文摘

我们考虑一个爵士流行模型的接触传输函数与受感染人群的数量。通过理论分析,结果表明,模型展示了双稳态和经历界定分岔,霍普夫分岔,Bogdanov-Takens分叉。此外,我们发现疾病传播的阈值将会增加,当half-saturation系数大于零,这意味着它是一个有效的干预政策采用了疾病蔓延。然而,地方病平衡存在时,我们发现这种疾病可以控制的,只要我们的初始值在一定范围的干预政策。这将提供一个理论依据疾病的预防和控制。

1。介绍

疾病传播的经典爵士模型已被广泛研究。最重要的问题之一,动力行为改变的不同发病率流行系统。发病率,我们分为两类:一是卡帕索和Serio1]提出的感染力量饱和曲线,描述“拥挤效应”或“保护措施”;另一种是的感染力量,描述了影响“干预政策,例如,关闭学校,餐馆和推迟会议(见图1)。模型与饱和的感染力量,,这是一个典型的感染力量,丰富的动力学行为是由阮和王2和唐et al。3]。发病率的模型可以适用于许多传染病,包括麻疹、流行性腮腺炎、风疹、水痘、流感。关于非线性感染率的更多研究文献[4- - - - - -9]。然而,对于一些parasite-host模型,通过观察宏观和microparasitic感染,感染率的一个发现是寄生虫剂量的递增函数,通常在形状(s形10,11]。所以我们会建立一个模型与c形的发病率是考虑“拥挤效应”和“饱和效应。”根据parasite-host安德森和可能提出的模型(1979)(12,13),模型如下: 在哪里易感宿主,感染宿主,分别和删除主机。是易感宿主的出生率,人口的自然死亡率,去除率,死亡率是人均感染相关性。如果我们表示感染力量,可以解释为有效的联系。初疾病,大多数人穷的预防意识,那么有效的联系可以先增加后趋于一定值。时间过得真快,人们逐渐意识到严重性,采取措施,预防和控制疾病的发展,将减少接触感染,所以接触的速度是先增加后减少。在短时间内,它不为零,但往往一个非零常数。为了简化研究,我们 在哪里和。如果,增加单调和倾向于。如果,先增加然后减少,容易吗(见图1)。

然后模型(1)成为 在哪里有效的接触系数。

当和,模型(3)成为 在哪里。

我们知道是基本的繁殖数量(4)。很容易看到,有一个独特的积极的平衡在系统(4)当并没有积极平衡的时候。在下一节中,我们将研究参数和会有任何影响的动态行为模型(3)。

本文的组织如下。在下一节中,我们分析的存在和稳定的地方病平衡模型(3)。然后我们讨论霍普夫分岔条件和Bogdanov-Takens分叉部分3。部分4提出了数值模拟表明动态行为和分叉结构,并给出了简要的讨论。

2。平衡的存在性和稳定性

我们认为积极的平衡(3)。设置系统(的右手边3)为零,我们发现第一和第二方程系统(3)不包括,所以我们只考虑 从上面的两个方程,除了无病平衡(DFE),任何地方病平衡点(EE),如果存在,是以下两条曲线的交点在积极的象限

从(6),必须满足以下方程: 因此,两条曲线的交点(6)转化为积极的根(7)。

的导数是

在下面,我们考虑三种情况的迹象。通过计算,我们有以下三个定理。

集

定理1。假设。然后我们有以下。(一)如果,然后系统(3)没有地方病平衡点。(b)如果,我们有以下。(我)当系统(3)没有地方病平衡点。(2)当系统(3)有一个独特的地方性平衡。(3)当系统(3)有两个流行的平衡。

定理2。假设。然后我们有以下。(一)如果,然后系统(3)没有地方病平衡点。(b)如果,然后系统(3)有一个独特的地方性平衡。(c)如果,然后系统(3)有两个流行的平衡。

定理3。假设。然后我们有以下。(一)如果,然后系统(3)没有地方病平衡点。(b)如果,然后系统(3)有一个独特的地方性平衡。(c)如果,然后系统(3)有两个流行的平衡,在那里。

备注4。从定理1和2,我们可以发现基本繁殖数模型(3)小于标准模型。这意味着疾病更容易传播。对定理3,很明显,如果这种疾病可能存在。

无病平衡点(DFE),很容易计算出系统的雅可比矩阵(3)在教育部特征值和。因此,教育部总是稳定的。

在下面,地方病平衡点的稳定性在系统(3)将研究。首先,评估系统的雅可比矩阵3)给了 在哪里 它的特征方程是 在哪里

很容易计算 也就是说,。

现在假设模型有两个流行的平衡,;也就是说,在定理1,(b)(3)项或定理2和3,项目成立。如果雅可比矩阵在哪里,然后(13)给 因此,它很容易获得是负的,是正的。我们可以立即得出结论,地方病平衡点感染者数量较低的总是一个马鞍,特有的均衡与大量的感染者是一个节点或关注但的稳定性是由。从(14),我们注意到的痕迹的迹象是由 集

