文摘
本文是关于解决方案的最优收敛率的单极非牛顿流。利用能量方法,摄动系统的摄动弱解渐近收敛于原系统的解决方案和最优利率。
1。介绍
在本文中,我们考虑单极非牛顿流是由以下系统: 在这里和表示未知的流体的速度矢量和压力,给定的初始速度和吗是外部力量。是应力张量中指定以下形式: 张量对称变形速度与 在哪里,粘滞系数。
系统(1)首次提出了Ladyzhenskaya [1],描述粘性非牛顿流如熔融塑料、染料、粘合剂、油漆、及油脂。这些流体的本构是非线性和不的斯托克斯定律。应该提到这里的流体被认为是单极的因为只有速度场的一阶导数。当,该系统成为经典的n - s方程(2]。
由于数学和物理的重要性,和大时间行为适定性问题的不可压缩流体已经吸引了越来越多的关注3- - - - - -6]。我们将一些经典结果navier - stokes方程(3]。的粘性非牛顿流(1),也有大量的文献和渐近行为(适定性问题7- - - - - -10]。特别是,Pokory [11)和英国宇航系统公司(12)最近研究了柯西问题的存在性和唯一性的系统(1)。当通过开发傅里叶分解方法,董和李13]探索最优代数衰减率作为 应该提到的时间衰减属性弱非牛顿流体的解决方案(1)本质上表明,平凡解是稳定的。需要考虑非牛顿流体的非平凡解的稳定性(1)与非零和nondecay外力。为此,我们考虑摄动非牛顿流体 在哪里是初始扰动。很容易检查,如果外力满足非牛顿流体(1)重要的和静止的解决方案不是一个解决方案(1)。在二维情况下,董和陈14)被认为是稳定问题 弱解的非牛顿流体(1在任何扰动)。应该提到越南盾和陈14)不能研究最优收敛率。一个也可能是指一些有趣的经典的n - s方程稳定性结果。当,(),足够小;da Veiga和西奇15证明有一个独特的全球解决方案摄动的n - s方程满意 的弱解最初的n - s方程的亚临界类 当庞塞et al。16进一步考虑弱解最初的n - s方程在临界空间 和获得的,如果 足够小的常数,那是一个独特的解决方案摄动的n - s方程满意 在哪里是一个常数满足。也可以参考一些相关结果牛顿和非牛顿粘性流动(17,18]。
在本文中,我们将考虑弱解的稳定性三维非牛顿流体(1),并将获得最优收敛率。更准确地说,我们将显示每个摄动解非牛顿流体(2)渐近收敛于非牛顿流体(1),
2。预赛和主要结果
在这篇文章中,代表一个通用正不断从线间可能会有所不同。与表示一般的勒贝格空间(19所有的积分功能相关的规范 我们表示傅里叶变换或作为
我们记得以下Gronwall不平等将用于以下参数。
引理1 (Gronwall不等式(2])。让,,非负连续函数,满足如下不等式: 在哪里。然后
定义2。假设,,,被称为稀溶液的非牛顿流体(1如果下列条件成立)。(我) 和对所有。(2) 是弱连续的来。(3) 满足(1在疲软的感觉);也就是说, (iv) 满足能量的不平等;对所有
下面的弱解的存在性和规律性不可压缩非牛顿流体(1由于Pokory(的工作)11]。
引理3(弱解的存在和规律)。假设,,。那么存在一个不可压缩非牛顿液体的稀溶液(1)。此外,解决方案是定期;也就是说,
我们的结果现在阅读。
定理4。假设和是一个不可压缩非牛顿液体的稀溶液(1初始数据)和有限的能量和nondecay外力。然后对于任何初始扰动摄动非牛顿流体(2)有一个弱的解决方案的渐近收敛最优收敛速度:
备注5。相比之下,一些经典的n - s方程的稳定性结果如da Veiga和西奇15)和庞塞et al。16),我们没有任何小假设初始扰动。此外,我们的研究结果还改善之前由陈董和结果(17]因为我们不仅考虑这个问题在三维情况下的二维情况下,还推导出最优收敛率(20.)。
注6。定理的证明4主要是基于傅里叶分解技术。非线性系统本质上是一个耗散系统可以允许我们将频域划分为两个时间子域;子域名的空间产生一个一阶微分不等式规范的傅里叶变换的弱不可压缩非牛顿液体的解决方案(1)。相比之下,陈董的推导和(17),非线性项的估计可以处理在一个满意的形式,对于三维的情况;然而,非线性项的界限变得困难。为了克服,我们充分利用弱的常规性能解决方案和能源的方法。
3所示。定理的证明4
根据定理的条件4和非牛顿流体的存在结果(1)获得的11),弱解的存在性的扰动摄动不可压缩非牛顿流体(5()可以通过并行方法11]。因此,剩下的就是证明最优收敛率(20.)。
让和弱解的原始非牛顿流体(1)和摄动非牛顿流体(5),分别。我们表示和两者的区别(弱解1)和(2);然后满足以下系统弱意义上:
为了研究最优收敛率,我们现在需要一些先验估计的非线性系统(21)。
引理7。在同等条件下的定理4,那么差满足如下不等式:
引理的证明7。我们第一次正式获得不平等(22)。的严格推导了考虑以下近似系统的近似的解决方案:
这里的延迟修改的被定义为
在哪里是一个积极的修饰符。函数的零扩展吗最初的定义是什么。类似的估计(22)的近似解,我们只需要的极限。因此我们现在处理解决在以下参数仅为弱解直接。
的傅里叶变换(23),因此,通过求解一个普通方程
在哪里
现在我们计算,,一个接一个。为,应用速度场的散度自由属性和持有人不平等,它遵循
我们使用的界限在哪里,,;也就是说,
为,一个显示
为了估计,我们两边散度算子(21);由此可见,
现在的估计和,可以被估计为
因此堵塞估计(27)- (31日),,到(26),然后(25),我们可能获得
多亏了
为
和下面的事实由于能量的不平等
因此,(32)是写成
完成这个引理的证明。
现在我们都在积极的证明(20.)。以内积(21),,接下去 我们使用了以下事实:
应用持有人不平等,Gagliar-Nirenberg不平等,和年轻的不平等了 从我们重写(37),
考虑到帕不平等 然后两边乘以 让 然后我们把域第二积分(37)和;也就是说, 积分时间从来给了
利用引理7后,我们直接计算 我们使用以下哪热方程的估计: 与。
自 然后通过插值的不平等 因此(48)意味着 完成定理的证明4。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这部分资金支持的工作人员培训昆明科技大学(没有。KKSY201207019)。