文摘
我们获得的结果,与中性跳利率收益率曲线数据的大小。这个函数是不可见的;因此,这一结果打开一个方法来估计跳大小直接从数据一起在市场中性漂移和跳转强度估计。然后,我们研究这种方法的有限样本的性能测试问题。此外,我们分析估计的影响中性跳大小而不是假设它是人为跳吸收强度,像往常一样在利率文学。最后,应用程序数据也说明了美国国债。
1。介绍
在文献中,外汇汇率等金融变量,股票价格和利率通常假定遵循扩散过程与连续路径当金融衍生品定价。虽然他们非常有吸引力,因为他们的统计特性为理论推导和计算方便,(1- - - - - -3)和其他人发现在股票和利率的跳跃过程。此外,jump-diffusion过程尤为重要在定价和套期保值的金融衍生品因为忽视金融价格的跳跃会导致定价和套期保值风险(2]。
在传统jump-diffusion利率模型的漂移,波动性,跳跃,和市场的价格风险通常指定为简单的参数函数为纯粹的简单性和温顺。大多数模型结合知名参数与不同的跳扩散模型的大小分布,例如,(4- - - - - -6]。此外,模型的函数通常选择获得封闭的解的定价问题。因此,(1,7,8]提出了非参数模型jump-diffusion巢大多数jump-diffusion过程的短期利率,但封闭的解不能获得定价问题。然而,有很多有效的数值方法提供精确的近似解的定价问题。
为了获得时的收益率曲线是未知的封闭解,蒙特卡罗方法在文献中经常使用,因为它的简单性和属性。实施,有必要知道的价值函数和利率风险的市场价格。因此,估计是第一步在利率模型的应用和分析。利率的估计函数可以用利率市场数据;然而,市场价格风险是不明显的。因此,市场价格风险的估计只能当一个封闭的解是已知的定价模型。然而,在扩散模型还有其他替代方案等提出的一个(9)由直接从市场数据估算风险中性漂移。
最近,在jump-diffusion模型(10)提出了一种估算风险中性过程漂移和跳跃强度直接从数据市场的利率,因此,市场价格风险没有被估计的价格。像往常一样在期限结构文献,他们假定跳大小分布与风险中性测度并没有改变。风险的市场价格是认为是人为地改变吸收强度从物理测量跳转到中性的措施。
本文的主要目的是分析估计风险中性的角色跳跃大小分布在期限结构模型。首先,我们证明结果,允许我们估计风险中性jump-diffusion跳大小直接从市场数据模型。然后,我们展示的重要性这一事实通过一些数值试验。最后,我们展示了这种新方法的性能在一个非参数jump-diffusion利率期限结构模型与我们的数据。
这种方法可以用于参数和非参数模型。在本文中,我们使用一个非参数方法,如内核的方法以避免任意限制在整个模型。
剩下的纸是组织如下。部分2介绍了jump-diffusion利率模型研究和展示了一种新方法估算风险中性利率的跳跃大小分布的零息债券收益率曲线的斜率和数值微分法。部分3分析了有限样本这种方法使用非参数方法的性能。部分4这种方法检查经验的行为与美国利率数据。结论中包含的部分5。
2。Jump-Diffusion模型
在本节中,我们提出一个jump-diffusion期限结构模型用一个状态变量。虽然单因素模型有几个缺点,但他们仍非常有吸引力的实践者和学者,因为他们提供了一个统一的许多利率衍生品的定价的工具。
让是一个过滤概率空间满足通常的条件。利率的价格安全是由瞬时利率,它遵循一个混合jump-diffusion随机过程的类型: 在哪里漂移,是波动的,是一个函数的瞬时利率和跳的大小,这是一个随机变量的概率分布,维纳过程,代表一个泊松过程和强度。我们假设,,和具备足够的技术规律条件:看(11]。此外,被认为是独立的,这意味着扩散组件和短期利率的跳跃组件是相互独立的。我们假设跳大小和跳到达时间与扩散过程的一部分是不相关的。
价格在时间在上述假设下,零息债券的到期时间,可以表示为。这个键是假定有一个成熟一个单位的价值,也就是说,
我们还假设存在一个新的措施,相当于,这样的价格零息债券 在哪里表示下的条件期望措施被称为中性概率测度。下,费率遵循过程: 在哪里下的维纳过程吗,风险的市场价格的维纳过程,代表了补偿下泊松过程测量与强度,大小分布在跳吗。我们假设变化的措施 在哪里和是跳的市场价格风险的强度和大小,分别;参见[12]。
