这一事实绝对收敛测试特征柯西完整性命令字段是本文证明( 2]。

比较的有效性测试领域的柯西完全遵循注意收敛的级数<在line-formula> ∑ b n 意味着它的序列<在line-formula> ( B n ) 部分和的收敛,因此柯西。序列<在line-formula> ( 一个 n ) 的部分和系列<在line-formula> ∑ 一个 n 也因此,柯西,级数的收敛吗<在line-formula> ∑ 一个 n 遵循从柯西的完整性。

最后,看到绝对收敛测试认为只要比较测试,观察,<在line-formula> n 的不平等 (1) 0 ≤ 一个 n + 一个 n ≤ 2 一个 n 是真的在<在line-formula> F ,为比较测试,以确保系列<在line-formula> ∑ 一个 n + 一个 n 是收敛的。因为还<在line-formula> ∑ - - - - - - 一个 n 收敛,它遵循<在line-formula> ∑ 一个 n 是收敛的。

定理 1改进的结果( 8]绰金完成命令的描述字段的阿基米德属性一起(b)或(c)。

等效的语句(a)和(b)的定理 1出现 加上必要的变更在功能分析,众所周知,赋范线性空间是巴拿赫空间当且仅当绝对收敛测试系列是有效的(定理<在line-formula> 2.8 ( 11]或声明(八)( 12])。

在本文中,我们的目标是包括狄利克雷的系列测试,绰金,和亚伯命令的分类字段。经典版本的这些可能被发现,例如,在[ 13]或[ 14中每个有意义的),但更普遍的抽象背景。我们把部分 2他们的声明和一个简短的讨论。绝对收敛测试和比较测试,狄利克雷,绰金,亚伯的测试与完整性绰金和柯西的感觉。这些关系在部分详细 4和 5。在这个过程中,我们探索的角色要求领域的有界变差序列。

绰金假说的测试序列的呼声<在line-formula> ( b n ) 有 有界变差在命令的设置<在line-formula> F ,这意味着有一个元素<在line-formula> 米 ∈ F 的不平等<在line-formula> ∑ k = 1 n b k + 1 - - - - - - b k ≤ 米 适用于所有<在line-formula> n ∈ N 。有界变差序列,我们将在下一节详细。事不宜迟,是三个系列测试考虑任意命令。

狄利克雷的测试。如果<在line-formula> ∑ 一个 n 是一个系列的部分和形成一个有界序列和<在line-formula> ( b n ) 是一个递减序列收敛于0,那么这个系列吗<在line-formula> ∑ 一个 n b n 是收敛的。

绰金的测试。如果<在line-formula> ∑ 一个 n 是一个收敛级数和<在line-formula> ( b n ) 是一个有界变差序列,那么这个系列吗<在line-formula> ∑ 一个 n b n 是收敛的。

亚伯的测试。如果<在line-formula> ∑ 一个 n 是一个收敛级数和<在line-formula> ( b n ) 是一个单调收敛序列,那么这个系列<在line-formula> ∑ 一个 n b n 是收敛的。

狄利克雷的测试是可识别的泛化的莱布尼茨的交替系列测试从微积分(定理<在line-formula> 3.4 。 2 ( 14),而且很有提到<在line-formula> 8.15 ( 13),这三种测试是有用的工具时面对的任务试图确定绝对收敛的级数不收敛。此外,正如Knopp指出的部分<在line-formula> 5.5 ( 14),在这三个测试的一个共同特征是他们都允许结论的得出系列<在line-formula> ∑ 一个 n b n 从假设有关<在line-formula> ∑ 一个 n 和序列<在line-formula> ( b n ) 。Knopp言论,这种测试可能被解释为“扩展意义上的比较测试,”他还包括几个应用程序和例子。

事实证明,亚伯的测试可以推断从绰金的测试,因为,正如在下一节中解释的那样,每一个单调收敛序列有界变差。片刻的反射显示,亚伯的测试也是一个推论狄利克雷的测试。事实上,收敛级数的部分和序列<在line-formula> ∑ 一个 n 是有界的,所以只需要注意定向的规定<在line-formula> ( b n ) 是一个单调收敛序列。如果<在line-formula> ( b n ) 减少和限制是什么<在line-formula> b ,然后由辅助序列<在line-formula> c n = b n - - - - - - b 同时也降低了,它收敛于0。狄利克雷的测试从而确保系列<在line-formula> ∑ 一个 n c n 是收敛的。级数的收敛性<在line-formula> ∑ 一个 n b n 是很容易从代数收敛级数的性质。的情况<在line-formula> ( b n ) 增加与限制<在line-formula> b 处理类似地,因为这个时间序列<在line-formula> ( - - - - - - c n ) 降低为0。

