文摘
卡森流体过去的非定常自由流动振荡竖直板恒壁温度进行了研究。卡森流体模型是用来区分非牛顿流体行为。相对应的控制偏微分方程动量和能量方程转化为线性常微分方程,采用无量纲变量。拉普拉斯变换方法用于发现这些方程的精确解。剪切应力的表达式的皮肤摩擦和热传递的速度而言,努塞尔特数也。的速度和温度的数值结果概要文件与各种嵌入式流参数值显示图形化及其影响进行了较为详细的试验研究。
1。介绍
牛顿流体所描述的n - s方程进行了广泛的研究在文献中在过去的几十年。很大程度上,这是由于这样的事实,他们是相对简单的,他们的解决方案是方便的1- - - - - -10]。然而,牛顿流体有应力和应变率之间的线性关系是有限的在他们的应用程序的视图。他们不解释一些现象观察到液体在工业和其他技术的应用程序。例如,许多复杂的液体如血液、肥皂、粘土涂料、一定的油和油脂,弹性体,悬浮液,许多乳剂值得注意的是由于他们在行业各种应用程序。不幸的是,n - s方程不再令人信服的描述这种液体。在文献中,他们被称为非牛顿流体。描述这些液体的非线性应力与应变率之间的关系。非牛顿流体的流动特性的理解是非常重要的因为他们发挥重要作用在工业和工程。这样的利益动机,因为广泛应用在不同领域的生物流变学,地球物理,化学和石油工业(11,12]。针对这些特定的应用程序,非牛顿流体的研究和理解变得越来越吸引人的话题目前在这个领域的研究。
非牛顿流体的流变特性,被他们所谓的本构方程。由于流体的复杂性,一些非牛顿流体模型和本构方程提出了基于经验的观察。不同的非牛顿流体中有一个被称为卡森流体最初是由卡森pigment-oil悬浊液的流动行为的预测(13]。卡森模型是基于结构模型的交互行为的固体和液体两相悬浮的阶段。卡森流体展品屈服应力。它是剪切稀化液体有无穷粘度剪切的零利率,屈服应力低于没有流发生时,粘度和零速度无限的剪切14]。更确切的说,如果一个剪切应力低于屈服应力应用于液体,它像一个坚实的,然而如果应用剪切应力大于屈服应力时,它开始移动。卡森流体的一些著名的例子包括果冻、西红柿酱,蜂蜜,汤,和浓缩果汁。人类血液也可以被视为卡森流体由于存在一些物质如蛋白质、纤维蛋白原和球蛋白水基础等离子体和人类红细胞(15,16]。
早期的研究在卡森流体,弗雷德里克森(17)调查其稳定流动管而Boyd et al。18)描述血流量的稳定和振荡流考虑卡森流体。Mernone et al。19]讨论了蠕动流二维卡森流体的通道。穆斯塔法等。20.]研究了非定常边界层流动和传热卡森流体在一个移动的平面平行的自由流使用同伦分析方法(火腿)。卡森流体混合对流驻点流动和对流边界条件检查,如果是et al。21]。Mukhopadhyay [22]描述了热辐射的影响在卡森流体流动和传热的不稳定拉伸表面受到吸/吹。Mukhopadhyay et al。23)还分析了卡森流体在一个不稳定的拉伸表面。Bhattacharyya [24]调查卡森流体的边界层驻点流动和传热对萎缩/拉伸板和Pramanik25]研究了卡森流体流动和传热过去一个指数多孔拉伸表面热辐射的存在。
在上述研究卡森流体的解决方案是通过使用任何数值近似方法或方案。有很少的情况下,卡森流体的精确解析解。这些解决方案甚至罕见当卡森流体在自由对流流恒壁温。另一方面,卡森流体的流动(如钻井泥浆、粘土涂料和其它悬浮液,一定的油和油脂,聚合物融化,血液,和许多乳剂),在传热的存在,是一个重要的研究领域,由于其相关性巧克力的优化处理,太妃糖和其他食品(26]。
出于上述调查,目前的分析重点是研究非定常边界层流动卡森流体过去一个振荡竖直板恒壁温。确切的解决方案通过使用拉普拉斯变换技术。分析以及数值结果对皮肤摩擦和努塞尔特数。图形结果提出和讨论了各种物理参数。本文获得的精确解是很重要的;它们不仅符合一些基本流情况下,但也可用于解释详细物理流以及作为基准进行验证的其他解决方案获得通过近似或数值方案。
2。配方的问题
让我们考虑传热的影响不稳定边界层流动的不可压缩卡森流体过去无限垂直平板位于流被局限于,在那里是坐标测量表面的法线方向。假设,在最初的时刻板和流体静止在恒定的温度。在时间平面板开始振荡根据 的常数板振动的振幅,单位阶跃函数,垂直流动方向的单位向量,然后呢板的振动频率。与此同时,温度提高到盘子里此后保持不变(图1)。
我们假设各向同性的流变状态方程和卡森流体不可压缩流可以写成(参见研究Mukhopadhyay [22]) 或 在哪里和是组件的变形速率,是应变率的组件的产品本身,是一个关键的价值本产品基于非牛顿模型,是塑料动态粘度的非牛顿流体,是流体的屈服应力。在这些条件下随着假设能量方程中的粘性耗散项被忽视,我们得到以下组偏微分方程: 初始和边界条件 我们引入无量纲变量 到(4)- (5),我们得到了(符号是下降为简单起见) 与初始和边界条件有关 在哪里 普朗特,格拉晓夫数,卡森参数。
