文摘
严格的概念,准、弱非线性自伴的微分方程是再现。非线性自伴的分类的一类方程,第二和第三阶。
1。介绍
自从Ibragimov [1)提出了一个扩展Noether定理,克服的主要缺陷,因此,拉格朗日的存在,相当数量的研究人员已经把他的思想构造没有经典的拉格朗日方程的守恒定律。
然而,价格申请Ibragimov提出(1)取得,先天的的,外地守恒定律而不是本地的。
在[1,2),介绍了自伴的微分方程的概念,后者接收一个新的名称(3,4),它被称为严格的自伴的方程。最后一个将采用这项工作。虽然这样的概念未必是新的;参见[5),工程(1,2)是一个强烈的研究的起点在这样的想法,导致新发展(3,4,6),并提供当地的守恒定律方程一旦对称性是已知的。
第一个文件处理某种分类(7]。,作者认为是一类四阶发展方程,发现自伴的子类。然后,在[8),同一个类被考虑非线性色散以及扩大源项。
弱self-adjointness类的方程讨论了Gandarias和合作者(9- - - - - -11]。
关于三阶方程,在12),一种KdV家庭被认为是。然而,最后一个引用的时候,一般非线性self-adjointness不是已经介绍的概念。在[13一类三阶色散方程,从准被认为是自伴的的观点。最近,在14进化色散方程的一般家庭是对拟self-adjointness分类。
最近[15),我们认为一个类时间依赖方程5次,我们获得的必要和充分条件确定非线性自伴的子类。非线性方程的self-adjointness基于也可以发现在16- - - - - -18]。
在[19),一般的一阶(1 + 1)PDE是严格和准self-adjointness分类。后,在20.),Riemman的子类,或者非粘性的汉堡方程,从的角度重新考虑非线性self-adjointness。最近,在文献[21),研究了上节课将阻尼和守恒定律建立了。
处理系统和self-adjointness作品的数量减少而那些考虑标量方程。引用其中一些;例如,据我们所知,第一篇论文处理一些self-adjointness和系统pd的(22]。系统的非线性self-adjointness耦合修改KdV方程研究了(23]。进一步的例子可以发现在4]。
在[24一类波动方程的拟self-adjointness被认为是。前,在25),一类波动方程非线性的耗散被认为是自伴的的观点。
绝大多数论文处理(1 + 1)方程。然而,一些结果考虑pd与更多的独立变量被传达文学。在[26- - - - - -28),扩散方程与不止一个空间维度考虑。一个泛化的Kuramoto-Sivashinsky方程讨论了[29日]。在[30.]KdV方程的延伸,所谓Zakharov-Kuznetsov方程,进行了研究。所有这些文件处理非线性self-adjointness。
自伴的微分方程的概念将会更好的讨论部分2。事实上,这是一个三重目的:第一是提供一个审查处理守恒定律和使用在一些作品中介绍的基本概念(1- - - - - -4,6]。第二个是探索严格的概念,准,虚弱,和非线性自伴的微分方程,我们可以检查2。虽然这些概念通常,事实上,有力地用于构建当地的守恒定律,这些概念有兴趣。最后,它是常见的方程在某些属性进行分类;见,例如,(31日,32]。然后,我们认为在这工作,在部分4非线性方程的自伴的分类
这样的方程包括许多重要的数学物理方程。引用几个数量的他们,我们提到KdV,汉堡,Burgers-KdV, Riemman方程。多方程属于这个类将被认为是在接下来的部分。
此外,这里的自伴的分类进行了将用于(33)为当地建设没有拉格朗日方程的守恒定律。
2。预赛
之前的程序,方便留下清楚的是,在本文我们只考虑标量微分方程。在当前部分,除非是明确宣布,是一个独立的变量,而是一种依赖。的一阶导数用平等的惯例是用于指高阶导数;例如,方法的集合th的衍生品。
我们假设重复指数的总和。微分函数我们指的是在本地解析函数的有限数量的变量,和衍生品。最高阶衍生品出现的微分函数被调用的顺序。向量空间的有限阶微分函数用。
