文摘

这项工作提出了一种新的方法光谱的应用同伦分析方法(虚假)在解决非线性偏微分方程(pde)。提出的方法是基于一个创新的想法寻求解决方案,遵守规则的解决方案定义的表达式的二维拉格朗日插值多项式。扩大虚假的方法的适用性和有效性进行测试的非线性PDE模型不稳定边界层流动的问题造成的冲动拉伸板。进行数值模拟来生成结果的重要流动特性等当地的表面摩擦。目前的结果的准确性进行了验证与现有文献的结果和结果使用Keller-box生成方法。提出研究的初步结果表明,目前的方法更准确,计算效率比传统方法用于解决pd描述nonsimilar边界层流动。

1。介绍

在这项工作中,新方法应用光谱同伦分析方法(假的)是用于解决一个偏微分方程(PDE)模型不稳定边界层流动的问题造成的冲动拉伸板。骗局是一个离散的数字版本的同伦分析方法(火腿),已被广泛应用于解决各种各样的非线性普通和偏微分方程的应用程序在应用数学,物理、非线性力学、金融和工程。火腿和它的应用程序的详细系统的描述中可以找到两本书(和一个巨大的列表引用引用其中)(1,2)是由廖创生的方法。

介绍了虚假的(3,4),它使用传统火腿的原则与切比雪夫谱配置方法,并将其用于解决所谓的高阶变形方程。虚假的优点之一是,它可以适应非常复杂的线性算子算法的解决方案。在最近的一次虚假的应用在解决基于PDE的问题5),发现出最好的结果的线性算子是选为整个线性管理pde的一部分。这是鲜明的对比传统的火腿,只能承认基于简单常微分方程与常系数的线性微分算子pde的解决方案描述类型的非定常边界层问题探讨(见,例如,6- - - - - -17])。在的工作5),常用的基于ODE的线性算子被确认为一个限制,如果控制方程是一个非线性PDE。偏导数线性算子被观察的准确性和收敛速度显著提高虚假的方法解决非线性偏微分方程。然而,也观察到基于PDE的线性算子的使用会导致一个复杂的高阶线性序列变形方程的封闭形式的解决方案是不可能的。因此,切比雪夫谱配置方法(18,19)加上一系列的解决方案由单项基函数()是用于解决高阶变形方程。然而,随着这项工作中指出,这种方法只适用于情况时,变得不那么准确非常接近于1。此外,该方法的5)不能直接用来求解演化方程的形式,在那里解决方案和是一个包含所有的非线性算子的空间衍生品吗。在这个调查中,我们建议使用拉格朗日插值多项式的单项基函数中使用(5pde的解决方案,描述了非定常边界层流动在一个冲动拉伸板。

这项工作的主要目的是介绍一个虚假的扩展应用程序,使用二维拉格朗日插值多项式作为替代方法求解非线性pde。验证的准确性存在虚假的结果,执政党pde也解决了使用Keller-box隐式有限差分方法。拟议的方法是发现是可取的,因为它是准确的,计算高效和容易使用。

2。控制方程

我们考虑一个非定常边界层由一个冲动拉伸板在恒压粘性流动。执政的偏微分方程可以通过使用标准的流函数公式与威廉三世和赖恩表示建议的转换20.]。得到的无量纲控制方程(见[10,21,22详情) 边界条件 质数表示分化对在哪里和是无量纲时间尺度定义为 与一个积极的常数,是时间变量。在边界层流动问题的分析,一个数量的体育兴趣是在这个模型给出的表面摩擦(10,21,22),在无因次形式 在哪里是当地的雷诺数。

控制方程(1)可以被视为一个初始解这是获得方程作为解决方案吗 解决(5)给 在哪里是标准的补充误差函数定义的

3所示。解决方案的方法

解决方案管理方法用于解决非线性PDE (1在以下步骤)是总结。(1)将非线性PDE (1使用拉格朗日多项式插值)序列非线性常微分方程变量。(2)常微分方程的非线性序列分解为一系列线性常微分方程利用同伦分析方法(火腿)的方法。(3)解决由此产生的序列的线性常微分方程利用切比雪夫搭配谱方法。

我们近似的精确解由拉格朗日多项式的形式它篡改选择的点(称为搭配点): 近似的形式 在哪里和拉格朗日多项式基本特征定义为 遵守克罗内克符号方程

方程的解通过替换(9)(1),并要求搭配点方程完全得到满足,。在替换过程中迈出的重要一步是评估的衍生品关于。金融衍生品可以是评估分析如果选择插值点Chebyshev-Gauss-Lobatto点,这样 衍生品的值在Chebyshev-Gauss-Lobatto分计算 在哪里 标准的切比雪夫分化矩阵的条目吗的大小(见,例如,18,19])。

因此,用(9)(1),利用光谱微分矩阵,我们获得 边界条件 方程(14)组成的序列非线性常微分方程,解出受边界条件(15)。我们的话,因为解决方案是已知的确切时间(对应于),我们只需要解决(14),。下一步的解决方案过程的线性化非线性ODE体系(14)和(15)。这是通过使用同伦分析方法(1,2]。

框架的火腿,我们首先选择一个合适的线性算子,建议在[3,4),应采取是整个组件的给定的线性微分方程。因此,我们把控制方程为: 在哪里是一个已知函数,得到的一阶导数(6)和线性和非线性算子定义如下:

