文摘

我们提出一种进化网络显示树状结构。的模型是一个组合优惠附件模型和统一模型。我们表明,比例度序列 遵循幂律指数分布,和其他形式的关系 和参数 。

1。介绍

在最近的十年里,有很多兴趣理解真正的大规模复杂网络的特性描述各种自然和社会系统。这种网络的例子出现在通信、生物学、社会科学,经济学等等1]。追求这样的理解,数学家和物理学家通常使用随机图模型所有这些真实的网络。调查各种复杂网络的度分布一直是主要的问题,因为它描述复杂网络的基本拓扑属性显示在网络控制重要性,评估,和传感器(2- - - - - -8]。介绍了几种模型来解释属性。Bollobas [9提出了一个模型 顶点, 边缘。在这个模型中,度分布为泊松分布。之后,巴斯和艾伯特(10)提出了以下模型:在每个时间步,添加一个新的顶点 和一个固定的号码 来自边缘的 和指向顶点随机概率正比于他们的学位。基于模拟和启发式近似,他们像预测程度分布 对所有 。结果证实了巴斯et al。11,12]。以发电法任意指数,Dorogovtsev et al。13)和Drine et al。14]介绍了上述模型的自然推广后:目的地的 新的边缘添加在每个时间步长选择的概率与加上最初的吸引力程度成正比 ;他们给了一个不严谨论证程度分布 表现得像 对于大型 。

在一些真正的网络中,实验表明,分布服从幂律和指数。来解释这一现象,我们提出一个模型如下:从一个顶点,在每个时间步,添加一个新的顶点,与一个现有的顶点,也就是选择根据以下规则:在时间 ,在那里 是整数,我们选择一个现有的顶点的概率成正比的程度;也就是说,我们有概率 ,在那里 顶点的度选择和吗 是完全程度的顶点;在另一个时间步,我们选择一个现有的顶点以同样的概率。相关模型还提出Krapivsky和红肿15和李16)来描述组织不断增长的网络。在本文中,我们将重点发展网络的分布和给定的顶点度的分布将被视为部分2。节3,我们将考虑渐近度分布。

2。顶点的度

让 表示顶点的数量与程度 在时间 。我们将考虑 在这一节和这个案子 将被视为下一节。作为 ,我们得到以下的结果。

引理1。在不断变化的网络,满足的期望程度的数量1

证明。在此之后, 渐近等价表示为 。从网络形成的方式,我们可以看到, 的顶点数度1不会改变如果我们附上新的顶点 一个顶点与学位1和增加1如果我们附上 顶点的度大于1后加入了顶点 。假设 是多个 ,也就是说, ,在那里 是整数,以期望的 ,我们获得 第一个方程显示,当我们添加一个新的顶点和链接优惠附件的一个现有的顶点,顶点的数量增加1,第二个方程是统一的附件。继续迭代和注意到边界条件 ,我们有 考虑到这个词 我们有 我们获得 当 不是的倍数 ,假设 ,在那里 是一个整数;我们还获得 当 足够大,我们可以看到了吗 因此,我们有

现在我们讨论学位2网络的数量;我们有以下。

引理2。为 ,

证明。我们证明的情况 是一个的倍数 并承担 ,在那里 是一个整数;考虑的期望 ,我们有 注意到边界条件 和引理1,我们有 的估计 事实上, 我们获得 这个案子 ,这不是一个的倍数 是一样的引理1,只是有点乏味。

3所示。渐近程度分布的网络

让 表示顶点与学位的比例 在时间 。考虑的期望 ,我们有下面的定理。

定理3。对于任意的 和 的期望程度的数量 满足

证明。这个案子 仅仅是前题的结果吗1和2。假设的结果是正确的 ;也就是说, 我们将证明结果是正确的 。我们只是证明如此 是一个的倍数 ;也就是说, ,在那里 是整数。从网络构建,我们有 继续迭代和注意到边界条件 ,我们获得 注意到这一事实 我们获得 结果是正确的 。

从定理3,我们可以看到这一点 存在;我们表示了 。现在我们考虑的关系 和 ;我们介绍下面的引理。

引理4。存在一个常数 这样,对于任意的 ,

证明。让 表示 - - - - - -algbra。为 ,我们定义 大厦物业的条件期望和这一事实 - - - - - -algbra 可以推导出 ,我们获得的 , 注意到这一事实 我们有 作为一个鞅序列。根据的定义 - - - - - -algbra,我们知道 没有网络和信息 整个信息,所以我们有什么 因此,我们有
现在我们证明存在一个常数 ,这样 。我们将用归纳法证明的结果。的情况下 ,我们有
继续迭代和注意到的事实 ,因为 ,我们获得 很明显, 所以我们有 假设的结果是正确的 ;也就是说,存在一个常数 ,这样 为 的定义 ,我们有 继续迭代和使用的假设 ,我们获得 注意到这一事实 和 我们获得 我们只是让 和结果 是证明。通过Asume-Hoeffding不等式,我们有以下任意 :

定理5。对于一个固定的 ,一个

证明。Borel-Cantelli引理,我们需要证明以下任意 : 我们有 注意到 并利用引理4,我们获得的存在 ,这样

注6。因此,我们可以看到分布 遵循下面的规则。
当 , 度分布服从幂律;当 , 度分布服从指数分布;否则, 。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

Zhimin李部分由中国国家自然科学基金(71171003和71171003),安徽省自然科学基金(10040606 q03和10040606 qa04号),安徽省和重点大学科学研究项目(KJ2013A044)。