文摘
本文阐述了随机柯西一维热模型的数值解。我们提出一个随机有限差分数值方案构造数值近似解随机过程。为了保证我们建立充分条件的一致性和稳定性提出了随机数值方案。理论结果是通过一个例子,说明了可靠的近似平均值和标准偏差的随机过程的解决方案。
1。介绍
热是能量流从高到低温度和传输系数取决于特定的模式转移。热能的转移模式扩散传输(传导模式)之间的热量交换一个移动的流体和隔壁墙(对流模式),和辐射模式,所有的身体能发出热辐射(1,2]。在金属杆与非均匀温度,热量从温度较高的区域转移到温度较低的区域。通常情况下,传热的物理原则与统一的属性,是身体的热能傅里叶传热定律,能量守恒(2- - - - - -4]。
当处理一个偏微分方程的初始和边界条件,获得一个适定问题是至关重要的。空间域的程度是另一个部门的偏微分方程,使一个方法比另一个更有利的解决方案。空间域可能是一个有限区间或无限区间,如整个实线。如果空间域无界,边界条件并不是一个重要的问题,在这种情况下,问题被称为初值问题(IVP)。在数学中,一个纯粹的IVP通常被称为柯西问题[3,5]。本文涉及的研究随机有限差分方案(使用最广泛的方法之一,工程模型)为一维随机热方程的柯西问题与无界空间域 与初始条件 在这个IVP (1)- (2),是时间变量,是空间坐标,和表示第一个和第二个衍生品与尊重和分别为,是一个随机变量定义在一个概率空间。此外,是一个最初的确定性数据功能。表达式(1)是一种随机的抛物型偏微分方程的温度在导热绝缘杂质杆沿设在自导热系数,,被认为是一个随机变量。热扩散系数的物理意义与热通量的速度温度的材料更改时发生的时间。加热传播速率正比于热扩散率(6]。因为它是在热力学的法律,应该是两个独立的函数和密集的动态属性(通常,温度和压力)7]。从热力学第二定律,它是必需的是正的。在本文中,我们选择作为一个随机变量的随机性传热取决于导系数的随机性。的随机性可能是杂质的材料属性用于制造杆。
数学模型描述通过偏微分方程(pde)经常出现在许多科学与工程领域,也在医药和金融,例如,(8- - - - - -10]。热方程有很大的应用在许多的分支科学,自然在各种模型从化学、理论物理,和其他人1]。柯西问题模型(1)- (2)被设置在一个无界的空间域,所以我们不需要显式边界条件。有分析和数值方法处理问题(1)- (2)的情况下,电导率扩散系数是常数或一个确定性的函数。
在确定性的情况下,研究了热方程在无界区域由不同作者(11- - - - - -13]。这个重要的柯西问题出现在声学等领域,电动力学和流体力学12,14,15]。在随机的情况下,研究了热模型使用傅里叶级数分析技术基于随机[16]或随机傅里叶积分变换(17,18]。在所有这些贡献的不确定性被认为是在一个非常使用所谓的一般模式,解决了会微积分(19,20.]。热模型也被考虑到随机治疗是一个白噪声(布朗运动的导数或维纳过程)。这种方法需要所谓的Ito微积分(21,22]。在这种方法假定为高斯分布的不确定性。这是一个很好的统计特性,使得发展的分析和数值方法研究随机热模型(23]。
在本文中,我们提出一个随机有限数值格式近似柯西问题的解决方案……1)- (2),我们证明其一致性和稳定在一个随机的意义上,稍后将被指定。关于我们的研究的一个重要问题是,我们允许,除了高斯分布,r.v。出现在PDE (1)也可以有另一个一般的概率分布。
本文组织如下。节2首先随机数值柯西问题的有限差分格式(1)- (2提出了)。其次,充分条件的随机数值方案的一致性和稳定性。部分3地址的说明理论结果通过建立一个说明性的例子。结论部分4。
2。随机有限差分技术
本部分介绍,随后可能会考虑引入数值技术,以近似随机IVP(的解决方案……1)- (2)。首先,它是方便的引入一些符号,将使用在我们的分析。与这一目标,让我们考虑一个统一的空间网格网格和一个统一的时间它定义了一个二维时空编织网,随机IVP(的精确解……1)- (2),将近似。这个近似点或网格网格点,,将用;也就是说,。
下一步是近似IVP(的解决方案……1)- (2)的细网使用某种近似偏导数公式中出现的问题。本文以下时间往前和space-centered离散化将被认为是:
用近似(3)(1)- (2),获得以下随机有限差分格式(RFDS): 在哪里
作为众所周知的确定性情况下,一致性和稳定性的研究是一个主要的问题在处理数值方案。这种激励的一致性和稳定性的分析随机数值方案(4)- (5)在一个随机,稍后将被指定。自从IVP(的近似的解决方案……1)- (2)将构建的固定电台时间,以下我们将在以下巴拿赫空间工作(24)定义为 在哪里表示期望算子。注意到的上确界(7对于每一个);但是为了简化符号,从今以后我们将省略符号。
2.1。研究随机有限差分数值方案的一致性
