有序域的完备性和经典级数的三个测试

摘要

本文探讨了在任意有序域的情况下，狄利克雷、狄德金和Abel的无穷级数检验的命运。结果表明，这三种测试都表征了阿基米德有序场的Dedekind完备性;具体地说，这三个字段在的任何适当子字段中都是无效的。对于有界且严格递增的阿基米德有序字段中的序列，该参数依赖于一个收缩型属性。对于任意有序场，狄利克雷和狄德金的每一个检验都等价于场的序列完备性。

1.介绍

摘要微积分的主要定理从实数的完备性中得到它们的有效性，但定理本身的相互关联性的程度却日益成为人们关注的焦点。“逆向实际分析”程序，如[1，它揭示了这样一个事实，即真实分析的许多定理实际上是完备性概念的等价重新表述，因此它们彼此之间也是完备性概念的重新表述。除了[1，最近的一系列文章[2- - - - - -9]致力于研究抽象有序域，特别是阿基米德性质和完备性的各种表现方式。

一个命令字段有阿基米德的财产如果以正规方式嵌入的自然数副本上面没有上界。阿基米德性质的等价表达式有很多，上面引用的几篇文章都讨论过它们。关于完整性的讨论主要围绕绰金完整性和柯西完整性。前者意味着有上确界的财产;的每个非空子集上面有界的函数有最小的上界;后者，也称为连续的完整性的收敛性。

命令字段是由基本开区间拓扑化的吗，对于所有元素，而绝对值函数为被定义为对所有。绝对值与顺序拓扑一起工作，为解析方面提供了熟悉的意义。例如，序列的元素收敛于如果，对于每个正元素在，有一个自然数的每当。柯西数列的定义也和它的对应物，真实分析。

证明戴德金完备的场具有阿基米德性质是容易的，而众所周知，戴德金完备的场也是柯西完备的场。此外，如果一个阿基米德有序场是柯西完备，那么它一定是Dedekind完备(CA35 of [3.]或第1-2条[8]);这样的场，直到同构为止，就是场真正的数字。当然，在所有这些的背后，是康托的实数的经典构造，作为对配数的柯西完成([10])。具有阿基米德性质的有序域的一个显著事实是，它们恰恰是与之同构的子域(定理(5]或部分(1])。

在有序域的分类中，来自微积分的许多定理都考虑了系列检验。一个简单的例子，从教室胶囊[6揭示了等比级数检验和阿基米德性质的等价性。下面给出了其他一些常见的测试。

绝对收敛测试。如果是有序字段中的元素序列吗对于这个级数收敛，然后级数同样是收敛的。

比较测试。如果和有序域中的非负元素序列是什么满足对所有和收敛,然后是收敛的。

在以下定理中，我们证明了完备性和这两个系列测试之间的联系，该定理可被视为[2]。定理1将是本文中的一个重要工具。

定理1。对于有序字段，以下语句是等价的:(一) 是柯西完成。(b)绝对收敛判别法成立。(c)比较测试保持不变。

证明。本文证明了有序域的柯西完备性的绝对收敛性证明[2]。
通过注意级数的收敛性，证明了比较判别法在柯西完备域中的有效性意味着它的序列部分和是收敛的，因此柯西。序列级数的部分和因此柯西也是从中收敛的级数吗从这个领域的柯西完整性出发。
最后，为了证明绝对收敛检验在比较检验的任何时候都成立，观察一下的不平等是真的在，为比较测试设置阶段，以确保级数是收敛的。因为还是收敛的是收敛的。

定理1改进…的结果[8[在阿基米德性质下与(b)或(c)的Dedekind完全有序场的表征。

定理表述(a)与(b)的等价性1出现加上必要的变更在泛函分析中，已知赋范线性空间是巴拿赫空间当且仅当级数的绝对收敛判别有效(定理)(11]或[12])。

在本文中，我们的目标是在有序字段的分类中涉及Dirichlet、Dedekind和Abel的系列测试。这些的经典版本可以在[13]或[14，但每一个都在更一般的抽象语境中有意义。我们把部分2对他们的陈述和简短的讨论。就像绝对收敛判别法和比较判别法一样，狄利克雷判别法、狄德金判别法和阿贝尔判别法在狄德金和柯西的意义上都与完备性有关。这些关系将在章节中详细介绍4和5。在此过程中，我们探讨了有序域中有界变差序列的作用。

