文摘

在本文中,我们继续我们的调查复杂的洛伦兹系统的控制和同步调查冲动控制和同步。非线性系统包括脉冲效应,表现为一个自然进化描述观察到的现象的几个现实问题;例如,许多生物现象涉及阈值、破裂节奏模型在医学和生物学,经济学最优控制模型,种群动态等等做展览冲动的影响。一些新的和更全面的标准为全局指数稳定性和渐近稳定的冲动控制复杂的洛伦兹系统建立了不同脉冲间隔。验证了该方法的有效性通过数值模拟。

1。介绍

在过去的30年里,混沌系统涉及真正的和复杂的变量由复杂的常微分方程已被广泛研究和调查,包含一个或多个复杂的变量乘法变量出现在许多重要的应用程序在工程;例如,在通信技术中,可以使用变量的数量翻倍增加的内容和安全传输信息,用于描述和模拟失谐激光的物理和热对流的液体流动,电场振幅和原子极化幅度都是复杂的(见[1- - - - - -5])。

在应用科学和工程中,有很多问题所描述的这些复杂的系统,例如,在许多重要领域的物理,工程,计算机科学,如激光物理、控制、流动力和液体混合、电子电路、安全通信和信息科学(见[6- - - - - -13])。

1963年,洛伦兹介绍真正的洛伦兹系统(即。系统涉及到实际变量): 在哪里,,。本系统描述流体的热对流,激光物理学的问题,和磁盘发电机(见[7,14- - - - - -17])。

近年来,已经有相当大的兴趣在非线性动力系统混沌的控制。在过去的几年,人们提出了许多不同的技术来控制混乱,包括奥特,Grebogi,约克(OGY)方法,Pecore和卡罗尔(PC)技术,和步进方法(见[18- - - - - -22])。

安全通信的关键技术,混沌同步被广泛开发以来佩科拉和卡罗尔(见[18)提出了混沌同步的原则,在1990年意识到电路中。的基本行为和混沌同步(1)一些研究人员一直在研究(见[16,23- - - - - -25])。由两个混沌系统的同步的概念(相同或不同的)振动以同步的方式。提出了各种各样的方法和应用混沌系统的同步,包括,例如,主动控制,全球同步、自适应控制、线性和非线性反馈,和背部设计(见[16,25,26)和引用)。

许多进化过程的特点是在特定时刻的时候突然变化的状态。这些过程都受到短期扰动的时间相比可以忽略不计的时间过程。因此,人们很自然地认为,这些扰动瞬间行为,也就是说,在脉冲的形式。脉冲微分方程,微分方程涉及脉冲效应,表现为一个自然进化描述观察到的现象的几个现实问题;生物现象涉及阈值,例如,许多破裂的节奏模型在医学和生物学,经济学最优控制模型,种群动态表现出冲动的影响(见[27- - - - - -31日])。最近,冲动控制已被广泛用于稳定和同步混沌系统(见[32- - - - - -34])。其必要性和重要性在于这样一个事实:在某些情况下,系统不能控制的连续控制。例如,一个政府不能改变储蓄率的央行每天。此外,冲动控制可能会更有效的方法来处理系统无法忍受持续的干扰。此外,冲动的方法还可以大大降低控制成本。混沌系统是一个非线性确定性问题显示复杂和不可预知的行为。混沌同步在物理系统调查和研究涉及实际变量在过去25年。然而,也有许多有趣的系统涉及复杂的变量没有被积极地探索。

在本文中,我们研究复杂Lorenz混沌系统的脉冲控制和同步通过下面的微分方程来描述: 在哪里,,是积极的(真实的或复杂)的参数,和是复杂的变量,是一个真正的变量,一个在酒吧表示复共轭变量,和对时间点代表衍生品。物理学这个系统出现在许多重要的应用,例如,在激光物理和旋转流体动力学。这些变量与电场振幅的关系,原子极化幅度,和粒子数反转;更多细节,请参阅[2,14,15)和引用。

数值,我们表明,该系统是混乱和展品混沌吸引子。提出了分析和数值计算来实现同步。脉冲控制技术用于同步混沌吸引子(2)。

2。冲动控制的非线性系统

这些冲动的数学描述系统的微分方程通常是定义为一个常微分方程耦合系统的差分方程表示在以下系统: 在哪里,,是状态变量,是一个连续值函数。系统的脉冲控制律(3)是由序列的影响,突然在瞬间改变系统的状态,在那里,和。给出了差分方程 在哪里和。为简单起见,我们假设和可以选择在哪里是矩阵。目标是找到一些(充分)条件常数控制收益,和脉冲间隔,这样冲动控制系统(3)是稳定的。

2.1。冲动控制复杂的洛伦兹系统

复杂的洛伦兹系统描述 在哪里,是复杂的状态变量,是真实的状态变量,,,是真实的参数(或复杂)。

真正的版本(5)读 我们可以把上述系统成矩阵形式: 冲动控制的复杂然后由洛伦兹系统 在哪里是矩阵相应的系统的线性部分,,表示即时冲动控制发生时。

为了方便起见,定义以下符号: 在哪里是单位矩阵,矩阵的最大特征值吗。

定理1。 如果(是一个常数),存在一个常数,这样 然后系统的平凡解(8)是全局指数稳定的。
如果(是一个常数),存在一个常数,这样 然后意味着系统的平凡解(8)是稳定的,意味着系统的平凡解(8)是全局渐近稳定的。