在缺乏一个跳组件,期限结构方程可以通过获得无风险投资组合的两个不同期限的债券以及实施套利条件的缺失。然而,在跳组件的存在,无套利参数不再适用,因为跳风险不能被多元化利用交易债券(13]。因此,固定收益证券的估值jump-diffusion模型需要从实际过渡到等价鞅测度。一般来说,这个任务可以通过指定完成随机贴现因子对经济和可以直接使用获得期限结构方程的过程中(1)。因此,定价偏积分微分的方程如下: 参见[13]关于获取这个偏微分方程的更多细节。这个定价方程是相同的利率衍生品;我们只需要添加相应的最终条件。
为了获得期限结构,,,,和分布的参数必须估计。然后,这些函数替换的定价方程(6),由考虑解决最后的条件(2)。
最后,收益率曲线可以表示为
在文献中,我们所知,没有方法来评估风险的市场价格,,jump-diffusion模型,除非封闭的解是已知的。参考文献(1,7)展示了如何估计,,通过力矩方程中的数据市场。然而,这种方法并不允许我们估计的市场价格风险,利率衍生品价格是必要的,但他们是不明显的。最近,(10)提出了一种新的方法估算风险中性漂移和跳跃强度直接从市场数据,因此,市场风险不需要估计的价格。他们证明了下面的结果。
定理1。让是一个解决方案(6),(2),遵循一个jump-diffusion随机过程(4);然后,
文献[10假定下跳大小分布是已知的和等于下的分布;也就是说,。在本文中,我们采取领先一步,我们建议以下结果估计直接从收益率曲线风险中性跳大小分布数据。
定理2。让是一个解决方案(6),(2),遵循一个jump-diffusion随机过程(4);然后,
定理1和2允许我们估计风险中性漂移,强度,和跳转利率的大小分布的零息债券的价格和收益率曲线的斜率,因此,我们不需要估计风险的市场价格。
最后,注意任何参数或非参数技术可以应用于估计的斜坡。在本文中,为了说明这些结果我们将使用Nadaraya-Watson非参数估计量。假设数据集包括对观察,在那里解释变量和吗是响应变量。我们假设的模型,在那里是一个未知函数,是一个误差项,代表在观测随机误差或变异来源不包括在吗。的错误被认为是独立同分布的意思是0和有限方差。的估计 积极的权重(例如,高斯内核是广泛用于文学和我们在本文中使用它)是带宽;参见[14]。
3所示。数值实验
在本节中,我们考虑一个测试问题,以调查的影响估计收益率曲线风险中性跳大小的定价问题。
作为一个基本的测试问题,我们考虑一个跳扩展过程和平方根指数跳是CIR-EJ表示: 跳的大小,,分布指数与积极的意思,。风险的市场价格的定价模型如下: 这个模型是一个轻微的修改提出的(13和使用的15)美国利率期权的定价。这个问题的封闭形式的解决方案非常类似于一个通过(13)就更换通过。唯一的原因我们选择这个模型数值实验因为封闭的解是已知的,因此,我们可以获得准确的收益率曲线进行一些比较。
在我们的实现中,我们假设的市场价格风险参数值相干与文学:,,。接下来,我们结合他们所使用的参数的值(15零息债券价格和美国利率期权。因此,我们假设,,,,。
系列的一代,我们使用Euler-Maruyama随机微分方程离散化方案(16),一个明确的订单0.5强和订单1.0弱计划。我们丢弃老化期(整个系列的第一部分),以避免初始值的效果。5000年的所有数值实验模拟样本路径的时间间隔,也就是说,每日观察,长度和实现,相当于30年的每日观察。
为了分析的影响评估每个风险中性利率函数在CIR-EJ模型中,我们将考虑不同的假设。
(我)假设A1。我们假设漂移,强度,和跳补偿利率过程的粒度分布风险中性测度,等于漂移,强度,和大小分布在跳衡量。这意味着风险的市场价格CIR-EJ模型中的参数如下:和。考虑 在哪里利率的风险中性漂移补偿的过程。
(2)假设A2。我们假设风险中性跳强度和大小都等于跳强度和大小衡量。然而,我们认为风险中性下漂移是不同的衡量。风险的市场价格,与布朗运动(13),但。一个人
(3)假设A3。我们假设风险中性下跳强度等于跳跃强度衡量。然而,风险中性漂移和跳转大小不同于漂移和跳转下大小衡量。即市场价格风险的布朗运动和跳跃大小(13)和(15),分别,但是。考虑
(iv)假设A4。我们假设风险中性下跳大小等于跳大小衡量。然而,风险中性漂移和跳转强度不同于漂移和跳转强度下衡量。即市场价格风险的布朗运动和跳跃强度(13)和(14),分别,但是。考虑 参见[10为更多的细节。
