AAA 抽象和应用分析 1687 - 0409 1085 - 3375 Hindawi出版公司 10.1155 / 2014/735673 735673年 研究文章 有强烈的混合隐式收敛 年代迭代计划的扩张和强烈Pseudocontractive映射 http://orcid.org/0000 - 0002 - 5294 - 4447 康 Shin敏 1 拉菲克 Arif 2 http://orcid.org/0000 - 0002 - 4893 - 0616 阿里 费萨尔 3 http://orcid.org/0000 - 0002 - 5028 - 0640 官塘联 小秋儿 4 拉蒂夫 阿卜杜勒 1<一个ddr-line> 数学系和rin 国立大学 Jinju 660 - 701 韩国 gnu.ac.kr 2<一个ddr-line> 数学系 拉合尔大学领导 拉合尔54810 巴基斯坦 leads.edu.pk 3<一个ddr-line> 先进的研究中心在纯粹和应用数学 Bahauddin扎卡里亚正在搜索大学 木尔坦60800 巴基斯坦 bzu.edu.pk 4<一个ddr-line> 数学系 东亚大学 釜山604 - 714 韩国 donga.ac.kr 2014年 7 7 2014年 2014年 07年 04 2014年 13 06 2014年 7 7 2014年 2014年 版权©2014 Shin分钟康等。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

让 K 是一个非空的一个真实的巴拿赫空间的闭凸子集 E ,让 年代 : K → K 扩张,让 T : K → K 李普希茨强烈pseudocontractive映射等 p ∈ F 年代 ∩ F T = x ∈ K : 年代 x = T x = x 和 x - - - - - - 年代 y ≤ 年代 x - - - - - - 年代 y 和 x - - - - - - T y ≤ T x - - - - - - T y 对所有 x , y ∈ K 。让 β n 是一个序列 0 , 1 令人满意的(我) ∑ n = 1 ∞ β n = ∞ ;(2) lim n → ∞ ⁡ β n = 0 。 对于任意的 x 0 ∈ K ,让 x n 是一个定义的迭代序列 x n = 年代 y n , y n = 1 - - - - - - β n x n - - - - - - 1 + β n T x n , n ≥ 1 。 然后序列 x n 强烈收敛到一个公共不动点 p 的 年代 和 T 。

 1。介绍和预赛

让 E 是一个真实的巴拿赫空间,让 K 是一个非空的凸子集 E 。让 J 表示规范化对偶映射 E 来 2 E * 定义为 (1) J ( x ) = { f * ∈ E * : 〈 x , f * 〉 = ∥ x ∥ 2 , ∥ f * ∥ = ∥ x ∥ } , x ∈ E , 在哪里 E * 表示的对偶空间 E 和 〈 · , · 〉 表示广义对偶配对。我们将表示二元性单值映射 j 。

让 T : K → K 是一个映射。

定义1。

映射 T 据说是 Lipschitzian如果存在 l > 1 这样 (2) ∥ T x - - - - - - T y ∥ ≤ l ∥ x - - - - - - y ∥ 对所有 x , y ∈ K 。

 定义2。

映射 T 据说是 扩张如果 (3) ∥ T x - - - - - - T y ∥ ≤ ∥ x - - - - - - y ∥ 对所有 x , y ∈ K 。

 定义3。

映射 T 据说是 pseudocontractive如果 (4) ∥ x - - - - - - y ∥ ≤ ∥ x - - - - - - y + t ( ( 我 - - - - - - T ) x - - - - - - ( 我 - - - - - - T ) y ) ∥ 对所有 x , y ∈ K 和 t > 0 。

 备注4。

由于加藤的结果( 1),它遵循的不平等 T 是pseudocontractive当且仅当存在吗 j ( x - - - - - - y ) ∈ J ( x - - - - - - y ) 这样 (5) 〈 T x - - - - - - T y , j ( x - - - - - - y ) 〉 ≤ ∥ x - - - - - - y ∥ 2 对所有 x , y ∈ K 。