指出1。定理1提供了充分条件的全局指数稳定性和全局渐近稳定控制系统原点。结果是新的和全面的洛伦兹系统的脉冲控制的家庭。此外,条件意味着冲动可能不是等距间隔。

推论2。假设和矩阵。(我)如果(是一个常数),存在一个常数,这样,然后系统的平凡解(8)是全局指数稳定的。(2)如果,(是一个常数),存在一个常数,这样,然后定理的结论1成立。

2.2。复杂的洛伦兹系统的脉冲同步

我们研究这个复杂的洛伦兹系统的脉冲同步。为了简化问题,我们假设我们有两个相同的复杂的洛伦兹系统和由下标表示驱动系统,而反应系统控制用下标。我们的目标是设计一个脉冲控制器,使反应系统按照驱动系统,最终成为一样的。分别定义的驱动和响应系统 在哪里,是复杂的状态变量,是真实的状态变量,,,,表示共轭复数。

复杂系统(12)和(13)可以重写,分别五真正的一阶常微分方程的形式 我们定义的响应之间的误差状态系统和控制驱动系统控制 在一个冲动的配置,驱动系统和响应系统建模脉冲方程如下: 如果我们定义 的误差系统的脉冲同步 注意,存在一个正的常数混沌系统(6),这样对所有。为了方便起见,定义以下符号:

指出2。从上面的分析中,由此可见,混沌同步的一个充分必要条件的起源(20.)是渐近稳定的。很明显,原点是平衡的20.)。同时,原点是独特的平衡(20.),因为,。

定理3。 如果(是一个常数),存在一个常数,这样,,然后系统的平凡解(20.)是全局指数稳定;也就是说,系统(18)是全球指数同步与系统(17)。
如果(是一个常数),存在一个常数,这样,,然后系统(18)是全球指数同步与系统(17)。

推论4。假设和矩阵()。(我)如果并且存在一个常数,这样,那么系统(18)是全球指数同步与系统(17)。(2)如果(是一个常数),存在一个常数,这样,,然后系统(18)是全球指数同步与系统(17)。

3所示。仿真结果

在这个仿真,将混乱复杂的洛伦兹系统,例如,证实该方法。

的平衡(6)可以通过求解方程计算,,,,得到三个平衡,,在那里 为,重要的平衡存在。

相应的线性化系统的特征值是 平衡是稳定的,如果它变得不稳定。

解决系统(6)((5)数值,我们显示系统(6)是一个混沌系统自分离两个附近的轨迹随时间呈指数增长如图1。在这个图我们展示两个数值解(6),两个亲密的初始条件,,,,和,,,,(我们只阴谋图),,,。

很明显从图1我们的系统显示初始条件敏感的依赖。

系统(6)展品混沌吸引子,,与初始条件;,,,,;参见图1在空间,分别。上的投影的混沌吸引子6)空间洛伦茨吸引子(类似1),在2]。

我们控制系统(6它的平衡点;因此 它的特征值,,,,。然后。如果我们选择,,,,,,,,,然后

如果从定理1,我们的平衡点冲动控制系统是渐近稳定的。取;因此,如果系统(6)将稳定在原点。让分别;仿真结果如图所示2,初始条件。从图2我们迅速的状态变量往往冲动控制的起源。如果脉冲间隔太大,证明之前,冲动控制系统不能稳定,如图2与。

在图3,我们的错误同步两个复杂的洛伦兹系统的初始条件后驱动和响应系统选为和。我们可以得到近似的模拟的系统(685年)。因此。选择,,,,,,,,。取;因此,如果系统(17)是全局渐近同步与系统(6)。图3结果显示当。很明显,这种冲动控制,两个混沌系统同步非常快。

4所示。结论

本文是研究很感兴趣的冲动控制和同步混沌吸引子的复杂洛伦兹系统(5)。本研究可以被认为是一个延续我们的研究在文献中对于复杂的洛伦兹系统。这些复杂物理系统出现在几个重要领域,例如,激光物理,旋转流体动力学,和磁盘发电机。我们定义混乱敏感依赖初始条件和测量通过计算两个最初的分离率附近的相空间轨迹。系统(5)是一个混沌系统和展品混沌吸引子。敏感依赖初始条件和参数的系统的混沌行为是明显的特征(5)。上的投影的混沌吸引子6)空间与实际变量类似于洛伦茨吸引子(1)。一些新的和更全面的标准为全局指数稳定性和渐近稳定的冲动控制复杂的洛伦兹系统建立了不同脉冲间隔。验证了该方法的有效性通过数值模拟,可以看到,同步错误收敛到零,如图3。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者非常感谢应用数学组的所有成员(理学院数学系,哈立德国王大学,沙特阿拉伯)有用的讨论主题的调查。