所有的系列测试绰金、狄利克雷或亚伯,就其本身而言,足以暗示绰金有序字段的完整性<在line-formula> F 它成立。如果<在line-formula> F 阿基米德,然而,这些三个测试力量,那么它将遵循定理呢 3那<在line-formula> F 绰金已经完成。关键是contractive-type属性对于某些序列在阿基米德命令字段详细的引理 4。

正如我们将看到的定理 6在最后部分,测试的有效性的绰金或狄利克雷有序领域相当于柯西的完整性。同样,这是最近证实在 15],赋范线性空间是巴拿赫空间正是当一个版本的绰金测试持有和合适的向量,此外,unital赋范代数是巴拿赫代数绰金当且仅当一个代数版本的测试是有效的。

所有元素的命令序列的集合<在line-formula> F 将用在有界变差<在line-formula> b v F 。例子比比皆是。事实上,自动序列是单调有界有界变差:如果<在line-formula> ( 一个 n ) n ∈ N 越来越多,例如,<在line-formula> | 一个 n | ≤ K 对所有<在line-formula> n ∈ N ,然后 (2) ∑ k = 1 n 一个 k + 1 - - - - - - 一个 k = ∑ k = 1 n 一个 k + 1 - - - - - - 一个 k = 一个 n + 1 - - - - - - 一个 1 ≤ 一个 n + 1 - - - - - - 一个 1 ≤ K - - - - - - 一个 1 , 这表明,<在line-formula> ( 一个 n ) n ∈ N 有界变差。

有界变差序列总是有界以来,对于任何<在line-formula> n ∈ N , (3) 一个 n ≤ 一个 1 + 一个 2 - - - - - - 一个 1 + 一个 3 - - - - - - 一个 2 + ⋯ + 一个 n - - - - - - 一个 n - - - - - - 1 ≤ 一个 1 + 米 。 但总的来说,没有关系<在line-formula> b v F 和一组<在line-formula> c F 收敛序列的<在line-formula> F 。例如,在任何阿基米德命令,序列 (4) 1,0 , 1 2 , 0 , 1 3 , 0 , 1 4 , 0 , … 收敛于零,但它没有有界变差,然而,在任何非阿基米德命令字段,它有界变差但不收敛。事实上,在一个非阿基米德下令领域,任何有理数序列有界变差。

像他们的同行的函数在一个区间(见部分<在line-formula> 6.7 ( 13),有界变差序列承认 乔丹分解。具体地说,一个序列<在line-formula> ( 一个 n ) n ∈ N 在<在line-formula> b v F 可以分解成两个有限增加序列的差异<在line-formula> ( p n ) n ∈ N 和<在line-formula> ( 问 n ) n ∈ N 以规范的方式。事实上,它很容易验证,这是通过选择来实现的<在line-formula> p n = ( v n + 一个 n ) / 2 和<在line-formula> 问 n = ( v n - - - - - - 一个 n ) / 2 对所有<在line-formula> n ∈ N ,在那里<在line-formula> v 1 = 0 和<在line-formula> v n = ∑ k = 1 n - - - - - - 1 | 一个 k + 1 - - - - - - 一个 k | 对所有<在line-formula> n ≥ 2 。

因为,命题<在line-formula> 4 ( 9),有序的阿基米德属性字段<在line-formula> F 特点是有界的条件是所有增加序列上面柯西序列,现在乔丹分解显示吗<在line-formula> F 阿基米德的财产当且仅当每一个序列有界变差<在line-formula> F 是一个柯西序列。

此外,如果每个序列的有界变差<在line-formula> F 发生在收敛,因为我们已经看到,每一个单调有界序列位于<在line-formula> b v F , 单调收敛定理适用于<在line-formula> F 。之间的单调收敛定理是一个坚定的语句,相当于绰金完整性(CA13 [ 3]或部分<在line-formula> 1 ( 8]),我们得出这样的结论:包含一个字段<在line-formula> b v F ⊆ c F 必须持有绰金完成。

