AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409 1085 - 3375 Hindawi 10.1155 / 2017/1364914<一个rt我cle-id pub-id-type="publisher-id"> 1364914<一个rt我cle-categories> 研究文章 改进傅里叶部分和近似使用加权函数不连续函数 http://orcid.org/0000 - 0003 - 2889 - 4459 云 Beong在 1 地方行政区域 罗伯特。 数学系<一个ddr- - - - - -line> 群山国立大学<一个ddr- - - - - -line> Gunsan 韩国 kunsan.ac.kr 2017年 22 11 2017年 2017年 01 09年 2017年 16 10 2017年 19 10 2017年 22 11 2017年 2017年 版权©2017 Beong云。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们引入一个广义s形变换<我nl我ne- - - - - -formula> w 米 ( r<米米l:mo> ; x<米米l:mo stretchy="false"> ) 在给定的时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> ( 一个<米米l:mo> , b<米米l:mo stretchy="false"> ] 与一个阈值<我nl我ne- - - - - -formula> x<米米l:mo> = r<米米l:mo> ∈ ( 一个<米米l:mo> , b<米米l:mo stretchy="false"> ) 。使用<我nl我ne- - - - - -formula> w 米 ( r<米米l:mo> ; x<米米l:mo stretchy="false"> ) ,我们开发一个加权平均方法以提高傅里叶部分和近似为一个函数有一个跳变不连续。该方法是基于目标函数的分解成左手和右手扩展的一部分。结果近似函数的傅里叶部分和组成的每个部分的扩展。的点态收敛方法及其可用性解决了吉布斯现象。的效率方法的一些数值例子所示。

 韩国国家研究基金会 nrf - 2017 r1a2b4007682 1。介绍</t我tle><p>为一个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>跳跃不连续点,每一个传统谱部分和近似不会收敛一致在任何包含间断的间隔。光谱近似结果的这一缺陷在所谓的吉布斯现象显示了非零的峰值附近的不连续(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 2</xref>]。有很多方法来解决这个问题,比如Fourier-Gegenbauer方法(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 3</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 5</xref>],逆重建[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),自适应滤波方法(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。但大多数现有的方法需要大量的术语来支持精度高。</p> <p>在这个工作中,专注于分段光滑函数的傅里叶部分和近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个跳变不连续<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们的目标是开发一个建设性的近似过程供消除不连续面附近的吉布斯现象。首先,在下一节中,我们引入了所谓的广义s形变换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>用一个阈值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。使用<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们分解目标函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>到左边部分扩展<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和右边的部分扩展<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>节中描述<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec3"> 3</xref>。然后我们结合傅里叶的部分资金<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过加权平均的形式,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq20"> 26</xref>节)<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec4"> 4</xref>。我们证明了近似的点态收敛<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不连续的函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在整个区间。此外,它表明,渐近的版本<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这是由一致收敛的部分和将克服吉布斯现象。这意味着<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以充分解决的问题不可避免的摆动的传统傅里叶部分和跳跃不连续点附近的近似。此外,数值结果对一些例子显示了所提方法的可用性。</p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。一个广义s形变换</t我tle><p>对于一个给定的时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和一些内部点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,指的是文学<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B12"> 12</xref>),我们介绍了实值函数<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为一个整数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。它是用来累积平均方法分段多项式插入(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B12"> 12</xref>]。我们称之为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>一个广义s形变换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>用一个阈值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <p>我们可以观察的基本属性<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如下:<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel>(我)</l一个bel></l是t- - - - - -我te米> </list></p> <p>的特殊情况<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <list-item> <label></label> <p>也就是小学的s形变换提出了(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B13"> 13</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]。</p> </list-item> <list-item> <label>(2)</l一个bel><p>的值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>独立的参数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是严格增加间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>因为的导数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>关于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>对所有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel><p>的渐近行为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>附近的结束点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> +</米米l:米o> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>趋于无穷。此外,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在时间间隔足够光滑<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> </list-item> <p></p> <p>广义s形变换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>扮演着一个重要的角色在开发一种新的近似方法作为权函数在这工作。</p> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。分解一个不连续的函数</t我tle><p>从现在开始我们假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个分段光滑函数包含一个跳跃不连续点吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一个时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。我们假设的位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>或其精确的近似是已知的和价值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>定义的平均左边和右边的极限<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>另一方面,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在公式(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xref>)或<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>中,我们将使用它作为一个加权函数近似方法提出的这项工作。</p> <p>我们选择下面的测试函数的图在图<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="fig" rid="fig1"> 1</xref>:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这有一个跳变不连续<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是连续的区间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。我们注意到<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ≠</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,因此这两个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mo> ±</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>当我们扩展这些功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> π</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>周期函数的实线。</p> <fig-group id="fig1"> <label>图1</l一个bel><p>测试函数的图形。</p> <fig id="fig1a"> <label>(一)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.001b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>让分段光滑函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,包含一个跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,被定义为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,分别。我们假设订单<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在这篇文章足够大。首先,我们定义两个二次多项式<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>令人满意的<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>令人满意的<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>应该注意,左边和右边的极限<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mtext> +</米米l:米text><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后我们构造的延伸<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在整个时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>作为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>分别为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。见过,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <p>人们可以推测,足够大<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>反映左部分的效果吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>到对面<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。那么<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,对称。此外,这些扩展功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>中定义的(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq11"> 14</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq12"> 15</xref>)有一些特殊的属性如以下所示的前题。</p> <statement id="lem1"> <title>引理1。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个分段光滑函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与一个跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和假设的顺序<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是固定的和有限的。然后我们的片面的限制<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>此外,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>自<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>固定的,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq11"> 14</xref>)我们有<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>同样的方式,从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq12"> 15</xref>)我们有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> 。