2.狄利克雷、狄德金和阿贝尔的级数检验

Dedekind测试的假设要求序列有有界变差是哪个，在有序字段的设置中表示存在一个元素对于这个不等式适用于所有。我们将在下一节中详细讨论有界变化序列。闲话少说，下面是正在考虑的针对任意有序字段的三个系列测试。

狄利克雷的测试。如果一个部分和构成有界数列的级数是什么一个递减数列收敛于0，那么这个级数呢是收敛的。

绰金的测试。如果是收敛级数吗是一个有界变化的序列，那么这个序列呢是收敛的。

亚伯的测试。如果是收敛级数吗是单调收敛的序列，那么这个级数是收敛的。

狄利克雷判别法是微积分中莱布尼茨交替级数判别法的推广(定理)(14而且，正如Apostol在章节中提到的(13，这三个测试是有用的工具，当一个人面临的任务，试图确定的收敛实级数不绝对收敛。此外，正如Knopp在章节中指出的那样(14，这三个测试的一个共同特点是，它们都允许对这一系列的测试得出结论从关于级数的假设和序列。Knopp指出，这种测试可以被解释为“引申意义上的比较测试”，他还包括了它们的一些应用和示例。

事实证明Abel的测试可以从Dedekind的测试中推断出来，因为，正如下一节所解释的，每个单调收敛序列都有有界变化。稍作思考，我们就会发现Abel的检验也是Dirichlet检验的必然结果。实际上，是收敛级数的部分和的序列是有限的，所以注意力只需要被引导到是单调收敛序列。如果它的极限是，则辅助序列给出也是递减的，它收敛于0。狄利克雷检验，确保级数是收敛的。级数的收敛性由收敛级数的代数性质可以很容易地得出。的情况有限度地增加是类似的处理，这次的顺序呢降低为0。

Dedekind、Dirichlet或Abel的级数测试本身都不足以表示有序域的Dedekind完备性它就在那里。如果如果阿基米德，这三个测试中的任何一个生效，那么它就会遵循定理吗3.那绰金已经完成。其关键是阿基米德序域中某些序列的契约性，引理对此作了详细说明4。

我们将在定理中看到6在最后一节中，有序域中的狄利克雷和狄德金检验的有效性等价于有序域的柯西完备性。类似的，最近在[15一个赋范线性空间是一个巴拿赫空间，当一个合适的向量版本的Dedekind’s判别成立，而且，当且仅当代数版本的Dedekind’s判别有效时，一个一元赋范代数是一个巴拿赫代数。

3.有界变差序列

有序字段的所有元素序列的集合有界变化表示为。例子比比皆是。事实上，单调且有界的序列自动具有有界变异:如果增加，例如对所有,然后这表明,有界变差。

有界变化的序列总是有界的，因为, 但是，一般来说，两者之间没有关系和一组的收敛序列。例如，在任何阿基米德有序域，序列收敛于0，但它不具有有界变差，而在任何非阿基米德有序场中，它具有有界变差但不收敛。事实上，在非阿基米德有序场中，任何有理数序列都有界变。

就像它们在函数领域中的对应函数一样(请参阅节)(13[])，有界变差序列允许乔丹分解。具体地说,一个序列在可以分解为两个有界递增序列的差分吗和以一种规范的方式。事实上，很容易证实这是通过选择实现的和对所有,在那里和对所有。

因为,命题(9]，有序场的阿基米德性质它的特征是上面有界的所有递增序列都是柯西序列，现在约当分解揭示了这个阿基米德性质是否当且仅当每个序列有界变化是柯西数列。

此外，如果每个序列的有界变化恰好收敛，因为我们已经知道每个单调有界序列都是,单调收敛定理适用于。单调收敛定理是等价于Dedekind完备性(CA13 of [3.]或部分(8)，因此我们得出结论，一个领域，其中包括持有必须是完整的。

