟的期货。

4所示。期货期权估价

在前一节中我们已经看到jump-diffusion模型对扩散模型的优越性天然气期货定价,期限长,模型与指数分布比另一个更精确的模型。因此,在本节中,我们讨论不同的跳跃大小分布的影响在不同的天然气导数:期货期权。为了这个欧洲看涨期权价格我们使用相同的纽约商品交易所数据和估计方法比在前一节中,但是,现在,蒙特卡洛方法近似(5与5000年模拟和每天的时间步() )。

我们假设不同的期权到期日, ,3、6、9和12个月,和不同的期货到期日, ,等于3、6、9和12个月。我们还假设执行价格,这是一个比例的天然气现货价格目前的定价,等于 , 。因此,期权定价钱,钱,钱,分别。

瞬时利率是不明显的,我们使用三个月国库券利率的美国联邦储备理事会(美联储,fed)估值时刻作为一个代理。在期限结构的文献,这国库券利率通常也被认为是作为一个瞬时利率的代理;见,例如,(33]。

在这篇文章中,我们价格期货期权样本外数据的第一天,也就是2015年1月3日,我们观察到执行价格越高,期权价格越低。然而,结论不改变如果我们考虑为估值样本外的其他不同的日子。

当我们没有观察欧洲天然气价格选择不同的期限,我们比较正常时的价格和指数跳大小。在表2,我们将展示一些比率JDMN和JDMExp之间不同的行权价格和期限1月3日,2015年。我们可以看到,对于期权和期权期货到期日短(3个月)比率高于 。主要原因是期货价格短期的分布都很相似,虽然与正态分布的期货价格略低。然而,当我们增加期限,尤其是期货的比率大大降低 。这个事实是一致的高时的期货价格与分布差异成熟度增加。此外,这些差异甚至更高,因为期货价格是底层的选择。因此,我们推测,为了准确价格期货期权,其他随机变量模型中应该考虑,如波动或利率。

对实践者这个结果可能非常有趣,因为他们应该考虑指数跳大小分布相对期权价格对正态分布,这与获得的结果一致jump-diffusion期货价格在前一节中。最后,我们看到,执行价格比率越低越高。因此,最高价格差异可以找到钱的选项。

5。期货风险溢价

期货风险溢价之间提供了一个联系天然气期货和现货价格预计是风险管理的关键措施。尤其是大宗商品风险溢价期限结构提供额外的信息关于净对冲压力的作用。然后,它是一个重要因素在理解市场和应有的重视。

在文献中,风险溢价之间的区别的定义是预期未来现货价格和期货价格;参见[25,41其中: 因此,风险溢价是持有风险的回报,而不是一个无风险投资;参见[41]。在能源市场,风险溢价的符号通常随时间动态变化,成熟的期货,甚至与市场和商品;看到例如[42]。

一方面,商品消费者可能进入期货合约的多头仓位,因为他们想要投保未来现货价格的增加,所以他们接受价格预期现货价格。另一方面,大宗商品生产国可能进入一个空头头寸期货合约,因为他们希望对冲他们的收入风险。因为这决定是提前了,他们接受价格低于预期的现货价格。然后,如果消费者的大于生产者的活动,将会有过多的商业参与者寻求进入多头仓位。在这种情况下,净对冲压力理论建立了期货价格将高于预期未来现货价格促使投机者平衡市场空头头寸。相比之下,如果生产者的套期保值活动大于消费者,会有过多的商业参与者希望进入一个空头头寸。然后,预期未来现货价格高于期货价格促使投机者平衡市场的多头头寸。因此,商品期货风险溢价(绝对值)可以被视为市场投机者预期回报率得到补偿;参见[42]。

在本节中,我们获得的天然气期货风险溢价样本外(1 2015)。我们使用天然气期货价格在纽约商品交易所交易期限1 - 24个月,但我们也需要计算 。在这种情况下,函数的随机过程(1)估计直接从条件不同的跳分布;见,例如,(34正态分布和[35指数分布)。风险的市场价格不考虑因为没有改变从物理风险中性测度。然后,这些估计函数用于获取 与5000年通过蒙特卡罗模拟方法,模拟和每天的时间步( )。

图3显示了天然气的期限结构风险溢价与正常和指数跳大小分布,分别以下RPNormal和RPExp。我们计算这些值的均值风险溢价,对于每个成熟度,样本外。RPNormal和RPExp都在这个数字,一般来说,同样的行为虽然正常跳大小分布下的风险溢价总是高于指数分布下的风险溢价。这一事实与分布的均值一致被认为是在每种情况下。此外,图中可以看到3,短期限的风险溢价是积极的(大约到7或8个月指数和正态分布,职责)。净后对冲压力理论,对这些短期限生产者高于消费者的活动活动和风险溢价是投机者的平均回报将获得进入多头的天然气期货市场和期货到期。这意味着期货价格低于现货价格和期货价格曲线通常是backwardated;参见[43]。然而,对于期限高于7或8个月风险溢价开始是负的。在这种情况下,期货价格高于预期现货价格,然后,溢价曲线是正常的;参见[43]。净后对冲压力理论,消费者必须提供一个动机促使投机者进入空头头寸,风险溢价的绝对值是投机者预期回报率为平衡市场接受。更准确地说,一般来说,成熟度越高越负面风险溢价,然后,投机者期望获得更高的薪酬平衡市场。

在数据4和5情节,我们估计风险溢价作为时间的函数,当跳大小是一个正常的和一个指数分布,分别。这些数字表明,有混合的证据的风险溢价的符号,此外,强时变风险溢价。因此,投机者的活动也是时变的。在图3我们看到很短期限的风险溢价是积极的;然而,在图4我们看到它并不总是积极但平均。因此,在一般情况下,期货价格是一个向下的偏见预测预期现货价格的投资期限较短的原因。然而,对于较长期公债,我们看到风险溢价通常是负面的,除了期限超过12个月的指数分布和正态分布超过24个月,在那里总是负面的。期限超过6个月,期货价格是一个向上的偏见预测预期现货价格作为一个整体。

6。结论

在本文中,我们主要是两个贡献。首先,我们应用的方法11天然气期货定价,但我们假设跳大小服从指数分布。我们使用数据和非参数技术来估计所有中性模型的功能(11]。然后,考虑到更高的样本外的时期,我们表明,考虑jump-diffusion模型提供了较低的错误比期货定价时扩散模型。此外,我们还表明,正态分布是最好的假设短期期货价格。然而,指数分布时提供较低的错误定价期限长期货。

第二个贡献是通过使用(11)方法和数据天然气价格选择和风险溢价。我们发现,在一般情况下,模型与指数分布相对期权价格的正态分布。我们认为,为了更精确地价格选项,其他状态变量应该被考虑。

风险溢价而言,我们发现这溢价是负次指数分布与正态分布。这些事实时应该考虑jump-diffusion应用于商品期货或期权价格。

这两种贡献开放的进一步研究的机会。一方面,我们可以考虑下跳大小的分布测量不等于分布测量。在这种情况下,我们会获得额外的关系来估计参数的风险中性测度下跳大小分布。另一方面,它是简单的,一个更现实的模型应该包括季节性的影响,特别是在天然气市场。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

l . Gomez-Valle和j . Martinez-Rodriguez部分支持GIR Optimizacion Dinamica, Finanzas Matematicas y Utilidad Recursiva巴利亚多利德大学的,和项目VA191U13 Consejeria de Educacion JCyL mtm2014 - 56022 c2 - 2 p的西班牙Ministerio de隐藏y Competitividad和欧洲费德基金。

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