文摘
本文关注了扰动观测器的设计问题,给出了分数阶系统的干扰是级数展开。稳定性的一个特殊的观察者与所选的非线性加权函数和瞬态动力学函数严格为慢变扰动分析。此外,结果还扩展到估计边坡形式扰动和高阶分数阶系统的干扰。验证了该方法的有效性通过数值例子。
1。介绍
近年来,分数阶系统(FOSs)从控制社区引起了相当大的关注,因为许多工程植物和过程不能简明地描述和精确的引入分数阶微积分(1- - - - - -4]。由于巨大的努力投入研究,许多有价值的结果稳定性分析(5- - - - - -7合成)和控制器(8- - - - - -10的自由/开源软件已经在文献中报道。
像整数阶系统,干扰总是存在于自由/开源软件,通常是不可能或实际获得的自由/开源软件的模型,因此干扰或不确定性观测一直在控制领域的主要问题之一。丰富的结果对扰动观测已报告在文献中有不同的方法。例如,所谓的Q-filter方法估计干扰取决于传递函数的反演。许多应用程序基于Q-filter已报告在过程控制领域(11- - - - - -13]。第二类主要是指汉提出的有源干扰抑制控制技术(14]。在这个框架下,扩张状态观测器能有效估计干扰,已被证明在许多领域(15- - - - - -17]。第三类,叫做递归滤波方法,从统计的角度来看18- - - - - -20.]。一些关于扰动观察其他方法已经开发在21- - - - - -25]。
一种特殊的干扰在时间序列扩张被认为是解决摩擦补偿问题在26]。算法是短暂的和有效的。此外,时间序列扩展形式的基本形式是nonstochastic工程扰动。凭直觉,这些有用的方法需要推广到自由/开源软件。也许稳定性很难证明;这样的扰动观察自由/开源软件并没有介绍了到目前为止在文献中最好的作者的知识。提出的方法(26]揭示几个重要方面:线性观察者收敛指数的形式,这意味着它需要遵守错误无穷时间收敛于零;纪念价值可能带来大扰动时过度不连续;与此同时,超调之间的冲突和速度总是存在的;和干扰不够一般,自度是限制为整数。出于上述原因,在本文中,我们关注的一类扰动观测时间序列扩展自由/开源软件。
以下部分致力于一些基本的背景材料和主要问题。讨论更一般的干扰使用一种特殊的非线性函数,并给出了主要结果3。节4,还提供了一些数值例子来说明该方法的有效性和优点。结论给出了部分5。
2。问题制定和预赛
考虑下面的分数阶系统: 系统订单。,,系统状态,控制输入,分别和未知的干扰。和矩阵与是已知的。它假定状态变量是测量和初始状态条件是已知的。
降维系统可以表示为 在哪里是Moore-Penrose伪逆的。
考虑扰动具有以下形式: 在哪里()但未知,是常数()持有。由于的大小的干扰可以分为以下三个类别:(我)慢变扰动;(2)斜坡形成干扰;(3)高阶扰动。
以下卡普托定义(1)采用部分衍生品对于功能: 在分数阶,和γ函数。
所谓的分数阶积分是分数阶微分的双重操作。如果是阶微分的,然后 为了简要描述之后,我们介绍以下定义。
定义1。考虑多项式与相应的订单 并定义相应的特征矩阵作为 在(6)被认为是稳定的,如果所有的特征值在该地区。
3所示。主要结果
3.1。慢变扰动观测器
定理2 (FDOB0)。给定一个常数矩阵,在那里,的扰动观测器 渐近收敛时慢变扰动的非线性加权函数 是选为 在哪里,,,,对于任何和瞬态动力学函数是由
证明。定义观测误差收益率
基于部分分化的莱布尼兹法则
在牛顿二项式广义noninteger订单吗。
用(13)(12)和线性化系统,一个人可以得到
在哪里pseudo-Jacobi矩阵吗与
定义一个新的变量;然后一个和时变系统(14)可以被看作是定常系统(16)区间不确定参数:
从(10),为所有,一个很容易得到
请注意,和,所以以下结果建立:
因此,矩阵不等式总是持有。
卡普托定义的部分衍生品
由于(8),,获得的右边的第一项(16)消失和第二项等于当。不管或,误差动态系统(16)是稳定的,所以(16)对所有容许的不确定性是稳定的和最后的观测误差存在的价值。
的拉普拉斯变换(16)是
在哪里,,拉普拉斯变换的吗,,分别。
根据初始条件,一个人
因此,下列方程是:
定义,,并考虑和都是对角线;得到的解耦误差动力学(19):
慢变的干扰,一个和有限积极常数。然后使用任何的终值定理,一个获得
因此,观测误差渐近稳定和初始误差取决于时间导数的干扰。换句话说,扰动观测器能准确估计稳态扰动。完成证明。
备注3。关于稳定,任何矩阵的特征值都是在该地区可以采用。为了分离误差动力学,我们考虑一个对角矩阵的类和非线性加权函数由而不是,。
备注4。的函数和在(8)并不是唯一的。只考虑稳定性、非线性和线性函数可以采用积极的导数和积极价值任何非线性和线性函数能够安排过渡的动态可以采用。然而,不失一般性,两类非线性函数形式(10)和(11)被认为是。
备注5。考虑,,然后FDOB0将减少线性扰动观测器对一组低通滤波器,。实际上,DOB0 [26)可以被视为一种特定情况下的线性FDOB0。
3.2。边坡形式扰动观测器
定理6 (FDOB1)。给定两个常数矩阵 和,假设()选择的多项式是稳定的;然后的扰动观测器 渐近收敛到斜坡形式扰动时最初的非线性加权函数有相同的形式定理吗2和系数,,是正确选择的根据和。
证明。考虑观测误差与定理2并线性化系统;一个可以