定理5。假设(3)有两个流行的平衡。然后是渐近稳定如果下列之一是满意。(一) ;(b) 和。
此外,是不稳定的,如果和。

证明。如果,然后。它遵循从那。因此,在这种情况下渐近稳定。如果,我们有。我们看到,通过直接计算意味着,从而导致。因此,是渐近稳定条件(b)。类似地,如果和,我们有,从而导致。由此可见,是不稳定的。

3所示。系统的分岔

3.1。霍普夫分岔

当条件(b) (ii)定理1和定理的条件(b)2和3持有和,有一对纯虚特征值(图2)。因此,对于合适的参数值时,会出现一个霍普夫分岔,这意味着有一个在更大的非平凡周期解的平衡。为了确定霍普夫分岔的类型,我们集 然后我们考虑转换移动的起源。一些操作后,模型可以转换成以下方程: 在哪里代表了高阶术语和

假设。然后 通过定义和,可以看出

集 的特征值是和。

现在,使用转换,(20.),我们得到 在哪里

如果 通过一些繁琐的计算,我们看到的迹象是由,在那里

的结果(14),霍普夫分岔的方向取决于的标志。因此,我们有以下结果。

定理6。假设一个条件定理(c) (6)持有,。如果,然后从流行周期解分叉曲线平衡这样(我)为系统(3)经过超临界霍普夫分岔;(2)为系统(3)经历了亚临界霍普夫分岔。

注7。定理5和6暗示著发生因为特有的平衡效果和无病平衡点是稳定的同时,或一个稳定的极限环和无病平衡点可以稳定在同一时间。

3.2。Bogdanov-Takens分岔

本节的目的是研究Bogdanov-Takens分叉(3)有一个独特的简并积极的平衡。假设(H1)(1) 和;(2) 和;(3) 和。

然后系统(3)承认一个独特的积极的平衡如果一个(H1)满意。

的雅可比矩阵(3)在这一点上

因为我们感兴趣的余维数2分岔,我们进一步假设(H2)

由(15),我们有

此外,(H2)暗示 因此,(H1)和(H2)暗示雅可比矩阵零特征值2多样性。这表明,(3)可能承认Bogdanov-Takens分岔。下一个定理将证实了这一点。

定理8。假设(H1)和(H2)。然后平衡(3)是一种尖端的余维数2;也就是说,它是一个Bogdanov-Takens奇点。

证明。为了翻译内部平衡到原点,我们组。扩大系统的右边(3)关于原点的泰勒级数,我们获得 在哪里是一个光滑函数至少3和
集。然后(32)转换成 在哪里是光滑的函数至少3和 再一次,让改变变量;我们有
让。然后系统(36)成为 为了获得规范正常的形式,我们执行转换的变量 然后,我们得到 在哪里是光滑的函数至少三阶。
请注意,和 此外,通过(30.)和(31日),是获得
所以 由此可见,(3)承认,从[Bogdanov-Takens分岔15,16]或[17]。

4所示。仿真和结论

在下面,我们用数值模拟,基于MatCont包(18),揭示参数诱导分岔和极限环系统(3)。首先,通过修复,我们画一个2维图的变量与参数如图3。我们找到一个霍普夫分岔,一个极限值(褶皱)分岔。李雅普诺夫系数,这意味着不稳定周期轨道。此外,是固定的;我们观察的轨道系统(3)是如何变化的。从图4,我们可以发现周期轨道会发生,但是这种疾病将死时,尽管存在积极平衡系统(3)。此外,我们需要和作为分岔参数;从图5,我们可以证明这个系统没有积极平衡的时候和躺在左边的红色曲线和两个特有的平衡时,他们是在右边的红色曲线。如果参数和红色和绿色曲线之间,我们发现系统将接受霍普夫分岔。

在这篇论文中,我们构建了一个模型与联系传输函数,获得了动态行为。通过分析,我们发现,疾病传播的阈值将会更大。这意味着它是一个有效的干预政策采用了疾病蔓延。无病平衡点总是局部稳定和当一个积极的平衡存在,是稳定的,我们可以控制疾病,只要我们让初始值在一定范围内的干预政策。如果积极的平衡是不稳定的,疾病就会死亡。这将提供一个理论依据疾病的预防和控制。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(11201434,11271369)和山西奖学金委员会中国(2013 - 087)。