下一步的火腿分解包括建设所谓的零阶变形方程,(14),被定义为 边界条件 在哪里是一个嵌入参数,代表一个非零收敛控制辅助参数的初始近似解的吗为。最初的近似是选择的方式 我们的话,因为它提出了在非线性常微分方程中的虚假的应用程序3,4),方便为虚假的算法获得初始猜测方程的解决方案由只考虑给定的非线性方程的线性组件。它可以从零阶变形方程(注意18),增加从0到1,不同初始近似解决方案原始方程(14)。扩大利用泰勒级数约给了 在哪里 因此,自和我们获得 系列(23)收敛当辅助参数是正确的选择。

的函数,得到作为解决高阶变形方程。这些高阶变形微分方程得到的零变形方程(18)次对,然后除以,最后设置。这给了 边界条件 在哪里

初始近似的解决方案和高阶变形方程得到了利用切比雪夫谱配置方法独立应用的是哪一个方向使用Chebyshev-Gauss-Lobatto点定义为 在哪里是一个有限值,选择足够大的近似条件。衍生品与尊重切比雪夫函数微分矩阵的定义而言 在哪里导数的顺序,(),作为一个切比雪夫导数矩阵和向量被定义为 因此用(28)的方程,给出了初始近似(20.)给下面的矩阵系统: 在哪里

求解方程(30.)给出了初始近似值这是计算 获得的近似解,(与discretisation)谱配置方法,方向,应用于(24)。这给了以下矩阵系统: 在哪里和中定义的(31日)和(32),

上述过程可以很容易地扩展到任何非线性偏微分方程系统。在火腿的上下文方法步骤可以简练地提出的火腿术语简单寻找一个解决方案,遵循以下规则解的表达式: 在哪里是一种拉格朗日多项式的篡改独立在指定点的和方向定义为 我们的话,和定义之间的和合适的线性变换是用来改变的原始域和来。

4所示。结果与讨论

在这一部分中,我们将执政的偏微分方程的数值解(1),使用提出的二元光谱同伦分析方法计算。从最初的分析解决方案(对应于),虚假的是用于生成结果的解决方案接近稳态值(对应于)。虚假的近似计算结果的准确性对数值结果证实了通过使用描述的流行Keller-box隐式有限差分法(23]。Keller-box方法是准确,快速,容易计划边界层流动类型讨论工作的问题。Keller-box方法仍然是首选的解决方案方法,大多数研究人员(见,例如,24,25])。Keller-box方法的算法以减少非线性pd控制成一阶方程组离散使用中央差异。非线性代数差分方程是使直线化使用牛顿法和用矩阵向量形式。线性矩阵系统解决了在一个有效的方式使用block-tridiagonal-elimination技术。网格间距的- - -方向是精心挑选,以确保Keller-box计算产生一致的结果控制速度和温度分布的至少收敛的。另一方面,虚假的实现搭配分变量。此外,用来近似边界条件的有限值在无穷集。

使用有限的虚假的系列我们定义在搭配分阶近似和(和), 假设是虚假的近似解获得使用(40)在搭配(网格)点,剩余误差被定义为 在哪里被定义为

获得准确的关键因素和收敛虚假的系列解决方案是选择合适的收敛控制参数。的无穷范数 残差的特定的值被用来确定最优值的让最好的准确性。图1是一个典型的例证残余误差曲线,可用于计算最优值的当。的最优值选择的明确定义的最小剩余曲线。从图可以看出1的最优价值在于范围。我们还注意到残留误差随增加的数量搭配(网格)点()用于插值方向。

图2给出了在整个范围的残留误差使用一个固定的值和不同搭配点在方向。我们的话,类似的曲线获得的固定值,但是,出于演示目的,使用图2。从图可以看出,误差随使用的搭配点数量的增加。另一个有趣的观察从图2是残差似乎几乎统一的大部分地区的领域。这个结果就是当前虚假的方法插值比虚假的版本提出了(5pde的解决方案。我们备注的虚伪,收敛版本中使用(5)被认为时显著降低接近1。它可以清楚地看到从图2目前的方法不遭受同样的限制。

在表1表面摩擦,结果给出不同的值的时间吗。表1也给的数量搭配点()和计算所需的时间获得一个解决方案,符合至少6位小数。虚假的结果匹配Keller-box数值结果的所有值。可以观察到在这张桌子上,融合解决方案达到使用少量的搭配点所选的值。的比较,此外,从计算时间,很明显,提出虚假的方法是计算效率更高的时间和需要的方法给期望的结果。因此,可以推断从表1虚假的是更有效的比Keller-box在计算一个准确的解决方案(1)。值得一提的是,提出的计算速度明显虚假的事实可以解释,与Keller-box和其他数值方法,很少在网格点和方向需要非常准确的结果。

5。结论

本文基于光谱的新方法与二元同伦分析方法介绍了拉格朗日插值多项式为偏微分方程的解决方案。该方法的适用性测试问题的非定常边界层流动造成的冲动地伸展。残差分析是为了进行评估目前的方法的准确性。计算效率的方法与结果演示了通过比较使用Keller-Box隐式有限差分法。发现提出虚假的方法明显比Keller-box方法快得多。数值结果提出研究清楚地展示的潜力提出了二元假pde的模拟方法效率高,准确性。在将来的研究中会很有趣探索该方法的使用在其他类型的非线性pde。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这部分工作是基于研究支持由南非国家研究基金会(批准号85596)。