</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>方程(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq15"> 18</xref>)属性的直接结果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> </statement> <p>属性(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq13"> 17</xref>在引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>意味着两<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有跳变不连续<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果原来的函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个跳变不连续等<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ≠</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。属性(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq15"> 18</xref>)可能解决的棘手问题最后不匹配所引起的傅里叶级数近似点。</p> <p>在图<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="fig" rid="fig2"> 2</xref>、图形的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的测试函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 40</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在引理为例,说明了结果<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>。其中,粗线表示主体<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>扩展的功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在(a)和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(b),细线表示反映的部分<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在(a)和(b),分别和虚线显示的原始图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig-group id="fig2"> <label>图2</l一个bel><p>图的扩展功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 40</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>的测试函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig2a"> <label>(一)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.002b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>足够大的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>然而,我们可以看到的跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>见下面的引理消失。</p> <statement id="lem2"> <title>引理2。</t我tle><p>为一个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>这两个<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>消失的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>趋于无穷。</p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle><p>由此可见,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq11"> 14</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq12"> 15</xref>)我们有<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。完成证明。</p> </statement> <p>引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2"> 2</xref>表明的渐近性态<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>下图:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>足够大。应该注意的是,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,如果我们替换的值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,那么两个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在整个区间上连续吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。改进傅里叶部分和近似</t我tle><p>在本节中,我们假设分段光滑函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是定义在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与一个跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。我们认为的傅里叶级数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的形式<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>傅里叶系数定义为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后我们提出的加权平均<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。它指出,像<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的加权平均<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是不连续的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ≠</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。尽管如此,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有以下所示的有意义的收敛性质定理。</p> <statement id="thm1"> <title>定理3。</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个函数假定引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。然后我们有以下:<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel>(1)</l一个bel></l是t- - - - - -我te米> </list></p> <p>的订货<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>固定的,加权平均<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>收敛于<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <list-item> <label></label> <p>的时间间隔内逐点的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,提供的价值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在跳跃不连续点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ≔</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</p> </list-item> <list-item> <label>(2)</l一个bel><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是修改后的公式<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq20"> 26</xref>),通过替换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>渐近的版本<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>中定义的(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq16"> 21</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq17"> 22</xref>),分别与假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的时间间隔内逐点的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,走出吉伯斯现象<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p> </list-item> <p></p> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle><p>需要指出的是,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>分别收敛于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>点态的时间间隔<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>因为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>都是分段光滑(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]。</p> <p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq20"> 26</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xref>)我们有<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>同样的,对<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> O</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>从定义(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq20"> 26</xref>)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和结果(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq13"> 17</xref>在引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem1"> 1</xref>,我们有方程<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,证据的断言<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的时间间隔内逐点的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>就完成了。</p> <p>(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>从断言),很明显(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>),<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的时间间隔内逐点的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。另一方面,的定义<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq16"> 21</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq17"> 22</xref>),分别和假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>暗示<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在最初的不连续是连续的吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>跳跃不连续点的都是免费的吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ξ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> ±</米米l:米o> <mml:mi> π</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此,傅里叶级数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>一致收敛于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。因此,我们可以看到,加权组合<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>将吉布斯现象<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这就完成了证明。</p> </statement> <p>近似和错误的结果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 8、16</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>测试函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>所示的数据<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="fig" rid="fig3"> 3</xref>和<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="fig" rid="fig4"> 4</xref>,分别。在其中,我们花了权函数的顺序<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 10</米米l:米n><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>为例。的结果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>用粗线表示,相比传统的傅里叶部分和近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>这是细线所示。这些数字表明,该近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>高度提高傅里叶部分和整个区间上近似。特别是,吉布斯现象造成室内跳跃不连续或不匹配的终点已经解决了<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig-group id="fig3"> <label>图3</l一个bel><p>加权平均的近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在上级行和相应的错误降低行测试函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。