分析迭代学习控制的一类线性离散时间切换系统

文摘

迭代学习控制方案应用于一类线性离散时间切换系统在任意切换规则。应用程序是基于假设切换系统重复操作在一个有限的时间间隔。利用超级向量方法,讨论了收敛当噪音是自由和鲁棒性分析时,控制系统由有界噪声干扰。分析结果表明,迭代学习控制算法是可行的和有效的线性切换系统。支持理论分析,数值模拟。

1。介绍

切换系统由一系列子系统用微分方程或差分方程描述的转换规则通常被认为是任意的。切换系统是属于混合动力系统和吸引了繁荣的调查在最近的十年1- - - - - -8]。切换系统的当前的研究主要集中于分析的动态行为包括稳定性、可控性、可达性和可观测性1- - - - - -6]。特别是,有限时间的概念将随机系统的随机稳定性下异步切换最近引用(假设已提高了如图所示7,8]。研究这种系统的基本原因主要来源于这样一个事实:切换系统已经广泛出现在控制和工程实践领域,如化学系统、过程控制和汽车行业9,10]。虽然调查切换系统的蓬勃发展,研究设计一个控制器切换系统的轨迹跟踪仍然是罕见的。另一方面,在工程实践中,植物的动态模型通常是未知的和不确定的干扰是不可避免的。这些不利影响和随机切换规则增加挑战设计一个有效的控制器的切换系统的跟踪性能。

幸运的是,存在一种有效的控制方案,命名为迭代学习控制(ILC),这也吸引了越来越多的关注,其控制结构简单、完美的学习性能。ILC的优点之一是,它需要更少的控制系统的知识学习的过程。它利用前面操作的跟踪误差信息补偿电流控制输入,生成一个升级控制输入为下一个操作。连续的学习过程,提高控制系统的跟踪性能。鉴于上述ILC的性质,它可以用来切换系统的跟踪给定目标。然而,作者的知识,很少有在ILC的研究切换系统的策略。到目前为止,很少有文献[9,11,12集中在这个问题上。

在文献[9],p型ILC方案已应用于一类线性离散时间切换系统。这样的ILC系统的收敛性质已经被超矢量分析的方法。然而,ILC的鲁棒性算法不是盖的情况下控制系统由模型不确定性或外部噪声干扰。众所周知,存在两个主要标准来衡量学习ILC方案的性能。一个是收敛,另一个是鲁棒性。由于噪声和不确定性是不可避免的在工程实践中,有必要分析ILC算法的鲁棒性。

在文献[11,12),d型ILC算法已经提出了一类离散时间线性和非线性切换系统。收敛条件派生的规范。然而,评论说,在文献[13),当使用规范,系统动力学的影响和学习的学习效果性能极其压抑的足够大的参数确保收敛。因此有可能的不当选择参数可能会破坏一个公平的评估跟踪行为在实践中(13]。同时,文章(11,12)不涉及学习算法的鲁棒性,是一个关键的标准。因此ILC算法对切换系统的研究需要进一步扩大。

出于文学的缺点[9,11,12),探讨了收敛性和p型ILC算法的鲁棒性的一种线性离散定常离散切换系统固定任意切换规则。分析了收敛性和鲁棒性在迭代域使用超级向量的方法。首先,给出了收敛的充分条件,然后,分析了算法的鲁棒性,控制切换系统是由有界干扰测量噪声。为了体现ILC算法的正确性和高效性,数值模拟为一个简单的例子。

剩下的纸是组织如下。部分2提出的基本问题。部分3的形式展示学习过程描述超矢量和学习性能分析。为了显示的可行性和有效性的理论结果,数值模拟给出了部分4结论是在上一节。

2。根本问题描述

考虑一类线性离散定常单,对于切换系统描述如下: 在这里,,,是状态变量、输入变量和输出变量,分别。一组,每个试验,代表操作时间,;表示瞬间的时间。下标,,表示迭代数。符号表示随机切换规则定义的与,。这意味着矩阵组可以采取如下任意元素的有限集:

对于一个给定的期望轨迹,,的ILC的目标系统(1)是生成一个输入序列在递归模式下通过学习经验,这样它可以驱动系统(1)跟踪期望轨迹,尽可能精确地数学: 在哪里跟踪误差。

本文的分析是主要基于以下假设[9,11]。(A1)所有操作从相同的初始状态;也就是说,,对于任何。不失一般性,它假定。(A2)所需的轨迹,iteration-invariant。(A3)对于给定的期望轨迹,,存在一个期望控制输入信号,和期望的状态向量,,这样

在这篇文章中,一个被认为是p型ILC方案在哪里表示学习增益成比例。

3所示。学习表现分析

在本节中,超级向量方法被用来分析学习算法的性能5切换系统)(1)。

3.1。超级ILC的向量表示

给定一个任意,输出时的瞬间来的th试验可以分别计算

为了表达简单,以下“超级向量”表示然后系统(6)可以等价表示为下面的输入-输出响应线性系统: 在哪里考虑到假设(A1)减少。考虑和表示系统(8)成为在哪里和。

备注1。有人指出表示超级向量的形式反映了系统的动力特性(1在迭代域。对于线性时变切换系统和一些类型的非线性切换系统,类似的描述也可以派生。因此本文结果可以推广到线性时变切换系统和一些类型的非线性切换系统。

因此,ILC的控制目标超级向量可以等价的形式描述为这样一个搜索输入超级向量序列,它可以驱动系统(10)跟踪期望轨迹尽可能精确地当迭代数趋于无穷大;也就是说, 在这里,””表示向量范数和代表跟踪误差超矢量定义为