 定义5。

映射 T 据说是 强烈pseudocontractive如果存在一个常数 t > 1 这样 (6) ∥ x - - - - - - y ∥ ≤ ∥ ( 1 + r ) ( x - - - - - - y ) - - - - - - r t ( T x - - - - - - T y ) ∥ 对所有 x , y ∈ K 和 r > 0 。或者说(见[ 2)人 0 < k < 1 (7) 〈 T x - - - - - - T y , j ( x - - - - - - y ) 〉 ≤ k ∥ x - - - - - - y ∥ 2 对所有 x , y ∈ K 。

对于一个非空的凸子集 K 赋范空间 E , T : K → K 是一个映射。

( 我)序列 { x n } ,定义为任意的 x 1 ∈ K , (8) x n + 1 = ( 1 - - - - - - 一个 n ) x n + 一个 n T y n , y n = ( 1 - - - - - - b n ) x n + b n T x n , n ≥ 1 , 在哪里 { 一个 n } 和 { b n } 序列在 ( 0 1 ] ,被称为石川迭代过程 3]。

如果 b n = 0 为 n ≥ 1 ,石川迭代计划成为曼迭代过程( 4]。

( 年代)序列 { x n } ,定义为任意的 x 1 ∈ K , (9) x n + 1 = T y n , y n = ( 1 - - - - - - b n ) x n + b n T x n , n ≥ 1 , 在哪里 { b n } 是一个序列 ( 0 1 ] ,被称为 年代 迭代过程( 5, 6]。

在过去的几年里,许多论文已经发表在不动点的迭代逼近李普希茨强烈pseudocontractive映射使用石川迭代计划(见,例如,( 3])。结果已经知道只有在希尔伯特空间,只有李普希茨映射已经扩展到更一般的巴拿赫空间(见,例如, 7- - - - - - 13)和引用文献在其中)。

1974年年年,石川[ 3]证明了下面的结果。

定理6。

让 K 是一个紧凑的希尔伯特空间的凸子集 H ,让 T : K → K 是一个Lipschitzian pseudocontractive映射。对于任意的 x 1 ∈ K ,让 { x n } 是一个迭代序列定义 (10) x n + 1 = ( 1 - - - - - - α n ) x n + α n T y n , y n = ( 1 - - - - - - β n ) x n + β n T x n , n ≥ 1 , 在哪里 { α n } 和 { β n } 序列是令人满意的

0 ≤ α n ≤ β n < 1 ;

lim ⁡ n → ∞ β n = 0 ;

∑ n = 1 ∞ α n β n = ∞ 。

然后序列 { x n } 强烈收敛到一个固定的点 T 。

在[ 7],Chidume扩展Schu的结果[ 12从希尔伯特空间更一般的类的巴拿赫空间和近似pseudocontractive映射的不动点。此外,在 14),他调查了近似强pseudocontractive映射的不动点。

在[ 15),周和贾给Chidume提出的问题的回答 14并证明了以下。

如果 X 是一个真正的巴拿赫空间一致凸的双 X * , K 是一个非空的有界闭凸子集的 X , T : K → K 是一个持续的强烈pseudocontractive映射,那么石川收敛迭代方案强烈的独特定点 T 。

在[ 16),刘等人介绍了以下条件。

注7。

让 年代 , T : K → K 是两个映射。的映射 年代 和 T 据说满足 条件 ( C 1 ) 如果 ( C 1 ) ∥ x - - - - - - T y ∥ ≤ ∥ 年代 x - - - - - - T y ∥ 对所有 x , y ∈ K 。

2012年,康et al。 17隐式]建立了强大的融合 年代 迭代过程与Lipschitzian hemicontractive希尔伯特空间的映射。

定理8。

让 K 是一个真正的希尔伯特空间的紧凑凸子集 H ,让 T : K → K 是一个Lipschitzian hemicontractive映射满足 ( C 2 ) ∥ x - - - - - - T y ∥ ≤ ∥ T x - - - - - - T y ∥ 对所有 x , y ∈ K 。让 { β n } 是一个序列 ( 0 1 ] 令人满意的

∑ n = 1 ∞ β n = ∞ ;

