文摘
建模的单向传播的色散媒质中的长水波。Korteweg-de弗里斯(KdV)和Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程来源于水波模型。KdV和BBM方程的新旅行解决方案获得通过实现直接代数和sech-tanh延伸方法。获得稳定的旅行解决方案进行了分析和讨论。
1。介绍
许多非线性演化方程扮演重要的角色在一些现象的分析,包括等离子体离子声波,磁化尘埃等离子体中尘埃声波孤独的结构,和电磁波在size-quantized电影1- - - - - -4]。获得这些非线性演化方程的行波解,许多方法被尝试,如逆散射法(5),副大臣双线性变换(6),tanh-sech方法,扩展的双曲正切法、正弦余弦法(7齐次平衡法,Backlund变换(8),维尔斯特拉斯椭圆函数理论方法(9),分解技术(10,11),Wadati跟踪方法,pseudospectral方法,Exp-function方法,和黎卡提微分方程扩展方法被用来研究这些类型的方程(12,13]。上面的方法推导出许多类型的解决方案从大多数非线性演化方程14]。
Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程是众所周知的在物理应用程序(15];它描述了长电波传播模型包含非线性和耗散效应;它是用于分析液体表面波的长波长,在冷等离子体磁流波,在可压缩流体声力波,声波在谐波晶体(15]。许多数学家的关注BBM方程的动态(16]。
BBM方程被调查为正规化版本的浅水波KdV方程(17]。在某些理论调查优越作为长波浪模型方程;从存在性和稳定性的角度来看,方程提供了相当多的技术优势KdV方程(18]。除了浅水波方程适用于研究漂移波在等离子体或罗斯比波在旋转液体。在一定条件下,它还提供了一个模型的一维波传播。
的主要数学区别KdV和BBM模型可以通过比较最容易欣赏各自的色散关系线性化方程。它可以很容易地看到,这些关系可比只对小波数短波产生截然不同的反应。这是其中的一个原因,而存在和规律理论对KdV方程是困难的,BBM方程的理论是相对简单的19),BBM方程没有考虑耗散和nonintegrable [20.- - - - - -22]。KdV方程描述长非线性表面波的小振幅非粘性的理想流体(22]。KdV方程可积的逆散射变换。孤子存在由于平衡KdV方程的弱非线性和色散。孤子是一个局部的波,无限支持或局部波与指数的翅膀。BBM方程的解决方案和KdV方程已经相当大的忧虑。Zabusky Kruskal调查孤波之间的相互作用和初始状态的复发23]。孤子是杜撰一词反映了粒子像孤波相互作用下的行为。两个孤子之间的相互作用强调保护的现实的形状和速度和稳定的孤子脉冲像字符(24- - - - - -27]。
本文的组织结构如下:导论部分1。节2配方的问题,推导出非线性BBM和KdV方程的配方。扩展直接代数和sech-tanh方法分析了部分3。节4的旅行解决方案BBM和KdV方程。
2。问题公式化
在水波方程、二维非粘性的和恒定引力场被认为是不可压缩流体。物理参数扩展到空间的定义,,时间和重力加速度在负方向。让是液体的不受干扰的深度,让代表了自由表面的液体。我们还假设无旋,让运动表示速度势。divergence-free条件下速度场意味着速度势满足拉普拉斯方程(28,29日]: 固体固定边界,正常的流体的速度必须消失。水平平底, 自由表面边界条件是由 方程(3)是一个运动学边界条件,(4)代表的连续性在自由表面的压力,由伯努利方程。拉普拉斯方程(1)和边界条件(2)已经线性和独立于底部。此外,可以消除线性版本的(3)和(4)。一阶方程在表单中
一阶系统的行波解 然后,(5)解决方案 在哪里和任意常数。边界条件(6)意味着,其余条件(7)给出了色散关系 可以结合非线性色散效应的影响 在哪里水波速和吗是流体和深度一个内核,,这是由 从泰勒展开式,偏微分方程(11)减少KdV方程: 在介绍了BBM模型18作为替代KdV方程。的主要观点是,相速度和群速度KdV模型不是有界。相比之下,BBM方程的相速度和群速度都是有界的。他们也接近零。