在超级向量的形式,更新法律(5)是新配方在哪里是学习增益矩阵由更新法律的学习效果(5)。现在原来的二维ILC问题转化成一维的线性输入输出响应问题(14]。

3.2。收敛性和鲁棒性分析

定理2。假设ILC算法(13)是对线性切换系统(10)和一个任意切换序列,。然后跟踪误差收敛单调的向量范数不等式 认为,“”诱导矩阵范数表示。

证明。通过跟踪误差的定义,它很容易获得规范双方的(16不平等产生)和使用标准在哪里或。考虑的假设得到
这就完成了证明。

它指出,矩阵的元素不是提前确定,作为控制系统的切换规则是任意的。在分析的过程中,假定条件(15)适用于所有的可能性。

备注3。假设(15)是一个单调收敛的充分条件。特别是,当,,它在这里表示的谱半径和代表的奇异值,它被定义为。在接下来的讨论,我们认为,在(15)。

当考虑测量干扰,系统(1)可以新配方因此,系统(10)可以新配方在哪里表示测量噪声向量满足对于任何。

有两种类型的错误,即受污染的跟踪误差和未受污染的跟踪误差测量的学习行为审判。它们分别定义为显然,的关系和是。

信号是观察到的错误吗th迭代不管噪声在这个试验(只有受到以前的噪音信号,)。这是一个选择评估学习算法的跟踪行为,然而,由于噪声传输的学习过程,当前的输入向量应该被污染的误差补偿在th试验;也就是说,更新法律(13)是新配方通过跟踪误差向量的定义,未被污染的的演变跟踪误差向量在两个相邻试验可以推断

定理4。考虑(24),推导出用更新法(23)切换系统(21)。然后是有界的,如果噪声向量满足对于任何和,“”代表一个序列的最小上界。

证明。双方的欧几里得范数(24)的收益率使用的关系(25)先后获得的假设对于任何考虑和指示不平等(26)成为自,很容易得出结论。这意味着这就完成了证明。

备注5。从估计(28)的价值主要是有关边界的噪音。小的大小将导致更好的跟踪性能。特别是,当噪声是免费的,未被污染的的单调收敛跟踪误差的欧几里得范数,这是符合定理2。在的价值决定,可以减少噪声的影响减少的价值。

注6。超级向量方法在理论上是一个工具来分析学习解决ILC算法的性能。因为它将原来的二维问题转化为一维线性输入输出响应的问题,它可以处理ILC问题只有在迭代域时域不管。这会带来很大的便利为设计一个控制器和理论分析。

注7。与现有的ILC算法中线性切换系统的文献[9,11),分析外部测量噪声鲁棒性采用超级向量法,这是一个重要的问题在设计一个适用的程序控制器。另外,可以看出,切换系统的收敛性和鲁棒性是保证基于系统动力学是需要iteration-invariant,尽管系统subdynamics之间的任意切换。的情况可以被视为系统动力学是时变的。分析表明,ILC计划可能适合时变系统。这是ILC策略的意义之前,它需要较少的系统知识。

注8。有必要指出,研究切换系统的ILC算法是nonswitched系统比这更艰难,因为切换系统的动力行为更加复杂。作为一个交换系统遵循多样化subdynamics看到,而ILC nonswitched系统的算法,ILC方案切换系统需要更多的内存来存储以及subdynamics转换规则。这将是一个维度灾难中当系统维度较高和抽样数量要大得多。然而,内存需求迟早要解决与信息技术的发展。接下来,暗示的方式现有的引用(9,11,12,15),论文的研究切换系统是基于切换规则的前提是时间但iteration-invariant;即切换规则变化沿时间轴但必须固定整个学习过程一旦开始的转换规则是选择学习。这个需求是至关重要的。在一般情况下,当切换随机触发规则在时间轴和迭代方向,如何分析学习性能是一个关键的难题。这个问题将在未来的研究工作。

4所示。数值模拟

显化的有效性和算法的有效性,被认为是一个简单的例子,在文献[作为一个例子9]。切换系统的三个子系统制定如下: 在这里,操作离散时间设置(例如,)。给定任意正整数()属于,任意切换序列被定义为两种可能的开关序列如图1。

给出了系统动力学选择所需的轨迹,。设置为初始状态对所有和输入向量选择开始。在实现中,选择定常和学习效果设置为。在这种情况下,条件成立。

4.1。收敛

假设系统(29日)不是由任何外部噪音和干扰更新法(13)是应用。图2展品的曲线从第一个迭代50迭代。很明显,在迭代收敛域。图3描述了系统输出在第五届迭代,迭代10日和15日迭代。这是看到的输出切换系统(29日)可以跟踪期望轨迹渐近迭代数量加大。这些表明,ILC算法(13)是有效的情况下不确定噪声被忽视。

4.2。鲁棒性

假设系统(29日)是由一组随机干扰有界干扰测量。干扰组之一任意试验如图4。的边界意味着是有界的。的价值计算及其剖面如图5。然后的大小(而不是在定理4)计算和曲线如图6。很明显,这两个的值和是有界的迭代数量加大。

系统输出在10日试验和展示在图15审判7。可以看出ILC算法的跟踪性能令人满意当任意切换规则是固定的,系统与一个可接受的边界被测量噪声。

5。结论

在本文中,p型ILC算法应用于一种离散切换系统在任意切换规则。超级向量方法,首先讨论收敛性能和鲁棒性分析当系统是由有界随机干扰测量噪声的情况下,切换规则是固定一旦随机选择的第一操作。结果清单,可以在适当的条件下保证收敛性和鲁棒性。然而,对于此案时切换随机触发规则在时间轴和迭代方向,收敛性和鲁棒性的分析仍然是一个悬挂的问题。此外,ILC方案的学习表现为线性时变切换系统或非线性切换系统是一个具有挑战性的话题。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者衷心感谢中国国家自然科学基金会的支持下授予f010114号- 60974140和61273135。

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