改进傅里叶部分和近似使用加权函数不连续函数

文摘

我们引入一个广义s形变换 在给定的时间间隔 与一个阈值 。使用 ,我们开发一个加权平均方法以提高傅里叶部分和近似为一个函数有一个跳变不连续。该方法是基于目标函数的分解成左手和右手扩展的一部分。结果近似函数的傅里叶部分和组成的每个部分的扩展。的点态收敛方法及其可用性解决了吉布斯现象。的效率方法的一些数值例子所示。

1。介绍

为一个函数跳跃不连续点,每一个传统谱部分和近似不会收敛一致在任何包含间断的间隔。光谱近似结果的这一缺陷在所谓的吉布斯现象显示了非零的峰值附近的不连续(1,2]。有很多方法来解决这个问题,比如Fourier-Gegenbauer方法(3- - - - - -5],逆重建[6,7),自适应滤波方法(8- - - - - -11]。但大多数现有的方法需要大量的术语来支持精度高。

在这个工作中,专注于分段光滑函数的傅里叶部分和近似有一个跳变不连续 ,我们的目标是开发一种建设性的近似程序,用于消除不连续面附近的吉布斯现象。首先,在下一节中,我们引入了所谓的广义s形变换 用一个阈值 。使用 ,我们分解目标函数到左边部分扩展和右边的部分扩展节中描述3。然后我们结合傅里叶的部分资金和通过加权平均的形式, ,在(26节)4。我们证明了近似的点态收敛不连续的函数在整个区间。此外,它表明,渐近的版本这是由一致收敛的部分和将克服吉布斯现象。这意味着可以充分解决的问题不可避免的摆动的传统傅里叶部分和跳跃不连续点附近的近似。此外,数值结果对一些例子显示了所提方法的可用性。

2。一个广义s形变换

对于一个给定的时间间隔 和一些内部点 ,指的是文学12),我们介绍了实值函数 为一个整数 。它是用来累积平均方法分段多项式插入(12]。我们称之为 一个广义s形变换用一个阈值 。

我们可以观察的基本属性如下:(我)的特殊情况 , 和 ,是 也就是小学的s形变换提出了(13,14]。(2)的值在点 , ,和是 独立的参数 , , ,和 。此外,是严格增加间隔 因为的导数关于满足 对所有 。(3)的渐近行为附近的结束点和是 作为趋于无穷。此外,在时间间隔足够光滑 ;也就是说, 。

广义s形变换扮演着一个重要的角色在开发一种新的近似方法作为权函数在这工作。

3所示。分解一个不连续的函数

从现在开始我们假设是一个分段光滑函数包含一个跳跃不连续点吗在一个时间间隔 。我们假设的位置或其精确的近似是已知的和价值定义的平均左边和右边的极限在 ;也就是说, 另一方面, 在公式(1)或 中,我们将使用它作为一个加权函数近似方法提出的这项工作。

我们选择下面的测试函数的图在图1: 这有一个跳变不连续 : 这是连续的区间 。我们注意到 , ,因此这两个和有跳跃不连续点当我们扩展这些功能周期函数的实线。

让分段光滑函数 ,包含一个跳跃不连续点 ,被定义为 在哪里和是连续的 和 ,分别。我们假设订单的 在这篇文章足够大。首先,我们定义两个二次多项式和作为 令人满意的 令人满意的 应该注意,左边和右边的极限和在是

然后我们构造的延伸和在整个时间间隔 作为 分别为 。见过, 作为 。

人们可以推测,足够大 , 反映左部分的效果吗的在 到对面 。那么 ,对称。此外,这些扩展功能和中定义的(14)和(15)有一些特殊的属性如以下所示的前题。

引理1。让是一个分段光滑函数 与一个跳跃不连续点 ,假设订单的是固定的和有限的。然后我们的片面的限制和如下: 此外,

证明。自 和 对于一些固定的,(14)我们有 同样的方式,从(15)我们有 和 方程(18)属性的直接结果 , ,和 。

属性(17在引理1意味着两和有跳变不连续如果原来的函数有一个跳变不连续等 。属性(18)可能解决的棘手问题最后不匹配所引起的傅里叶级数近似点。

在图2、图形的和的测试函数 与 在引理为例,说明了结果1。其中,粗线表示主体扩展的功能在(a)和的(b),细线表示反映的部分和在(a)和(b),分别和虚线显示的原始图 。

足够大的 ,然而,我们可以看到跳跃不连续点的和在见下面的引理消失。

引理2。为一个函数在引理1这两个 消失的趋于无穷。

证明。由此可见, 和 作为 。因此从(14)和(15)我们有 和 。完成证明。

引理2表明的渐近性态和下图: 为足够大。应该注意的是, 因此,如果我们替换的值和在作为 和 ,那么两个和在整个区间上连续吗 。

4所示。改进傅里叶部分和近似

在本节中,我们假设分段光滑函数是定义在 与一个跳跃不连续点 。我们认为的傅里叶级数和的形式 在哪里和傅里叶系数定义为 然后我们提出的加权平均和如下: 为 。它指出,像和 ,加权平均是不连续的如果 。尽管如此,有以下所示的有意义的收敛性质定理。

定理3。让是一个函数假定引理1与 。然后我们有以下:(1)的订货的固定的,加权平均收敛于 的时间间隔内逐点的 ,提供的价值在跳跃不连续点被定义为 。(2)让是修改后的公式 ,在(26),通过替换和渐近的版本和中定义的(21)和(22),分别与假设 和 。然后收敛于的时间间隔内逐点的 ,走出吉伯斯现象 。

证明。需要指出的是,和 ,分别收敛于和点态的时间间隔 因为和都是分段光滑(1]。
让 。然后从(26)和(5)我们有 同样的,对 , 为 从定义(26)和结果(17在引理1,我们有方程 这意味着 因此,证据的断言收敛于的时间间隔内逐点的 就完成了。
(从断言),很明显(),收敛于的时间间隔内逐点的 作为 。另一方面,的定义和在(21)和(22),分别和假设 和 暗示和在最初的不连续是连续的吗与 和 。也就是说,和跳跃不连续点的都是免费的吗 。因此,傅里叶级数和一致收敛于和 ,分别。因此,我们可以看到,加权组合的和将吉布斯现象 。这就完成了证明。

近似和错误的结果与 测试函数和 ,说明在图3和4,分别。在其中,我们花了权函数的顺序 为例。的结果 ,粗线表示,相比传统的傅里叶部分和近似这是细线所示。这些数字表明,该近似高度提高傅里叶部分和整个区间上近似。特别是,吉布斯现象造成室内跳跃不连续或不匹配的终点已经解决了 。

的利益冲突

作者宣称他没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由科技部资助的ICT (NRF - 2017 r1a2b4007682)。

引用

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