A5 (v)的假设。中性漂移、跳跃强度和跳的大小从漂移补偿利率过程是不同的,跳强度和尺寸下跳衡量。即市场价格风险的布朗运动,强度,和跳大小(13),(14)和(15),分别。一个人
为了比较不同的假设,我们得到确切的收益率曲线CIR-EJ模型和近似收益率曲线在不同的假设和数据。然而,以前,我们必须估计中的所有函数模型。
假设下A1,我们必须估计下所有利率功能衡量。因此,我们可以利用利率观察和力矩方程技术(1,7] 参见[7为限制条件和分布规律。
在我们的测试问题,我们认为跳的大小分布指数;因此,
我们更换(22)(21)和获得必要时刻条件估计利率系数CIR-EJ过程。参见[1,7类似的方法,但与其他跳大小分布。
在本文中,我们使用一个非参数方法估计整个利率过程的功能。确切地说,我们使用Nadaraya沃森与高斯核估计量。(选择最优带宽在文献中是难以捉摸的。我们使用(是利率的估计标准偏差)和平滑参数用于第一和第二的时刻和,分别地。的高阶估计。)
在假设A2,我们必须估计风险中性利率随机过程的漂移。这个过程是不明显的,但是我们可以使用(8)和数值微分法。确切地说,我们使用收益率与期限6个月和1年为了估计收益率曲线的斜率通过二阶近似和Nadaraya-Watson估计高斯内核。然后,我们估计剩下的函数通过力矩方程(21)如A1。
接下来,我们考虑假设A3。在这种情况下,我们必须估计的漂移和跳大小中性利率随机过程。这个过程是不明显的,但是我们可以使用(8)和(9)和数值微分和Nadaraya-Watson估计高斯内核。首先,我们估计风险中性A2和漂移,然后,我们估计波动率跳跃强度和力矩方程如A1。最后,我们更换这些函数(9)和使用收益期限6个月和1年为了估计预期的向前跳大小与二阶近似的衍生品和Nadaraya-Watson估计高斯内核。
然后,我们考虑假设A4。我们必须估计风险中性的漂移和跳跃强度补偿利率随机过程。这个过程是不明显的,我们使用(8)和(9)数值微分和Nadaraya-Watson估计高斯内核以类似的方式,在假设A3;参见[10为更多的细节。
最后,我们考虑假设A5。我们必须估计漂移,跳跃大小和风险中性的跳跃强度补偿利率随机过程。然后,我们估计时刻的瞬时利率的波动方程和使用(8)- (10)和数值微分和Nadaraya-Watson估计高斯内核。确切地说,我们使用收益率与期限6个月和1年以近似收益率曲线的斜率和利率和价格的产品。然而,我们仍然需要估计瞬时利率的波动性,但我们确实在A1与力矩方程。在所有的情况下,我们使用一个二阶近似转发到近似的衍生品。
为了零息债券价格我们必须解决定价方程(6),(2)。然而,当使用非参数方法,是不可能找到一个封闭解和数值方法必须适用于得到一个近似的解决方案。因此,我们与10000年应用蒙特卡罗方法模拟和离散化区间等于一天。选择模拟和离散化区间的数量呈现蒙特卡洛错误可以忽略不计:[1]。
在这篇文章中,为了分析不同的行为假设,我们使用均方根误差: 在哪里是观察,的数量是观察到的或理论价值,是估计的值与相应的模型。
表1显示的性能不同的假设A1-A5我们考虑获得不同成熟时期的收益率曲线。众所周知在文献中,单因素模型长期限不工作很好。因此,我们考虑期限至24个月。当我们假定所有的功能风险中性利率等于下的功能措施,假设A1,得到最高的错误。A3、A4的假设下,我们假设只有两个利率函数估计风险中性测度下:中性漂移和跳转大小或中性漂移和跳转强度。注意,假设风险中性漂移和跳转强度下不同于测量误差提供低于假设风险中性下漂移和跳大小是不同的和措施。
假设A4在期限结构通常被认为是文学;见,例如,(17]。特别是,假设A5,所有函数估计假设不同的值在风险中性测度下,提供最低的错误。然后,我们估计的函数在风险中性测度下,降低错误。我们也与其他参数和重复这些实验相同的结论。
因此,估计所有的市场风险中性函数直接从数据提供了更精确的比假设收益率曲线任意市场价格风险的模型。
4所示。实证分析
在本节中,我们分析的影响的估计市场风险中性跳大小直接从数据与假设的风险的市场价格跳跃大小是人为地吸收强度从物理测量跳到风险中性的变化测量通过美国收益率曲线数据。