亚伯的假说的测试似乎略有不同的文学。与我们合作的版本是定理<在line-formula> 8.29 ( 13在需要收敛级数<在line-formula> ∑ 一个 n 和一个单调收敛序列<在line-formula> ( b n ) 。然而,在声明中阿贝尔定理的测试<在line-formula> 5.5 。 1 ( 14本系列),<在line-formula> ∑ 一个 n 仍需要收敛,而序列<在line-formula> ( b n ) 只是认为是单调有界。两个版本是等价的精确当底层字段<在line-formula> R 。此外,由于乔丹分解,事实证明,在任何领域,后者相当于绰金的测试版本。

正如我们看到的,关于有界变差序列往往可能推导出从单调序列的性质。尽管他们发现自己有点失色单调序列,序列有界变差仍在分析中发挥作用。事实证明绰金的测试是简单的一半的结果说,巴拿赫空间的拓扑对偶空间<在line-formula> c 年代 R 所有的序列<在line-formula> ( 一个 n ) 相关的系列<在line-formula> ∑ 一个 n 收敛可能认同<在line-formula> b v R (锻炼IV.13.12 [ 16])。有界变差序列后他们的头又可和性相关的上下文的理论:为了使无限矩阵定义了一个变换映射<在line-formula> c 年代 R 成<在line-formula> c 年代 R 的充分必要条件是它的每个行<在line-formula> b v R (定理<在line-formula> 5.6 。 1 ( 14]或锻炼II.4.45 [ 16])。

如果命令字段<在line-formula> F 柯西完成,那么狄利克雷的系列测试,绰金,和亚伯。

阿基米德的特征字段前面所提到的,我们可以做假设<在line-formula> F 是一个分支,它<在line-formula> R 。然后有一个元素<在line-formula> l ∈ R 的<在line-formula> c n → l 作为<在line-formula> n → ∞ 。电感的选择所需的子序列将直接一旦我们知道每一个<在line-formula> p ∈ N 存在一些<在line-formula> 问 ∈ N 与<在line-formula> 问 > p 这样的估计 (7) c j - - - - - - c 问 < r c 问 - - - - - - c p 适用于所有<在line-formula> j ∈ N 与<在line-formula> j > 问 。为此,解决<在line-formula> p ∈ N ,注意,每当<在line-formula> 问 ∈ N 满足<在line-formula> 问 > p 的不平等<在line-formula> r ( c p + 1 - - - - - - c p ) ≤ r ( c 问 - - - - - - c p ) 自动保存。现在,把<在line-formula> 问 ∈ N 如此之多,<在line-formula> 问 > p 和<在line-formula> l - - - - - - c 问 < r ( c p + 1 - - - - - - c p ) 。 然后,对所有<在line-formula> j ∈ N 与<在line-formula> j > 问 ,我们获得 (8) c j - - - - - - c 问 < l - - - - - - c 问 < r c p + 1 - - - - - - c p ≤ r c 问 - - - - - - c p 。

完成引理的证明,我们选择<在line-formula> n 1 = 1 然后,用归纳法,一个整数序列<在line-formula> n k ∈ N 与<在line-formula> n k < n k + 1 这样 先天的估计 (9) c j - - - - - - c n k + 1 < r c n k + 1 - - - - - - c n k 适用于所有<在line-formula> k ∈ N 和<在line-formula> j ∈ N 与<在line-formula> j > n k + 1 。一旦子序列<在line-formula> ( c n k ) k ∈ N 与前面的属性选择,<在line-formula> k ∈ N 我们可能需要<在line-formula> j = n k + 2 得出序列满足引理的结论。

我们顺便提到前面的结果仍然有效的提高,而不是严格意义上的增加,序列提供严格的不平等<在line-formula> < 断言所取代<在line-formula> ≤ 。的确,这是显而易见的越来越序列,最终是常数,而每增加有界序列,最终无法常数承认严格增加引理的子序列 4可能应用。

