对于给定的期望轨迹<我nl我ne- - - - - -formula>
y
d
(
我
+
1
)
,<我nl我ne- - - - - -formula>
我
∈
年代
,存在一个期望控制输入信号<我nl我ne- - - - - -formula>
u
d
(
我
)
,<我nl我ne- - - - - -formula>
我
∈
年代
和期望的状态向量<我nl我ne- - - - - -formula>
x
d
(
我
)
,<我nl我ne- - - - - -formula>
我
∈
年代
,这样
(4)
x
d
我
+
1
=
一个
τ
(
我
)
x
d
(
我
)
+
B
τ
(
我
)
u
d
(
我
)
,
y
d
我
+
1
=
C
τ
(
我
)
x
d
(
我
+
1
)
我
∈
年代
。
在这篇文章中,一个被认为是p型ILC方案
(5)
u
k
+
1
我
=
u
k
我
+
γ
τ
我
e
k
我
+
1
,
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
γ
τ
(
我
)
(
τ
(
我
)
∈
问
)表示学习增益成比例。
3所示。学习表现分析
在本节中,超级向量方法被用来分析学习算法的性能
5切换系统)(
1)。
3.1。超级ILC的向量表示
给定一个任意<我nl我ne- - - - - -formula>
我
∈
年代
,输出时的瞬间<我nl我ne- - - - - -formula>
1
来<我nl我ne- - - - - -formula>
我
+
1
的<我nl我ne- - - - - -formula>
(
k
+
1
)
th试验可以分别计算
(6)
y
k
+
1
1
=
C
τ
(
0
)
x
k
+
1
(
1
)
=
C
τ
0
一个
τ
0
x
k
+
1
0
+
C
τ
0
B
τ
0
u
k
+
1
0
,
y
k
+
1
2
=
C
τ
(
1
)
x
k
+
1
(
2
)
=
C
τ
(
1
)
一个
τ
(
1
)
一个
τ
(
0
)
x
k
+
1
(
0
)
+
C
τ
1
一个
τ
1
B
τ
0
u
k
+
1
0
+
C
τ
1
B
τ
1
u
k
+
1
1
,
y
k
+
1
3
=
C
τ
(
2
)
x
k
+
1
(
3
)
=
C
τ
(
2
)
一个
τ
(
2
)
一个
τ
(
1
)
一个
τ
(
0
)
x
k
+
1
(
0
)
+
C
τ
(
2
)
一个
τ
(
2
)
一个
τ
(
1
)
B
τ
(
0
)
u
k
+
1
(
0
)
+
C
τ
2
一个
τ
2
B
τ
1
u
k
+
1
1
+
C
τ
2
B
τ
2
u
k
+
1
2
,
⋮
y
k
+
1
我
+
1
=
C
τ
(
我
)
x
k
+
1
(
我
+
1
)
=
C
τ
(
我
)
∏
j
=
0
我
一个
τ
(
j
)
x
k
+
1
(
0
)
+
C
τ
(
我
)
∏
j
=
1
我
一个
τ
(
j
)
B
τ
(
0
)
u
k
+
1
(
0
)
+
C
τ
(
我
)
∏
j
=
2
我
一个
τ
(
j
)
B
τ
(
1
)
u
k
+
1
(
1
)
+
⋯
+
C
τ
(
我
)
一个
τ
(
我
)
B
τ
(
我
- - - - - -
1
)
u
k
+
1
(
我
- - - - - -
1
)
+
C
τ
我
B
τ
我
u
k
+
1
我
。
为了表达简单,以下“超级向量”表示
(7)
u
k
+
1
=
u
k
+
1
0
,
u
k
+
1
1
,
…
,
u
k
+
1
(
我
)
T
,
y
k
+
1
=
y
k
+
1
1
,
y
k
+
1
2
,
…
,
y
k
+
1
(
我
+
1
)
T
。
然后系统(
6)可以等价表示为下面的输入-输出响应线性系统:
(8)
y
k
+
1
=
H
我
u
k
+
1
+
D
我
,
在哪里
(9)
H
我
=
C
τ
0
B
τ
0
0
0
⋯
0
0
C
τ
1
一个
τ
1
B
τ
0
C
τ
1
B
τ
1
0
⋯
0
0
C
τ
2
一个
τ
2
一个
τ
1
B
τ
0
C
τ
2
一个
τ
2
B
τ
1
C
τ
2
B
τ
2
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
C
τ
我
∏
j
=
1
我
一个
τ
j
B
τ
0
C
τ
我
∏
j
=
2
我
一个
τ
j
B
τ
1
C
τ
我
∏
j
=
3
我
一个
τ
j
B
τ
2
⋯
C
τ
我
一个
τ
我
B
τ
我
- - - - - -
1
C
τ
我
B
τ
我
,
D
我
=
C
τ
0
一个
τ
0
x
k
+
1
0
,
C
τ
1
∏
j
=
0
1
一个
τ
j
x
k
+
1
0
,
C
τ
2
∏
j
=
0
2
一个
τ
j
x
k
+
1
0
,
…
,
C
τ
我
∏
j
=
0
我
一个
τ
j
x
k
+
1
0
T
。
考虑到假设(A1)减少<我nl我ne- - - - - -formula>
D
(
我
)
=
0
。考虑<我nl我ne- - - - - -formula>
我
=
N
- - - - - -
1
和表示<我nl我ne- - - - - -formula>
H
(
N
- - - - - -
1
)
=
H
系统(
8)成为
(10)
y
k
+
1
=
H
u
k
+
1
,
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
u
k
+
1
=
(
u
k
+
1
(
0
)
,
u
k
+
1
(
1
)
,
…
,
u
k
+
1
(
N
- - - - - -
1
)
]
T
和<我nl我ne- - - - - -formula>
y
k
+
1
=
(
y
k
+
1
(
1
)
,
y
k
+
1
(
2
)
,
…
,
y
k
+
1
(
N
)
]
T
。