短期汇率本质上是不可见的,它必须是近似使用零息债券利率的短期:[18详细讨论)。在本文中,我们使用三个月期国库券利率因为8]表明,任何仪器到期三个月时不应使用以下估计jump-diffusion流程。
数据来自美国联邦储备理事会(美联储,fed) h。15数据库。样本期间涵盖了从1971年1月到2013年2月;参见[10为更多的细节。图1图和表2总结了数据。
为了估计风险中性漂移,跳跃强度,大幅上调利率的大小使用(8)- (10)和一个二阶差分公式,我们需要额外的数据。然后,我们使用二级市场收益率的日常观察中可用的最短期限美国联邦储备理事会(美联储,fed) h。15数据库。我们认为的6个月国库券和1年期美国国债的收益率,因为我们没有足够的观察1年期国债对整个评估时间。
所有的评估都是在部分完成3使用Nadaraya-Watson估计高斯内核。(我们使用带宽,平滑参数第二,对于高阶的时刻。在假设我们使用A4非参数估计的风险中性漂移和跳转强度,如(10]。最后我们使用,,非参数估计的风险中性漂移,跳强度、大小和跳转,职责)。
为了获得的收益率曲线,我们必须解决定价方程(6),(2)。与5000年我们使用蒙特卡罗方法模拟和离散化区间等于一天,就像在(10为了能够比较。
表3显示了RMSE获得的不同假设收益率曲线的最短期限在美国联邦储备理事会(美联储,fed) h。15数据库:6个月、12个月和24个月。首先,假设A1提供最高的错误表3。这一事实意味着估计风险的市场价格是很重要的定理1甚至定理2为了获得准确的收益率曲线。最后,假设A2-A5非常相似的错误;事实上,差别只是秩序。这些差异可以被认为是可以忽略的,因为他们可以是由于传播错误的近似。然而,请注意,小错误在零息债券定价通常提供更高的错误定价利率或有索赔,如债券期权。此外,我们认为很难减少这些错误的订单,因为我们正在考虑单因素模型。这种模型是从业者的非常有吸引力的市场,但他们也有一些限制来解释市场的收益率曲线。
5。结论
在本文中,我们提出一个新颖的结果来估计跳大小分布直接从数据市场的单因素结构模型。这结果是显著的,因为它没有必要做任意假设跳转的价值大小的市场价格风险,,例如,在[1),适应性强:可以使用参数和非参数方法估计所需的功能。然后,我们做一些数值试验,采取数据来自美国市场,分析这种方法的行为。
在期限结构模型中,有三个功能,可以影响测量的变化:一个与布朗运动和两个与跳(跳强度和跳的大小)。此外,跳转的风险溢价的大小可能是人为被跳转的风险溢价吸收强度,反之亦然。首先,我们表明,较低的错误当我们不模型一个单独的风险溢价的大小和假设所有相关风险溢价跳到跳风险是人为地吸收从强度的变化来,这是单因素期限结构的假设通常被认为是文学;参见[13例如,]。然后,我们假设所有相关风险溢价跳风险是人为地吸收跳大小的变化来。在这种情况下,错误增加。我们证明这些结果与数值和实证实验和结论都是一样的,尽管实证实验的差异几乎可以忽略不计。
最后,我们扩散模型独立的风险溢价,跳转的大小,和跳转强度在单因素结构模型。在数值实验中我们获得更低的错误比当我们假定一个跳风险溢价是人为地吸收另一个。据经验数据而言,我们发现很小的差异可以被认为是可以忽略的,因为他们可能是由于错误的传播,我们使用三个相关近似和单因素模型。作为一个未来的研究,我们希望将这种方法应用于其他债券期权等利率衍生品价格。我们认为的差异会更重要的和准确的评估风险的市场价格将提供一个高改善他们的定价。
附录
这个附录列出了定理的证明2。
定理的证明2。让然后表示贴现过程 通过伊藤产品的规则(见[19)和(4)和(. 1)我们获得 如果我们把期望有关测量的积分形式(a .),我们得到 作为和下鞅,被称为 除以和限制在(a .我们可以写 最后,设置我们得到了(10)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这部分工作是支持GIR Optimizacion Dinamica, Finanzas Matematicas y Utilidad Recursiva巴利亚多利德大学,和项目mtm2014 - 56022 c2 - 2 p的Ministerio de Economa y Competitividad西班牙花园和VA191U13军政府de卡斯蒂利亚y莱昂。作者欣然承认一个匿名的有用的评论裁判。