细线表明傅里叶部分和的近似和错误<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig3a"> <label>(一)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 8</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.003a"></graphic> </fig> <fig id="fig3b"> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 16</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.003b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig4"> <label>图4</l一个bel><p>加权平均的近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在上级行和相应的错误降低行测试函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。细线表明傅里叶部分和的近似和错误<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p> <fig id="fig4a"> <label>(一)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 8</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.004a"></graphic> </fig> <fig id="fig4b"> <label>(b)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 16</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula></p> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aaa/2017/1364914.fig.004b"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <back> <sec> <title>的利益冲突</t我tle><p>作者宣称他没有利益冲突有关的出版。</p> </sec> <ack> <title>确认</t我tle><p>这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由科技部资助的ICT (NRF - 2017 r1a2b4007682)。</p> </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 福兰德</surname> <given-names> g . B。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 傅里叶分析及其应用</我t一个l我c><year> 1992年</year> <publisher-loc> 美国加州太平洋格罗夫</publisher-loc> <publisher-name> 沃兹沃思和布鲁克斯科尔先进的书籍和软件</publisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> MR1145236</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> Zbl0786.42001</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="book"> <label>2</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杰里</surname> <given-names> a·J。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 吉布斯现象在傅里叶分析,样条函数和小波近似</我t一个l我c><year> 1998年</year> <publisher-loc> 英国伦敦</publisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术出版</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 博伊德</surname> <given-names> j . P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 麻烦GEGenbauer重建击败吉布斯现象:龙格现象的斜盖根堡多项式近似的极限</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算物理学杂志</我t一个l我c><year> 2005年</year> <volume> 204年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 253年</fpage> <lpage> 264年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2121910</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jcp.2004.10.008</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 14544287790</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gelb</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 戈特利布</surname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 吉布斯现象的解决拼接函数在一个和两个维度</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我t一个l我c><year> 1997年</year> <volume> 33</volume> <issue> 11</我ssue> <fpage> 35</fpage> <lpage> 58</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1458959</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 戈特利布</surname> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> 蜀</surname> <given-names> C.-W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 吉布斯现象及其解决</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 暹罗审查</我t一个l我c><year> 1997年</year> <volume> 39</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 644年</fpage> <lpage> 668年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0031381548</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / S0036144596301390</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 荣格</surname> <given-names> 黄永发。</given-names> </name> <name> <surname> Shizgal</surname> <given-names> b D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 泛化的逆多项式重建法解决吉布斯现象</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我t一个l我c><year> 2004年</year> <volume> 172年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 131年</fpage> <lpage> 151年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2091135</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cam.2004.02.003</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 4444237676</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shizgal</surname> <given-names> b D。</given-names> </name> <name> <surname> 荣格</surname> <given-names> 黄永发。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 吉布斯现象的解决</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我t一个l我c><year> 2003年</year> <volume> 161年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 41</fpage> <lpage> 65年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2018574</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0377 - 0427 (03) 00500 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0242626810</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 洁蕊</surname> <given-names> a·J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Lanczos-like<我t一个l我c>σ</我t一个l我c>因素减少吉伯斯现象一般正交扩展和其他表示</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算分析及应用》杂志上</我t一个l我c><year> 2000年</year> <volume> 2</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 111年</fpage> <lpage> 127年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1023 /:1010146500493</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1765299</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Tadmor</surname> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> 坦纳</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 自适应分段光滑的安慰者高分辨率恢复数据的光谱信息</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 计算数学基础</我t一个l我c><year> 2002年</year> <volume> 2</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 155年</fpage> <lpage> 189年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0013002864</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s102080010019</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Tadmor</surname> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> 坦纳</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分段光滑的光谱数据的自适应滤波器</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> IMA《数值分析(IMAJNA)</我t一个l我c><year> 2005年</year> <volume> 25</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 635年</fpage> <lpage> 647年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2170516</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1093 / imanum / dri026</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 26444609095</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 云</surname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 加权平均的方法治疗不连续光谱数据</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 应用数学的信</我t一个l我c><year> 2012年</year> <volume> 25</volume> <issue> 9</我ssue> <fpage> 1234年</fpage> <lpage> 1239年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84861574890</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2012.02.064</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 云</surname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 累计平均分段多项式近似离散数据的方法</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 应用数学科学</我t一个l我c><year> 2016年</year> <volume> 10</volume> <issue> 5 - 8</我ssue> <fpage> 331年</fpage> <lpage> 343年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84959351984</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.12988 / ams.2016.512727</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="incollection"> <label>13</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Prossdorf</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Rathsfeld</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Petkov</surname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> Lazarov</surname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在第一类积分方程起源于一个十字裂纹问题</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 积分方程和逆问题</我t一个l我c><year> 1991年</year> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t在我在 publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 艾略特</surname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> s形转换和梯形法则</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 澳大利亚数学学会的《B:应用数学</我t一个l我c><year> 1998年</year> <volume> 40</volume> <fpage> E77</fpage> <lpage> E137</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR1658346</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>