文摘
我们提出了使用分数阶微积分概念Nagumo方程。在两种分析技术包括同伦的帮助分解方法(HDM)和变分迭代法的新发展(NDVIM),我们得到一个近似解。这两种方法都使用积分变换的基本概念和使用都很简单。
1。介绍
Nagumo方程与线性或非线性扩散和对流一直广泛有用的种群动态、生态、神经生理学、化学反应,和火焰传播(1- - - - - -3]。特别是,包括退化非线性扩散方程的情况是相当大的兴趣(4- - - - - -8]。在这种情况下,行波前解锋利的类型是已知存在一个价值的波速度。这种波方面,例如,代表集体运动的人群特别是集体细胞传播,在生态入侵,集中在化学反应9- - - - - -15]。然而,它已经表明,通过分数阶导数描述的现实世界的问题提供更好的预测(16- - - - - -20.]。因此,它是重要的;进一步扩展非线性Nagumo方程使用分数导数的概念。
这是很难获得非线性方程的精确解与分数阶导数。许多学者有时,为了避免这种困难,解决这类问题的数值。然而,即使有数值方案也很难提供一个非线性方程组的数值解。因此,许多学者、访问行为下的真正的问题解决方案的研究,提供了一个这种类型的方程的近似解。
在文献中,存在几个分析技术(21- - - - - -25)来处理非线性方程组包括部分类型。这项工作的目的是提出一个近似解的广义非线性Nagumo方程withnonlinear扩散和对流通过著名的变分迭代法(VIM)和同伦(HDM)分解方法。这里的非线性部分Nagumo方程考虑下面 在哪里,是常量,为了简单起见,我们考虑吗。分数阶的概念不是通过一些学者;为了适应这些,我们在下一节中关于这一概念的基本信息。
2。基本信息部分微积分
存在一个巨大的文学在不同部分衍生品的定义。最受欢迎的是Riemann-Liouville和卡普托衍生品。卡普托我们有以下。
定义1(见[26- - - - - -30.])。一个真正的函数,据说是在空间,如果存在一个实数,这样,在那里据说,它在太空中如果,。
定义2(分数阶偏导数(31日- - - - - -34])。现在假设是一个函数的变量,的类在。我们定义的偏导数为关于,函数 在哪里常用的整数阶偏导数吗。
定义3(见[26- - - - - -30.])。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序的一个函数,,被定义为 操作符的属性可以在找到31日- - - - - -38];我们只提到以下。
为
3所示。HDM和VIM的基本信息
在本节中,我们应选择的基本信息分析方法:同伦分解法和变分迭代法;我们将同伦开始分解方法。
3.1。HDM信息
感兴趣的读者可以找到的全部细节同伦方法的分解方法(39- - - - - -42]。这个相对较新的方法最近被用来解决一些非线性部分偏微分方程。然而,由于变分迭代法的新发展使用最近介绍了拉普拉斯变换,我们将展示其方法在以下小节。
3.2。一些变分迭代方法的信息
在其最初的开发中,该方法的本质是构建以下校正功能(2)当是一种天然的号码: 在哪里是所谓的拉格朗日乘子43),是近似的解决方案。然而,这种发展是不适合与分数阶导数方程(43]。因此,在他们的工作,他们应用的新发展VIM提出(44)发现拉格朗日乘子。在这个新的VIM,第一步的方法的基本特征是应用拉普拉斯变换(两岸2)获得 递归公式(8)现在可以用于提出的主要递归方法连接的拉格朗日乘子 现在考虑限制项;拉格朗日乘数可以获得(43] 现在,应用拉普拉斯逆变换(两岸9),我们获得以下迭代:
4所示。应用程序部分Nagumo方程
在本节中,我们目前的应用同伦分解方法和新的发展所谓的非线性部分Nagumo方程变分迭代法。我们将从HDM开始。
4.1。应用程序的HDM
让我们考虑以下的部分非线性Nagumo方程初始条件: 使用HDM我们到达所涉及的步骤如下: 现在,假设上述方程的解可以表示串联形式如下: 替换这个(13后)和比较的词相同的力量,我们获得以下递归公式: 在这里, 一般的递归公式给药 与 因此,整合上述积分方程,我们得到以下: 在这里,我们只计算三个方面系列解决方案。然而,使用递归公式,我们可以计算出剩余的条款,并给出近似的解决方案如下:
4.2。变分迭代方法的新发展
在本节中,我们测试的效率的新的发展变化迭代方法通过求解非线性分式方程(1)。因此,NDVIM方法后,我们在下面。
拉格朗日乘子是 并给出的递归公式 与最初的术语 所以,使用迭代公式得到 使用递归公式,剩下的任期可以获得但这里,由于这一项的长度,我们只有三个术语和计算的近似解的情况 在以下部分中,我们通过HDM和NDVIM比较近似解。
5。数值结果
我们把这一节获得的数值解的比较通过HDM和NDVIM不同的分数阶导数值。在这种情况下,我们选择,,。下图显示了时间分段非线性Nagumo方程的数值解。图1显示,通过的HDM获得的近似解,图2通过NDVIM显示了近似解。图3通过的HDM显示获得的近似解和图4通过NDVIM显示了近似解。表1显示的数值解的比较得到通过HDM NDVIM,分别为不同的α值。
这两种方法都使用迭代的概念;获得的初始组件的泰勒级数精确解。一方面,新开发的变分迭代法利用拉普拉斯变换,拉格朗日乘子,最后拉普拉斯逆变换。另一方面,HDM使用只是一个简单的积分和摄动技术。这两种技术是简单的实现和非常准确。
6。结论
Nagumo方程是一个非常复杂的方程,精确解的不存在。Nagumo方程扩展到分数阶导数的概念。结果进一步分析框架内的同伦方程分解方法和变分迭代法的新发展。这两种方法都使用一个简单的积分变换的概念。数值结果给出了测试效率和两种方法的准确性。从他们的迭代公式,我们可以得出这样的结论:这两种方法是简单的使用和强大的武器来处理部分非线性方程类型。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
押顿Atangana要感谢克劳德·莱昂金融支持的基础。