在哪里定义和定理相同吗2和等于当,这是由
因为和是对角矩阵和是一个正定矩阵,解耦误差动力学。因此,问题变成了稳定多项式,正确的选择,和保持多项式总是稳定的对所有容许的不确定性。
集;那么特征方程和可以写成(28)和(29日),分别为:
假设和的根(28);下面的讨论将分为两种情况。
(一)
和
是Nonconjugated根。不失一般性,我们集和与。的特征方程(29日)可以被描述为
计算二次方程的根的产量
的判别。
当,然后而且
因此是稳定的。
当,然后而且
因此是稳定的。
总的来说,当有两个nonconjugated根,只要和是积极的,是稳定的。
(B)
和
是共轭的根。让和与,。的特征方程(25)可以被描述为
计算二次方程的根的产量
的判别。
当,,和是真正的根源。如果,一个人
因此是稳定的。
如果,一个人
因此是不稳定的。
当,,和是共轭的根源。如果,一个人
因此是稳定的。
如果,相当于以下:
因此一个如果的获得,是稳定的。
总结以上观点,如果有两个共轭的根,一个得到以下结果。(我)当,()总是稳定的,。(2)当,两个,和,可以确保()是稳定的。因此,选择正确,错误动态系统(26)是稳定的并且最终观察错误存在的价值。
当利用拉普拉斯变换(26),有
根据定理2人知道,。因此,(40)可以简化为
通过使用任何的终值定理,接下去
当利用拉普拉斯变换(26),有
我们继续向前,。基于的终值定理,一个
因此,对于任何观测误差渐近稳定和收敛为零。综上所述,定理6已经完全证明了。
注7。也考虑到,,,,然后FODB1可以减少线性扰动观测器,实际上由一组低通滤波器,。集进一步;在DOB1 FDOB1结果(26]。
3.3。高阶扰动观测器
根据上述方法的理解,一个推广定理2进一步观察高阶扰动。
定理8 (FDOBp)。给定的常数矩阵和非线性加权函数,,在那里(从稳定多项式)选择,然后的扰动观测器 渐近收敛到高阶扰动当有相同的形式定理吗2和系数,,是正确选择的根据,。
备注9。这个定理可以通过使用广义相似的提到的方法;所以这里省略了证明。
备注10。集,,,;然后FDOBp变得线性扰动观测器,也就是一组低通滤波器,。此外,设置;然后FODBp将减少到高阶(26]。
备注11。在一定条件下,上述定理(定理2,6,8)可以扩展情况。
评论12。该方法有一个伟大的设计自由。合适的参数,FDOBp是一个快速nonovershooting扰动观测器对扰动的自由/开源软件()。此外,那些对小扰动的高阶组件,我们的方法仍然适用。最具潜力的一个应用程序是实现扰动observance-based控制(DOBC),这意味着你可以使用该遵守的方法来估计外部干扰和不确定性,然后通过一个适当的控制达到预期的反应。
4所示。说明性的例子
例1。考虑到系统[27)如下:
在哪里是一个方波,,,满足
我们设计观察者FODB0如下:
在哪里;非线性加权函数显示为定理2。
模拟执行;。结果如图1表明原始分数系统混乱。
设置数值模拟参数作为,,,分别;然后获得一个数据2,3,4,5。
图2显示FDOB0取决于设计的性能参数。作为增加,FDOB0结果快速估计的干扰。图3显示,当大,动态扰动观察人士执行快,这也表明,非线性函数可以进行自由/开源软件的优势。一个可以观察到从图4干扰估计变得越来越快减少。图5表明瞬态动态安排可以避免可能的观测过度和观察时间会随着的增加而增加。
例2。考虑到系统(46锯齿波扰动)基础上,我们设计了扰动观测器FDOB0 FDOB1没有控制,分别。选择的参数,,,FDOB0和和FDOB1,然后得到仿真结果如图6。观察到FDOB1可以估计斜率形式干扰渐近,虽然FDOB0稳态误差。
例3。考虑到相同的系统(46用高阶)干扰,我们设计FDOB0、FDOB1 FDOB2没有控制,分别通过选择参数的设置,,,,这样FDOB0,FDOB1,FDOB2。其他模拟参数选择,,。注意,只是选择了增益参数分配所有波兰人的线性误差动力学。我们可以看到在图7扰动观测器,可以动态地快速通过加入高阶积分。
例4。考虑到相同的系统(46)和一个方形波扰动,我们设计FDOB0和状态反馈控制器,分别如下:
在哪里。
这一仿真与实现,,。相关结果如图8,一个可以观察到的状态反馈控制器基于FDOB0可以稳定原非线性系统。也明确表明FDOB0在观察中扮演好角色,并消除系统干扰。加上FDOB0名义和控制器,可以作为内环路补偿器来控制自由/开源软件的干扰。
5。结论
摘要观察者对于分数阶系统在时间序列方法扩张干扰进行了调查。根据多项式的最大程度的扰动,扰动分为三类。然后,不同的观察者来说已经设计了三个干扰,分别。现有的整数阶结果相比,新提出的方法有更大的设计自由度和设计观察员有更快的收敛速度。数值例子显示的优势和效率提出了设计方法。相信的方法提供了一种新途径来解决这些问题。有趣的未来主题包括下列情形:(我)研究的问题减少噪声影响情况下,测量状态和测量噪声;(2)产出型方法的讨论这个问题时,只有部分州是可测量的;(3)调查的问题考虑到失踪的测量数据。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢副主编和匿名评论者的敏锐和洞察力的评论大大提高了内容和表示。这项工作是由国家自然科学基金支持下批准号61004017。