现在我们已经准备好完成定理的证明 3。

假设<在line-formula> F 是一个阿基米德命令亚伯的测试领域,并考虑任意有界序列增加<在line-formula> ( c n ) n ∈ N 在<在line-formula> F 。看到这个序列收敛<在line-formula> F ,我们可以假设它最终不是常数,从而承认严格增加子序列。自增序列收敛<在line-formula> F 正是当它包含一个收敛的子序列,我们可能,不失一般性,假设<在line-formula> ( c n ) n ∈ N 其实严格意义上的增加。然后,我们应用引理 4与选择<在line-formula> r = 1 / 4 获得子序列<在line-formula> ( c n k ) k ∈ N 的 (10) c n k + 2 - - - - - - c n k + 1 < 1 4 c n k + 1 - - - - - - c n k 对所有<在line-formula> k ∈ N 。像以前一样,它可以表明,该子序列收敛<在line-formula> F 。这将会建立一个应用亚伯的测试和阿基米德属性字段<在line-formula> F 。为此,我们引入 (11) 一个 k = 1 2 k , b k = 2 k c n k + 1 - - - - - - c n k 对所有<在line-formula> k ∈ N 。因为<在line-formula> F 阿基米德,我们知道 6几何级数) (12) ∑ k = 1 ∞ 一个 k = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k 是收敛的<在line-formula> F 。此外,子序列的选择<在line-formula> ( c n k ) k ∈ N 确保 (13) b k + 1 = 2 k + 1 c n k + 2 - - - - - - c n k + 1 < 2 k - - - - - - 1 c n k + 1 - - - - - - c n k = 1 2 b k , 因此<在line-formula> 0 < b k + 1 < ( 1 / 2 k ) b 1 对所有<在line-formula> k ∈ N 。因此<在line-formula> ( b k ) 降低为0。亚伯的测试,我们得出这样的结论:序列部分和的<在line-formula> ∑ k = 1 米 一个 k b k 是收敛的<在line-formula> F 。自从伸缩式表明 (14) ∑ k = 1 米 一个 k b k = ∑ k = 1 米 c n k + 1 - - - - - - c n k = c n 米 + 1 - - - - - - c n 1 对所有<在line-formula> 米 ∈ N ,这证实了所需的收敛<在line-formula> ( c n k ) k ∈ N 。

而几何级数测试当然不是,就其本身而言,足以保证完整性,教室胶囊( 6),连同定理 3显示,如果<在line-formula> F 是一个有序的几何级数测试,以及任何测试的狄利克雷,绰金,或亚伯持有呢<在line-formula> F 绰金已经完成。定理 3也显示的唯一领域<在line-formula> R 狄利克雷的,绰金,或亚伯的测试<在line-formula> R 真正的数字本身。然而,许多非阿基米德命令字段中,这三个测试。我们将这个问题后的一个例子。

一个示例,同时说明了三种测试的失败<在line-formula> 问 有理数是由几何级数<在line-formula> ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n 和调和数列<在line-formula> ( 1 / n ) n ∈ N 。级数收敛的<在line-formula> 问 ,所以它的部分和有界,序列是一个递减序列收敛于0。因此满足狄利克雷假说的测试。我们调用一些微积分展示系列<在line-formula> ∑ n = 1 ∞ 1 / ( n 2 n ) 然而,不收敛<在line-formula> 问 。的泰勒级数<在line-formula> ( 1 - - - - - - x ) - - - - - - 1 时有效的<在line-formula> | x | < 1 是熟悉的几何级数<在line-formula> 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ 。逐项积分收益率系列 (15) x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + ⋯ = - - - - - - 日志 ⁡ 1 - - - - - - x , 同样的平等是有效的收敛半径。选择<在line-formula> x = 1 / 2 揭示了<在line-formula> ∑ n = 1 ∞ 1 / ( n 2 n ) = 日志 ⁡ 2 。但<在line-formula> 日志 ⁡ 2 是不合理的,因为否则方程<在line-formula> 日志 ⁡ 2 = p / 问 与<在line-formula> p , 问 ∈ N 需要的号码吗<在line-formula> e 是一个多项式的根<在line-formula> x p - - - - - - 2 问 矛盾的是,这一事实<在line-formula> e 是先验的,埃尔米特的著名结果可以追溯到1873年(15章 17])。狄利克雷的测试的结论并不适用<在line-formula> 问 。这些数据还表明,绰金和阿贝尔的测试失败<在line-formula> 问 。