现在让我们显示算法构造的守恒定律。给定一个PDE
步骤1。我们构建正式拉格朗日。
步骤2。从欧拉方程,获得以下系统: 第二个方程的系统(3)- (4)伴随方程。
步骤3。这样的系统是守恒的向量,在那里 和。
当然,很明显,组件(5)明确依赖于新的变量,这不是一个“自然”变量从原始方程。出于这个原因,提供的守恒定律的发展(1),先天的,外地的守恒定律,因此,守恒的向量是外地的。
开始时曾指出,点与守恒定律将夺回不久,在33]。然而,对于那些更焦虑,我们邀请他们查阅书籍34- - - - - -37)之间的讨论对称性和守恒定律。我们还引导有兴趣的读者38- - - - - -42为讨论的守恒定律)。
问题是:可以构造,从外地守恒定律(5),当地的吗?这一点是与:可以代替非局部函数一个表达式的不同,最终的衍生品吗?这导致我们论文的主题:“self-adjointness”,这只会被重提。我们首先从下面开始。
定义1。方程(3)据说是严格自伴的如果从伴随方程获得方程(4)替换是相同的与原方程(3);也就是说, 对于一些。
这个概念被首次引入[1,2]自伴的微分方程。最近,在3,4),Ibragimov自己改变了名称,他将这一概念称为严格的自伴的微分方程。然后我们使用Ibragimov提出的最后一个定义。
现在欢迎一些示例。我们从下面开始。
例2。考虑Riemman或非粘性的汉堡方程: 我们假设。在这种情况下,伴随方程(7)是 显然,设置到(8),(7)。因此,Riemman方程严格自伴的。进一步的细节,请参阅[19,20.]。
例3。现在考虑KdV方程: 它的伴随方程是 然后,设置到(10),一个获得(9)。因此,KdV方程严格自伴的。进一步的细节,请参阅[1,16]。
例4。考虑Harry-Dym方程: 它的伴随方程是由(14,15,43] 方程(12)不是严格自伴的,因为它可以很容易地直接从检查(12)设置或咨询43]。
在[43)提出了准自伴的微分方程的概念,这是回忆在下面。
定义5。方程(3)据说是准自伴的如果方程从伴随方程(4)替换,在一定这样与原方程是相同的(3);也就是说, 对于一些。
最初,准self-adjointness的概念是不同的。事实上,在首次制定(43),要求功能满足条件。然而,这样的条件是放松4),这里我们采用最后Ibragimov的配方。
前面我们分析例子定义5考虑在内。
例6。自(7)严格自伴的,因此,它也是准自伴的。然而,让是一个光滑函数等。替换到左边(8)获得以下: 这表明(7)拟自伴的承认一个任意非线性替换。进一步的细节和讨论,请参阅[19,20.]。
例7。考虑KdV方程(9再一次)。替换到(10),我们得到,在那里和任意常数。这让我们两个不同的替换:和。因此,KdV方程是拟自伴的。进一步的细节,请参阅[4]。
示例8。考虑Harry-Dym方程(11)。正如已经指出的那样,它不是严格自伴的。然而,在(43]Ibragimov表明,伴随方程(11)相当于原来如果替换如下: 在[14),托里西菜馆和Tracina发现了新的替换: 因此,(11)拟自伴的。
我们的下一个定义在[由Gandarias制定6]。
定义9。方程(3)据说是弱自伴的如果方程从伴随方程(4)替换对于一个特定的函数这样和,对于一些与原方程是相同的(3);也就是说, 对于一些。
虽然严格self-adjointness意味着准self-adjointness,弱self-adjointness并不意味着既不严格也准self-adjointness。事实上,定义9比这两个定义吗1和5。我们现在说明这个事实。
示例10。再次考虑(7)。尽管很明显,这样的方程是严格和准自伴的,无论是也不替换令人满意的定义9。然而,让是一个光滑的实值函数和定义。然后,用这到(10),我们到达 因此,如果,这意味着是替代令人满意的定义9。
例11。KdV方程(9)是自伴的疲软。事实上,一个可以替换和容易检查(10)相当于(9用这个替换。进一步的细节,请参阅[4,16]。