根据一致性的定义的有限差分数值方案确定的情况下,下面我们将这个定义随机场景考虑规范(7)。为了完整性,我们还将介绍的定义的顺序RFDS作为自然泛化的经典定义。
定义1。随机有限差分格式 被 据说是均方符合随机偏微分方程(RPDE),如果解决方案随机过程RPDE(焦燕雄),,满足 在哪里th组成部分在(10)是
定义2。的上下文中定义1据说RFDS的秩序如果
接下来,我们将证明RFDS (4)- (5)是均方符合随机IVP (1)- (2)。
命题3。让我们考虑随机IVP (1)- (2焦燕雄)和假设的解决方案。满足 然后,RFDS (4)- (5)是均方一致的。此外,这个方案有秩序。
证明。让我们表示焦燕雄精确值的解决方案。在网格网格点。根据表达式(10)的定义1与和表达式(4)和(5),让我们考虑的泰勒展开式th组成部分牢记假说(14), 自是一个解的随机IVP (1)- (2),一个人因此第一项的右边(15)就消失了。然后 现在,考虑到(7)和(16)一个人 和方案的顺序。
2.2。随机有限差分数值的稳定性研究方案
遵循同样的想法我们用于引入随机一致性的概念,下面我们扩展的确定性定义稳定性有限数值格式的随机场景使用规范(7)。
定义4。随机有限差分格式(8)据说是均方稳定的如果存在正的常数和非负常数这样 为,,。
下面,我们建立条件RFDS (8)是均方稳定。
命题5。让我们考虑随机IVP (1)- (2),是一个积极和有界r.v。, 条件下 RFDS (4)- (5)是均方稳定。
证明。考虑到标准的定义(7),均方的定义稳定(见(18)),RFDS (4)- (5),让我们考虑一下
在我们使用r.v。是积极的,因为是一个积极的r.v。(见(5)和(19))。
在假设(19)- (20.),我们可以确保r.v。满足
对所有;因此。因此
对所有。然后应用递归(21),一个获得
或者同样的
总而言之,条件(18)适用于和。
注6。重要的是要指出,假设r.v的有界性。假定在(19为了保证均方稳定的RFDS (4)- (5从实用角度来看)是不严格的。事实上,经典的切比雪夫不等式确保任何二阶随机变量,用的意思和标准偏差充分,可以近似通过删除域。使用这个结果很容易证明截断间隔包含的概率不管的分布。截短间隔越大,概率近似就越好。自然,可以缩短截断的直径区间的概率分布是已知的。例如,如果是一个无限随机变数高斯分布,域,然后截断包含的概率。
3所示。数值例子
本部分介绍先前建立的理论结果说明通过一个测试例子可靠近似平均值和标准偏差(或相当于方差)IVP(的解决方案……1)- (2)。这些近似构造使用RFDS (4)- (5)。这些近似与相应的确切值自选择的例子是这样的平均值和标准偏差的解决方案……。
让我们考虑随机柯西问题(1)- (2),是一个随机变数的参数,,初始条件。的精确解……1)- (2)是由
我们将解决方案的近似平均值和标准偏差焦燕雄。、随机的柯西问题(1)- (2在空间域)使用RFDS (4)- (5)。为了保证均方这个方案的稳定性,我们解决空间的第一步我们把,因为;然后根据命题5(见条件(20.),时间步长必须满足以下条件:
为了计算均值和标准差的近似解焦燕雄。在网格网格点,我们将递归地应用数值方案(4)- (5),然后我们将期望算子。数值结果将与获得的表达式(26)使用以下表达式: 的意思是,和 标准偏差的
在图1我们当时比较即时(时间固定电台)的精确解的期望……和预期使用的近似随机数值方案(4)- (5)与不同空间的步骤 被选为的时间步骤 分别,所以稳定性条件(27)是保证。
一个类似的比较标准偏差的瞬间的时间如图2。
完成数值分析,在数据3和4我们绘制了相对误差的近似空间和时间的期望和标准差步骤之前选择,分别。从这些情节我们观察到除以2,相对误差大约是除以4。这证实了收敛的随机数值方案。
4所示。结论
在本文中,我们研究了随机柯西热模型,假设扩散系数是一个随机变量,考虑在一个无限域确定的初始条件。因此,边界条件没有要求。我们提出了一个随机有限差分格式求解这个模型。的均方稳定性研究了随机有限差分格式。充分条件的均方稳定性提供了随机有限差分格式。数值实验表明,该随机有限差分格式给出可靠的平均值和标准偏差近似解的随机过程。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版这篇文章。
确认
这项工作一直支持的部分Ministerio de隐藏y Competitividad格兰特mtm2013 - 41765 p。安娜纳瓦罗Quiles承认颁发的博士奖学金项目效果de Investigacion y Desarrollo(支付),大学为瓦伦西亚。m·a·Sohaly也感谢埃及高等教育、文化事务,其金融支持(mohe-casem (2016)]。