混合隐式算法的强收敛性s-非扩张和强伪压缩映射的迭代格式

摘要

允许是实Banach空间的非空闭凸子集允许不要扩张，让我们  Lipschitz强伪压缩映射是这样的和总的来说允许成为序列满意（一）(ii)专横允许是由迭代定义的序列然后是序列强收敛于公共不动点属于和.

1.导言和序言

允许做一个真正的Banach空间，让是的非空凸子集允许表示来自的规范化对偶映射到定义为 哪里表示的对偶空间和表示广义对偶对。我们将用.

允许这是一个映射。

定义1。映射据说是利普希茨如果存在以致 总的来说.

定义2。映射据说是非扩张如果 总的来说.

定义3。映射据说是假收缩如果 总的来说和.

备注4。由于加藤事件的结果[1.]，这是由不平等性得出的是伪收缩的当且仅当存在以致 总的来说.

定义5。映射据说是强伪收缩如果存在一个常数以致 总的来说和.或同等（见[2.])一个人必须为 总的来说.

对于非空凸子集赋范空间的性质,这是一个映射。

(我)序列，定义为，用于任意, 哪里和序列在吗，称为石川迭代过程[3.].

如果对于，则Ishikawa迭代格式成为Mann迭代过程[4.].

(s)序列，定义为，用于任意, 哪里是一个序列吗，被称为-迭代过程[5.,6.].

在过去几年左右的时间里，已经发表了许多关于使用Ishikawa迭代方案迭代逼近Lipschitz强伪压缩映射不动点的论文（参见，例如[3.]).仅在Hilbert空间和Lipschitz映射中已知的结果已扩展到更一般的Banach空间（参见，例如[7.–13]以及其中引用的参考文献）。

1974年，石川[3.]证明了以下结果。

定理6。允许是Hilbert空间的紧凸子集让是Lipschitz伪压缩映射。对于任意允许是由迭代定义的序列 哪里和序列令人满意吗(一) ;(ii) ;(iii) .
然后是序列强收敛于.

在[7.]Chidume扩展了Schu的结果[12]从Hilbert空间到更一般的实Banach空间，并逼近伪压缩映射的不动点。还有，在[14]，他研究了强伪压缩映象不动点的逼近。

在[15]周和贾回答了Chidume提出的问题[14]并证明了以下几点。

如果是具有一致凸对偶的实Banach空间,是的非空有界闭凸子集和是一个连续的强伪压缩映射，则Ishikawa迭代格式强收敛到该映射的唯一不动点.

在[16]刘等人介绍了以下情况。

备注7。允许有两个映射。映射和据说能满足条件 如果 总的来说.

2012年，Kang等人[17]建立了隐函数的强收敛性-Hilbert空间中Lipschitz半压缩映射的迭代过程。

定理8。允许是实Hilbert空间的紧凸子集让是Lipschitz半收缩映射吗 总的来说允许成为序列令人满意的(一) ;(ii) .
专横允许是由迭代定义的序列 然后是序列强收敛于不动点属于.

2013年，Kang等人[18]证明了以下结果。

定理9。允许是实Banach空间的非空闭凸子集允许是一个非扩张映射，让是Lipschitz强伪压缩映射，这样和 总的来说允许成为序列令人满意的(一) ;(ii) .
专横允许是由迭代定义的序列 然后是序列强收敛于公共不动点属于和.

注意隐式迭代方案的重要性（参见[17])本文建立了混合隐式方程的强收敛定理-实Banach空间中与非扩张和Lipschitz强伪压缩映射相关的迭代格式。

2.主要结果

我们需要以下结果。

引理10（见[19,20]).允许是规范化的对偶映射。对任何人来说，有

引理11（见[13]).允许和非负序列满足吗 哪里,和然后.

以下是我们的主要结果。

定理12。允许是实Banach空间的非空闭凸子集, 允许是一个非扩张映射，让是Lipschitz强伪压缩映射，这样和条件 .
允许成为序列令人满意的(一) ;(ii) .
专横允许是由迭代定义的序列 然后是序列强收敛于公共不动点属于和.

证据对于强伪压缩映象，不动点的存在是由Deimling得到的[21]。如图所示[15]强伪收缩的不动点集是单态的。
由（ii）开始，自存在以致, 哪里和是一个Lipschitz常数考虑 哪里 因此(18)及(19)，我们获得 替代(20)在(17)和使用(16)，我们得到 因此，从上面的讨论中，我们可以得出以下结论：是有界的。自从是李普希兹，所以也有界。让.此外，根据第（ii）款，我们有 像，这意味着是有界的，所以让我们进一步的 这意味着是有界的，所以也有界。
设置
标志明显地.
现在，从(15)，全部，我们获得 通过引理10, 这意味着 因为(16)，我们有和。此外，藉（ii）及(19),像.
因此(25)及(27)给予
总的来说放 然后根据引理11，我们从(28)那 这就完成了证明。

推论13。允许是实Hilbert空间的非空闭凸子集, 允许是一个非扩张映射，让是Lipschitz强伪压缩映射，这样和条件 允许成为序列定理中满足条件（i）和（ii）12.
专横允许是由迭代定义的序列(15).然后是顺序强收敛于公共不动点属于和.

例14。作为一种特殊情况，我们可以选择，例如，.

评论15。 条件 这是由Kang等人提出的[17]和条件 具有变成条件 .
（2） 状况 这是由Kang等人提出的[18]和条件 具有变成条件 .

利益冲突

作者声明，本论文的发表不存在利益冲突。

致谢

作者要感谢编辑和所有推荐人为改进论文提出的宝贵意见和建议。这项研究得到了东阿大学研究基金的支持。

工具书类

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