等价的语句<在line-formula> ( 一个 ) ,<在line-formula> ( b ) ,<在line-formula> ( c ) 在定理处理 1,影响<在line-formula> ( 一个 ) ⇒ ( d ) 和<在line-formula> ( 一个 ) ⇒ ( e ) 解决在引理 2。由定理 3,因此可以建立<在line-formula> ( d ) ⇒ ( b ) 和<在line-formula> ( e ) ⇒ ( b ) 在非阿基米德的情况下。为此,我们考虑一个任意序列<在line-formula> ( x n ) 在一个非阿基米德的领域<在line-formula> F 的系列<在line-formula> ∑ x n 是收敛的。

如果<在line-formula> ( d ) 持有,然后我们选择<在line-formula> b n ∈ { - - - - - - 1,- 1 } 这样<在line-formula> x n = b n x n 对所有<在line-formula> n ∈ N 并观察序列部分和的<在line-formula> ∑ k = 1 n b k + 1 - - - - - - b k 上面是有界的<在line-formula> F ,因为<在line-formula> F 失败是阿基米德。因此绰金的测试保证<在line-formula> ∑ x n = ∑ b n x n 是收敛的<在line-formula> F ,也证实了<在line-formula> ( d ) 意味着<在line-formula> ( b ) 。

证明的融合<在line-formula> ∑ x n 条件下<在line-formula> ( e ) ,我们首先注意,级数的收敛性<在line-formula> ∑ x n 需要的序列部分和的系列<在line-formula> ∑ x n 是一个柯西序列。所以,为了满足我们的目标,它可以表明,序列部分和的系列<在line-formula> ∑ x n 有收敛的子序列。这将通过以下施工。

的假设<在line-formula> ∑ x n 收敛意味着<在line-formula> x n → 0 作为<在line-formula> n → ∞ ,不失一般性,我们假设序列<在line-formula> ( x n ) 不是最终<在line-formula> 0 。调用程序详细的古典单调收敛定理(定理的证明<在line-formula> 3.4 。 7 ( 18]),我们归纳提取减少“峰值”子序列<在line-formula> x n k 如下。我们开始通过选择<在line-formula> n 1 最小的正整数<在line-formula> κ 的<在line-formula> x κ ≥ x j 对所有<在line-formula> j ∈ N 。此后,一旦<在line-formula> n k 是指定的,<在line-formula> n k + 1 选择最小的正整数<在line-formula> κ 除了<在line-formula> n k 的<在line-formula> x κ ≥ x j 对所有<在line-formula> j > n k 。显然,<在line-formula> x n k > 0 对所有<在line-formula> k ∈ N ,<在line-formula> x n k 减少到<在line-formula> 0 。

现在,对于每个<在line-formula> k ∈ N ,让 (16) 一个 k = x n k + ⋯ + x n k + 1 - - - - - - 1 x n k 和观察 (17) 一个 k ≤ x n k + ⋯ + x n k + 1 - - - - - - 1 x n k ≤ n k + 1 - - - - - - n k 。 的序列部分和的系列<在line-formula> ∑ 一个 k 因此有界的<在line-formula> F 的字段<在line-formula> F 非阿基米德。因此,狄利克雷的测试,该系列<在line-formula> ∑ 一个 k x n k 是收敛的。自 (18) ∑ k = 1 n 米 + 1 - - - - - - 1 x k = x 1 + ⋯ + x n 1 - - - - - - 1 + ∑ k = 1 米 一个 k x n k 对所有<在line-formula> 米 ∈ N ,我们得出这样的结论:序列部分和的系列<在line-formula> ∑ x n 确实一个收敛的子序列,所以我们已经达到我们的目标。

匿名裁判提供优雅的等价语句(一),(d)和(e)的定理 6一起证明的大纲。建议参数建立这样一个事实:柯西完整性是狄利克雷的测试的结果是基于的主要定理( 2]随着结果的重组系列非负的条件。最后,我们选择我们自己的版本的证明<在line-formula> ( e ) ⇒ ( b ) 由于其直接关注绝对收敛试验。是否亚伯的有效性的测试在一个任意的命令字段意味着字段是柯西完整仍然是开放的。