因此,ILC的控制目标超级向量可以等价的形式描述为这样一个搜索输入超级向量序列<我nl我ne- - - - - -formula>
{
u
k
}
,<我nl我ne- - - - - -formula>
k
∈
Z
+
它可以驱动系统(
10)跟踪期望轨迹<我nl我ne- - - - - -formula>
y
d
尽可能精确地当迭代数趋于无穷大;也就是说,
(11)
lim
k
→
∞
e
k
+
1
ν
=
0
。
在这里,”<我nl我ne- - - - - -formula>
·
ν
”表示向量范数和<我nl我ne- - - - - -formula>
e
k
+
1
代表跟踪误差超矢量定义为
(12)
e
k
+
1
=
y
d
- - - - - -
y
k
+
1
=
e
k
+
1
1
,
e
k
+
1
2
,
…
,
e
k
+
1
(
N
)
T
,
y
d
=
y
d
1
,
y
d
2
,
…
,
y
d
(
N
)
T
。
在超级向量的形式,更新法律(
5)是新配方
(13)
u
k
+
1
=
u
k
+
Γ
e
k
,
在哪里
(14)
Γ
=
γ
τ
(
0
)
0
0
⋯
0
0
γ
τ
(
1
)
0
⋯
0
0
0
γ
τ
(
2
)
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
γ
τ
(
N
- - - - - -
1
)
是学习增益矩阵由更新法律的学习效果(
5)。现在原来的二维ILC问题转化成一维的线性输入输出响应问题(
14]。
通过跟踪误差的定义,它很容易获得
(16)
e
k
+
1
=
y
d
- - - - - -
y
k
+
1
=
y
d
- - - - - -
H
(
u
k
+
Γ
e
k
)
=
我
- - - - - -
H
Γ
e
k
。
规范双方的(
16不平等产生)和使用标准
(17)
e
k
+
1
ν
≤
我
- - - - - -
H
Γ
μ
e
k
ν
,
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
ν
=
1
,
2
或<我nl我ne- - - - - -formula>
∞
。考虑的假设<我nl我ne- - - - - -formula>
我
- - - - - -
H
Γ
μ
<
1
得到
(18)
e
k
+
1
ν
<
e
k
ν
。
这就完成了证明。
它指出,矩阵的元素<我nl我ne- - - - - -formula>
H
不是提前确定,作为控制系统的切换规则是任意的。在分析的过程中,假定条件(
15)适用于所有的可能性<我nl我ne- - - - - -formula>
H
。
当考虑测量干扰<我nl我ne- - - - - -formula>
ξ
k
+
1
(
我
+
1
)
,<我nl我ne- - - - - -formula>
我
∈
年代
系统(
1)可以新配方
(20)
x
k
+
1
我
+
1
=
一个
τ
我
x
k
+
1
我
+
B
τ
我
u
k
+
1
我
,
y
k
+
1
(
我
+
1
)
=
C
τ
(
我
)
x
k
+
1
(
我
+
1
)
+
ξ
k
+
1
(
我
+
1
)
我
∈
年代
。
因此,系统(
10)可以新配方
(21)
y
k
+
1
=
H
u
k
+
1
+
ξ
k
+
1
,
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
ξ
k
+
1
=
(
ξ
k
+
1
(
1
)
,
ξ
k
+
1
(
2
)
,
…
,
ξ
k
+
1
(
N
)
]
T
表示测量噪声向量满足<我nl我ne- - - - - -formula>
|
|
ξ
k
+
1
|
|
2
<
+
∞
对于任何<我nl我ne- - - - - -formula>
k
∈
Z
+
。
有两种类型的错误,即受污染的跟踪误差<我nl我ne- - - - - -formula>
e
- - - - - -
k
+
1
和未受污染的跟踪误差<我nl我ne- - - - - -formula>
e
k
+
1
测量的学习行为<我nl我ne- - - - - -formula>
(
k
+
1
)
审判。它们分别定义为
(22)
e
- - - - - -
k
+
1
=
y
d
- - - - - -
G
u
k
+
1
- - - - - -
ξ
k
+
1
,
e
k
+
1
=
y
d
- - - - - -
G
u
k
+
1
。
显然,的关系<我nl我ne- - - - - -formula>
e
k
+
1
和<我nl我ne- - - - - -formula>
e
- - - - - -
k
+
1
是<我nl我ne- - - - - -formula>
e
k
+
1
=
e
- - - - - -
k
+
1
+
ξ
k
+
1
。
信号<我nl我ne- - - - - -formula>
e
k
+
1
是观察到的错误吗<我nl我ne- - - - - -formula>
(
k
+
1
)
th迭代不管噪声在这个试验(只有受到以前的噪音信号<我nl我ne- - - - - -formula>
ξ
l
,<我nl我ne- - - - - -formula>
0
≤
l
≤
k
)。这是一个选择评估学习算法的跟踪行为,然而,由于噪声传输的学习过程,当前的输入向量<我nl我ne- - - - - -formula>
u
k
应该被污染的误差补偿<我nl我ne- - - - - -formula>
e
- - - - - -
k
在<我nl我ne- - - - - -formula>
k
th试验;也就是说,更新法律(
13)是新配方
(23)
u
k
+
1
=
u
k
+
Γ
e
- - - - - -
k
。
通过跟踪误差向量的定义,未被污染的的演变跟踪误差向量在两个相邻试验可以推断
(24)
e
k
+
1
=
我
- - - - - -
H
Γ
e
k
+
H
Γ
ξ
k
。