3所示。问题的解决方案
应用拉普拉斯变换(7)和(8),使用初始和边界条件(9),我们得到以下解决方案转变飞机: 的拉普拉斯逆变换(11)和(12)得到如下: 下标““左边(14)代表的余弦振动板。同样,速度对应的正弦振荡板是由 在哪里
注意,上面的速度仅适用的解决方案。另外的解决方案可以很容易地获得通过将吗到(8),能够遵循类似的程序如上所述。获得解决方案的余弦和正弦振荡板时是 注意,在(14)和(15),前两个条件在每个方程的贡献占机械部件而最后两项显示的热影响。另一方面在(17)和(18),最后一项在每个方程显示了热部分的贡献。
的无量纲计算表面摩擦速度场(14),使用的关系 努塞尔特的表达是由数量
4所示。极限情况下
下面的解决方案从文学出现的极限情况我们一般的解决方案。(我)通过到(14)和(15粘性流体),相应的解决方案可以作为一种特殊情况: (2)通过对应的脉冲运动板,然后(14)和(17)产量 分别,(22)和(23)描述对应的解卡森流体的斯托克斯的第一个问题。重要的是要注意,斯托克斯第一个问题的精确解卡森流体(22)和(23)也不是在文献中报道,因此都是新的。(3)在这最后一个例子中,我们假设流动诱导只是由于边界板和相应的浮力部队零等价;它显示没有自由对流由于不同的温度梯度。这表明热部件的速度(14)和(15)为零。因此流只是由相应的机械部件由 请注意,(24)获得的是相同的那些Fetecau et al。9];看到(9)和(11)。这一事实也显示在图8。
5。图形结果和讨论
在本节中,获得的数值精确解进行了研究以确定一些相关参数如普朗特数的影响,格拉晓夫数卡森参数,相位角和时间。皮肤摩擦和努塞尔特数的数值计算,为不同的参数表中给出。为了正确性的验证,我们将我们的结果与Fetecau et al。9]。这种比较是图所示2。发现我们限制解决方案(24)完全相同(9)和(11)通过Fetecau et al。9]。这证实了我们的结果的准确性。
普朗特数的速度资料不同的值如图3,当其他参数是固定的。这是观察到的速度流体随普朗特数增加而减小。图4说明了不同值的速度的概要文件。可以看出速度增加而增加的值。卡森流体的影响参数对速度概要图所示5。发现速度随值的增加而减小。重要的是要注意,卡森参数的增加使得速度边界层厚度较短。从这个图表进一步观察,当卡森参数足够大,,消失,流体的非牛顿行为纯粹就表现为牛顿流体。因此,卡森流体的速度边界层厚度大于牛顿流体。这是因为卡森流体的可塑性。当卡森参数减少,液体的塑性增加,导致速度边界层厚度的增加。图形结果相角,,如图6。可以看出−1和1之间的流体振荡。这些板附近的波动最大,减少进一步独立变量的值。这个图可以帮助我们检查我们的结果的准确性。为了说明这样的结果我们集中更多的价值,和。我们可以看到,这些值速度显示,它的值是1,0,或者−1与施加边界条件相同的速度(11)。因此,图形和数学结果中发现优秀的协议。在图7无因次时间的影响资料显示的速度。发现速度是时间的函数。
从图8温度剖面随增加普朗特数的值。普朗特数的具体值等,,身体是重要的,因为,他们对应的空气,电解溶液,分别和水。可以看出板附近的热边界层厚度最大,减少与前沿的距离增加,最后趋于零。从这个图也注意到,温度的大小大于空气相比,电解溶液和水。这是合理的因为流体的导热系数随普朗特数增加而减小因此降低了热边界层厚度和最终温度资料。
图9绘制显示无量纲的影响时间吗在温度资料。四个不同的值,,,是选择。显然,温度增加而增加。这种图形化行为的温度是在良好的协议与相应的温度边界条件资料所示(9)。结果表面摩擦和努塞尔特数计算表1和2。计算表面摩擦给复杂的结果。因此,为了方便我们已经考虑在表1只有它的实部。表1显示了皮肤摩擦增加而增加的价值,,,,而它随值的增加而减小。另一方面,发现从表2,努塞尔特数增加而增加而它与增加减少。
6。结论
在执行一个精确的分析调查的非定常边界层流动卡森流体过去一个振荡竖直板恒壁温。的无量纲控制方程是通过使用拉普拉斯变换技术来解决。速度和温度的结果是获得并绘制图形。数值结果对皮肤摩擦和努塞尔特数计算表。本研究的主要结论如下。(1)速度增加而增加和,而它随值的增加而减小,,。(2)温度的增加而增加,而时减少是增加了。(3)表面摩擦增加与增加的值,,,而它随值的增加而减小和。(4)努塞尔特数增加而增加,而它与增加减少。(5)解决方案(24)是在良好的协议与通过Fetecau et al。9]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢SBKWU (HEC),巴基斯坦,教育部(MOE),马来西亚,和研究管理中心,UTM,通过投票为金融支持数字06 h67和4 f255这项研究。