文献中对Abel的测试的假设似乎略有不同。我们使用的版本如下定理(13在要求收敛级数方面]和一个单调收敛的序列。然而，在Abel的测试中，这就是定理(14本系列),仍然是收敛的，而序列只是假设它是单调且有界的。当基础字段为时，这两个版本完全相同。此外，由于约当分解，在任何场中，后一种形式等价于Dedekind检验。

正如我们所看到的，关于有界变差序列的事实往往可以从单调序列的性质推导出来。尽管它们发现自己在某种程度上被单调序列所掩盖，但有界变异序列仍然在分析中发挥作用。结果表明Dedekind的判别法是结果中比较简单的一半即巴拿赫空间的拓扑对偶空间所有实序列的对应的级数收敛可以用(第IV.13.12号决议[16])。有界变化序列在可和性理论的相关背景下再次出现:为了一个无限矩阵定义一个映射的变换成，其中一个充要条件是它的每一行都在(定理(14]或第II.4.45号决议[16])。

引理2。如果有序字段如果柯西完备，那么狄利克雷、狄德金和阿贝尔的级数检验都成立。

证明。的身份求和分部由于阿贝尔定理(13)，一种著名的黎曼-斯蒂尔杰积分中分部积分的类比，将其延续到逐字地设置一个抽象字段(或者，事实上，任何环):用于元素和的和为时，有以下等式成立: 与经典方法一样，推出级数的收敛性似乎是很自然的通过建立前面公式右边的两个序列的收敛性。
在狄利克雷检验的情况下，由于定理的存在，这种方法在任意柯西完备域上都是成功的1。的确，狄利克雷假设的检验很容易确保这一点和两个收敛。因此,如果表示部分和数列上的正上界，然后级数是收敛的。由定理1，得到级数的收敛性由比较检验然后得出期望收敛性的级数从绝对收敛检验。
然而，由于有界变差序列的收敛性只有在Dedekind完全有序域的设置下才能得到保证，因此Dedekind检验还需要做更多的工作。因此，我们将以下两种情况分开。
如果柯西完备域正好是阿基米德Dedekind完成了吗，我们现在是在古典环境下吗Dedekind和Abel的测试，当然，直接来自于前面的部分求和公式。
因此，仍然需要解决的问题是非阿基米德。因为Dedekind 's和Abel 's测试的假设确保了这一点作为这个序列是有界的作为。级数的收敛性[的主要定理(b)部分如下:2]。

4.Dedekind完整性和系列测试

现在，我们在关于一个排序字段的语句列表中涉及到三个系列测试，这个排序字段相当于Dedekind完整性。

定理3。对于有序字段，以下语句是等价的:(一) 绰金已经完成。(b)序列在单调有界的是收敛的。(c) 。(d) 是阿基米德和狄利克雷检验成立。(e) 是阿基米德和狄金德的测试成立。(f) 阿基米德和亚伯的测试成立。

如前一节所示，命题(a)和(b)的等价性是众所周知的，而(b)和(c)的等价性从有界变差序列的约当分解中是清楚的。

因为Dedekind完备的场就是Archimedean和Cauchy完备的场和根据引理2。的影响和狄利克雷判别法和戴德金判别法的结果是否都暗示了阿贝尔判别法，这部分最后会有详细介绍2。

因此，这一点尚待证实。我们的证明将基于以下结果。

引理4。让成为阿基米德有序场的积极元素,让是一个严格递增的有界序列。然后存在子序列这样

证明。根据前面提到的阿基米德场的特性，我们可以而且确实假设的子字段是。那么就存在一个元素的作为。一旦我们知道了，归纳出期望的子序列就很简单了存在一些与这样估计适用于所有与。为此,解决，并随时注意满足的不平等自动保存。现在,把如此之多,和然后,对所有与,我们获得为了完成引理的证明，我们选择然后，通过归纳，得到一个整数序列与这样先天的估计适用于所有和与。一旦子序列与前面的属性已被选择，为每个我们可能需要得出该数列满足引理结论的结论。

我们顺便提到，前面的结果对于递增，而不是严格递增，仍然有效，只要严格不等式在断言中被替换为。事实上，这在一个最终为常数的递增序列的情况下是显而易见的，而每一个最终不为常数的递增有界序列都允许一个严格递增的子序列，其引理就是这个子序列4可能应用。