在[KdV方程的推导18)使用一个扩展的变量,,和参数摄动扩张,色散和非线性效应成为小。(使用的主要论点是18]推导出BBM方程是一阶相当于,缩放KdV方程 同时推导了(18)是正式有效的,重要的是要注意,混合导数的特定选择作为一个替代似乎任意角度的渐近展开式。事实上,任何容许这两项的组合可以有效的基于零衍生品在空间和时间之间的通信。
3所示。的分析方法
以下给出非线性偏微分方程和两个变量(BBM和KdV方程)和作为 可以转换为普通恭敬的方程: 通过使用一个波变量。方程是综合所有条款包含衍生品,集成常量被认为是0。
3.1。扩展直接代数方法
我们引入一个自变量,是下面的三阶颂歌的解决方案: 在哪里,是常数。我们扩展的解决方案(16)以下系列: 在哪里在大多数情况下是一个正整数,将决定。的参数通常是通过平衡线性的最高阶在结果方程具有最高阶非线性项。用(18)到ODE (16)的结果在一个代数方程组的权力这将导致参数的测定,和通过使用数学。
3.2。Sech-Tanh方法
我们假设,在那里和正式行波具有以下解决方案: 在哪里和是常数待定。
步骤1。将最高位非线性项和线性偏导数(最高位16)收益的价值。
步骤2。设置系数()和为零,我们有以下的超定的方程的未知数,,,为。
步骤3。使用Mathematica和吴消除方法,代数方程的步骤2能够解决。
4所示。应用程序的方法
4.1。KdV方程的精确解
我们将使用该方法来解决KdV方程: 通过假设行波解的形式,,(20.)等价于 平衡与在(21)给;然后 替换成(21)和收集的系数,我们得到的代数方程组,,,,,。解决该系统提供以下真实确切的解决方案。
情况下,我。假设 通过比较它们的系数在哪里: 在哪里是积分常数;然后我们有 在这种情况下,可以写成广义孤子解
图1显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
案例二世。假设 通过比较它们的系数和条件下,所以 然后我们有 在这种情况下,可以写成广义孤子解
图2显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
稳定的孤子解是稳定的如果
案例3。假设
通过比较它们的系数和条件下所以 我们有 在这种情况下,可以写成广义孤子解
图3显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
使用Sech-Tanh方法。考虑 用(36)(21),设定的系数()和为零,我们有以下的超定的方程的未知数,,,,,。解的方程的系数(),通过使用Mathematica和吴消去法;我们得到以下解决方案: 然后KdV方程的解决方案
这孤波解是稳定的 和KdV方程的解决方案
图4(一)显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
(一)
(b)
图4 (b)显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
这孤波解是稳定的
4.2。解决方案Benjamin-Bona-Mahony方程
Benjamin-Bona-Mahony方程(14)可以转化为歌唱 平衡与在(21)给。
第一个案例。让有限的扩张 用(43)(42)和设定的系数(),为零,我们有以下的超定的方程的未知数,,,。通过求解方程组的系数()利用数学方法,我们得到以下解决方案: 确切的Benjamin-Bona-Mahony方程的孤子解
图5显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
第二个案例。让有限的扩张 然后,我们得到以下解决方案: 这样的孤子解
图6显示的行波解在这一期间和时间的间隔。
5。结论
通过实现扩展直接sech-tanh代数和修改方法,我们提出了新的KdV和BBM方程的行波解。我们获得了水波速度势KdV方程周期形式和亮和暗孤波的解决方案通过使用扩展直接代数法。使用修改后的sech-tanh方法,水波速KdV方程形式的亮和暗孤波解。水波速度势的BBM方程推导出在黑暗的孤波解。获得解决方案的结构截然不同的和稳定的。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。