示例12。考虑Harry-Dym方程,它现在清楚的是,它没有严格的自伴的,但它是准自伴的。在[15),我们证明了伴随方程(12)(11)也相当于本身通过考虑替换:
而替换(15)和(16)表明,(11)拟自伴的,替换(19)就足以证明self-adjointness疲软。另一方面,无论是(15)和(16)是替换,满足所需的定义是什么9。
最后,我们到达了最先进的在这一领域:非线性self-adjointness。
定义13。方程(3)据说是非线性自伴的如果从伴随方程获得方程(4)替换与一个特定的函数是相同的与原方程(3);也就是说,
对于一些。
定义13概括所有的之前的。替换需要定义13推广,使函数的导数的依赖吗,也就是说,一个替换的类型。在最后一种情况下,条件(20.)所取代
在哪里
是全导数算子。
例14。很明显,讨论的所有以前的方程为非线性self-adjointness的例子。现在让我们给一个不同的例子,由于Ibragimov [4),显式依赖微分变量。
考虑方程
它的伴随方程正解
考虑微分函数。然后,替换成左侧(24),获得以下:
最后,我们要引导读者感兴趣(4),这是真正的在这个问题上和完整的参考。因此,它对每个人来说都是一个必须阅读这一领域感兴趣。
3所示。非线性自伴的分类(1)
在这里,我们遵循的步骤1和2算法的提出的开头部分2。我们开始获得正式的拉格朗日函数,在这种情况下
从最简单的一步是克服,我们继续步骤2。现在考虑欧拉算子,给出的正式的总结, 考虑到特定的拉格朗日(26),我们的欧拉运营商可以简化
然后,我们有
为了避免累人的符号,我们省略从现在依赖参与计算的功能。因此,表达式是由
替换到(30.),我们得到
自组是线性无关的,我们获得以下方程组:
方程(38)和(37暗示,分别36)和(34)。因此,我们到达以下系统:
4所示。非线性自伴的方程类型的例子(1)
在本节中,我们提出两个例子的非线性自伴的方程类型(1)。我们考虑一些特定情况下方程的研究(31日]。首先,让我们考虑方程 在哪里和非零的功能,。从(39),我们得到
从(41),因为非零,我们得出这样的结论:该函数是对于某些功能和。用的表达到(42),我们有
自组是线性无关的,我们有以下方程组:
方程(48)意味着。然后,从(46),我们得出这样的结论: 在哪里,和任意常数。因此,我们获得
每当下,改变,得出结论著名结果KdV方程;参见[4,16]。
现在考虑的情况。然后我们必须考虑三个子用例:和,和,。
情况下 和 。从(44)- (46),我们得出这样的结论:,,然后选择;
情况下 和 。从(45),我们很容易到达。然后,替换 在哪里是一个解决方案(46)。第三子用例特殊情况下的最后一个吗到(52)。
第二个例子,考虑方程 与。在这种情况下,系统(39)读
从(54),我们再次获得 替换函数表达(55)和分组的和我们有
该系统 遵循从(57)。方程(58)意味着。从(59)和(60),我们得出这样的结论: 与。
5。结论
在本文中,我们讨论了一些想法介绍(1,3,4,6,43]。这些想法很近,到目前为止取得的应用主要局限于当地的守恒定律中建议使用方法(1]。然而,一些最近的事实证明,有更多self-adjointness比。
事实上,在[4),Ibragimov开始考虑非线性self-adjointness近似的概念。最近[44]探索更深层次的这些概念。在[45)近似守恒定律建立了非线性过滤方程。
如今,分数微积分似乎是一个新的数学分支。在[46)使用方法提出了分数的守恒定律(1)了,这意味着自伴的微分方程的概念必须考虑的分数微分方程。
最后,我们想说,最近一些可能的可积方程之间的联系,严格self-adjointness和尺度不变性在[已报告47),虽然这关系还不清楚。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢FAPESP(批准号必须占州政府2011/19089-6和奖学金。2011/23538-0)对金融支持。伊戈尔·雷特Freire也感谢CNPq金融支持(批准号308941/2013-6)。