现在我们可以完成定理的证明了3.。

的证明。假设是否存在阿基米德有序场，并考虑任意递增的有界序列在。看看这个序列收敛，我们可以假设它最终不是常数，从而允许一个严格递增的子序列。因为递增的序列收敛于恰好当它包含一个收敛的子序列时，我们可以不失一般性地假设实际上正在严格增加。然后我们应用引理4与选择获取子序列的对所有。和前面一样，它足以证明这个子序列收敛。这现在将由应用阿贝尔的测试和阿基米德性质的领域。为此，我们介绍对所有。因为是阿基米德，我们从[6几何级数是收敛的。其次是子序列的选择确保因此对所有。因此降低为0。通过Abel的检验，我们现在得出部分和序列的结论是收敛的。因为伸缩显示对所有，这证实了所期望的收敛性。

虽然几何级数判别法本身并不能保证完备性，但它对课堂的影响不大[6，还有定理3.，表示如果几何级数判别法，以及狄利克雷、狄德金或阿贝尔的判别法，是否适用于有序域绰金已经完成。定理3.还揭示了唯一的子字段狄利克雷，狄德金，或阿贝尔的测试是场对于实数本身。然而，这三个测试中的每一个都存在许多非阿基米德有序字段。我们将通过一个例子来讨论这个问题。

例5。一个例子，同时说明在现场的三个测试的失败有理数是由几何级数提供的和谐波序列。这个级数收敛，所以它的部分和是有界的，这个数列是收敛于0的递减数列。从而满足了狄利克雷检验的假设。我们用微积分来证明这个级数但是，不收敛吗。的泰勒级数时有效的，是大家熟悉的几何级数。逐项积分得到级数其中等式对相同的收敛半径有效。选择揭示了。但是非理性的，因为否则方程与需要这个数字吗是多项式的根吗，与事实相矛盾是先验的，是Hermite的著名成果，可追溯到1873年[17])。狄利克雷检验的结论因此不成立。这些数据也表明Dedekind和Abel的测试失败了。

5.柯西完备性和级数测试

最后，我们返回到柯西完备性的情况和下面定理的推广1。

定理6。对于有序字段，以下语句是等价的:(一) 是柯西完成。(b)绝对收敛判别法成立。(c)比较测试保持不变。(d)绰金的测试。(e)狄利克雷的测试。

证明。语句的等价性,,用定理来处理1，其含义和是引理吗2。由定理3.，因此，只要确立和在非阿基米德的情况下。为此，我们考虑一个任意序列在非阿基米德领域对于这个级数是收敛的。
如果坚持，然后我们选择这样对所有观察这个部分和的序列以上为界,因为不是阿基米德。因此Dedekind的测试确保了这一点是收敛的，这就证实了意味着。
证明的收敛性条件下，首先注意级数的收敛性该序列是该序列的部分和是柯西数列。为了达到我们的目标，它足以证明这个级数的部分和的序列具有收敛的子序列。这将通过以下构造来完成。
的假设收敛意味着作为，为了不失一般性，我们假设序列不是最终。引用在证明经典单调收敛定理(定理)中详细说明的程序(18)，我们归纳提取一个逐渐减小的“峰值”子序列如下。我们从选择作为最小正整数的对所有。此后,一旦是指定的,是最小正整数吗除了的对所有。显然,对所有,减少到。
现在,对于每个,让和观察级数的部分和的序列因此被限制在因为那块地非阿基米德。因此，通过狄利克雷判别，这个级数是收敛的。自对所有，我们得出该序列的部分和的级数子序列确实是收敛的，所以我们达到了预定的目标。

一位匿名的裁判慷慨地提供了定理(a)、(d)和(e)项的等价性6以及证明的大纲。为证明柯西完备性是狄利克雷检验的结果而提出的论证基于[2以及非负项级数重排的结果。最后，我们选择了自己的版本进行证明由于其直接集中于绝对收敛性检验。在任意有序域中，阿贝尔测试的有效性是否意味着该域是柯西完备性的问题仍然没有解决。

相互竞争的利益

两位作者声明，他们没有相互竞争的利益。

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