文摘
本文是关于弱解的大时间行为全球三维n - s方程进行修改。借助能量方法和辅助一起衰减估计热半群的估计,我们推导出最优上下衰减估计的弱全球修改的n - s方程的解决方案衰减率是最优的,因为它与热方程一致。
1。介绍
众所周知,粘性不可压缩流体的运动是由以下经典的n - s方程(1]: 在这里和表示未知的速度和压力的流体运动,分别。这个运动基本上假定组件的衍生品的速度很小。
在Leray的先驱工作2)在1930年,对于任何初始数据n - s方程(1)出口全局弱解令人满意的 然而,全球存在的问题的顺利解决方案三维n - s方程仍然是一个巨大的开放问题。为了克服这个大困难,许多一直努力学习一些相关修改的n - s方程(见[3,4])。最近,Caraballo et al。5(参见Kloeden et al。6,7])引入了一个有趣的和重要的数学模型即所谓全球navier - stokes方程的修改 与 在哪里(对于一些)被定义为
让我们给这个全球定义概要分析模型。修改的因素是一个函数的。从本质上讲,它可以防止大梯度控制流量,导致爆炸。最重要的是,这个模型展览一个独特的全球系统的弱解(1)在有限的领域(见[5])。
然而,它应该提到,尽管存在实际上取消了一些非线性项的奇异点,它不能增加低频率的影响系统的解决方案(3)。因此,有趣的是这个模型的考虑时间衰减问题,很大程度上依赖于低频率的影响的解决方案。在本文中,我们关注修改后的n - s方程的弱衰变解决方案(3)。这个问题,有必要召回一些经典的时间衰减流体动力学模型的结果。衰变的弱解navier - stokes方程首次研究了Schonbek [8)(参见[9])。她第一次提出有趣的方法所谓的傅里叶分解方法和有限的能量弱衰变作为解决方案 以后有大好的结果发展傅里叶分解方法不可压缩n - s方程(10]。一个也可能是指一些有趣的衰变问题相关的流体模型(11- - - - - -13]。
出于上下衰减估计的非线性流体模型(14),在这项研究中,我们将开发一个技术处理时间衰变问题弱解的全局修改n - s方程(3)。我们的技巧主要是基于能量的方法估计整个空间的热半群。我们可以得到最优时间衰变率,因为它伴随着线性方程。
2。预赛和主要结果
在本文中,我们表示一个通用的积极的恒线间互不相同的。
与用勒贝格空间相关规范
与用规范的部分水列夫空间 在哪里是傅里叶变换 所有可测函数的空间吗与规范 当,
本文的主要结果,我们首先给疲软的全球三维的解决方案的定义修改的n - s方程(3)[5]。
定义1。 被称为全球三维修改的n - s方程的弱解(3)与如果以下属性(我) ;(2)对于任何与, (3)能量不平等 适用。
我们的研究结果如下。
定理2。假设是全球三维修改的n - s方程的弱解(3)。此外,如果解决方案的热方程满足 那么弱解(1)具有以下优上下衰变率:
备注3。衰减率是最优的,因为它与热方程一致。发现主要是基于能量方法和辅助一起衰减估计热半群的估计。
3所示。辅助衰变
在本节中,我们将首先研究辅助衰变的弱解三维全球修改的n - s方程(3)。
引理4。假设是全球三维修改的n - s方程的弱解(3);然后一个
引理的证明4。的内积(3),给了
我们使用以下属性:
由于速度场的散度自由。
自
然后右边的不平等(17)可以通过应用后估计持有人不平等
的援助Gagliardo-Nirenberg不平等,
堵塞(21)(20.),一个显示
然后将上述不等式插入(17),一个人
因此我们重写不等式(23),
现在对任何小,存在一个大这样,,
否则,存在一个正的常数这样,
和一起能源的不平等
这意味着
另一方面,从能源的不平等
这与(28)。
因此,我们有
我们现在选择在(24)和应用(30.)产量
和一起能源的不平等
这意味着
4所示。最优的上部和下部衰减估计
4.1。上衰减估计
考虑的积分方程(3) 在哪里
以规范的积分方程和应用热方程的估计,它遵循一起持有人不平等 我们使用属性在哪里
根据引理4,我们让 很明显,
因此我们重写(36), 也就是说, 与
很容易检查 或大,
因此我们获得最优上弱解的衰减估计全球三维n - s方程修改(3),
4.2。低衰减估计
从积分方程(34),我们将调查的误差估计三维之间的解决方案在全球范围内修改的n - s方程(3)和热方程: 为,采用估计热半群和上衰减估计
为类似地, 因此我们的估计和
因此通过三角不等式,一个显示
结合上下衰减估计的弱解的全球三维n - s方程被修改(3)完成定理的证明2。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这项工作是中国的部分支持的NSF。11361026, 11161022, 71161013。