∑ n = 1 ∞ β n 2 < ∞ 。

对于任意的 x 0 ∈ K ,让 { x n } 是一个定义的迭代序列 (11) x n = T y n , y n = ( 1 - - - - - - β n ) x n - - - - - - 1 + β n T x n , n ≥ 1 。 然后序列 { x n } 强烈收敛的不动点 x * 的 T 。

2013年,康et al。 18]证明了下面的结果。

定理9。

让 K 是一个非空的一个真实的巴拿赫空间的闭凸子集 E ,让 年代 : K → K 是一个扩张映射,让 T : K → K 李普希茨强烈pseudocontractive映射等 p ∈ F ( 年代 ) ∩ F ( T ) = { x ∈ K : 年代 x = T x = x } 和 ( C 3 ) ∥ x - - - - - - 年代 y ∥ ≤ ∥ 年代 x - - - - - - 年代 y ∥ , ∥ x - - - - - - T y ∥ ≤ ∥ T x - - - - - - T y ∥ 对所有 x , y ∈ K 。让 { β n } 是一个序列 ( 0 1 ] 令人满意的

∑ n = 1 ∞ β n = ∞ ;

lim ⁡ n → ∞ β n = 0 。

对于任意的 x 1 ∈ K ,让 { x n } 是一个定义的迭代序列 (12) x n + 1 = 年代 y n , y n = ( 1 - - - - - - β n ) x n + β n T x n , n ≥ 1 。 然后序列 { x n } 强烈收敛到一个公共不动点 p 的 年代 和 T 。

保持视图隐式迭代计划的重要性(见[ 17)在本文中,我们建立混合隐式的强收敛定理 年代 迭代计划与扩张和李普希茨强烈pseudocontractive映射在真正的巴拿赫空间中。

 2。主要结果

我们需要下面的结果。

引理10(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B19 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B20 " > < / xref > 20])。

让 J : E → 2 E * 是标准化的对偶映射。然后对任何 x , y ∈ E ,一个 (13) ∥ x + y ∥ 2 ≤ ∥ x ∥ 2 + 2 〈 y , j ( x + y ) 〉 , w w w w w w w ∀ j ( x + y ) ∈ J ( x + y ) 。

引理11(见[< xref ref-type =“bibr”掉= "十三区最" > < / xref > 13])。

让 { ρ n } 和 { θ n } 是满足非负序列 (14) ρ n + 1 ≤ ( 1 - - - - - - θ n ) ρ n + b n , 在哪里 θ n ∈ ( 0 1 ) , ∑ n = 1 ∞ θ n = ∞ , b n = o ( θ n ) 。然后 lim ⁡ n → ∞ ρ n = 0 。

下面是我们的主要结果。

定理12。

让 K 是一个非空的一个真实的巴拿赫空间的闭凸子集 E , 让 年代 : K → K 是一个扩张映射,让 T : K → K 李普希茨强烈pseudocontractive映射等 p ∈ F ( 年代 ) ∩ F ( T ) = { x ∈ K : 年代 x = T x = x } 和条件 ( C 3 ) 。

让 { β n } 是一个序列 ( 0 1 ] 令人满意的

∑ n = 1 ∞ β n = ∞ ;

lim ⁡ n → ∞ β n = 0 。

对于任意的 x 0 ∈ K ,让 { x n } 是一个定义的迭代序列 (15) x n = 年代 y n , y n = ( 1 - - - - - - β n ) x n - - - - - - 1 + β n T x n , n ≥ 1 。 然后序列 { x n } 强烈收敛到一个公共不动点 p 的 年代 和 T 。

 证明。

对于强烈pseudocontractive映射,一个不动点的存在可以从Deimling [ 21]。(所示 15)的不动点集的强烈pseudocontractions是一个单例。

(2),因为 lim ⁡ n → ∞ β n = 0 ,存在 n 0 ∈ N 这样 ∀ n ≥ n 0 , (16) β n ≤ 最小值 ⁡ { 1 4 k , 1 - - - - - - k 2 ( 1 + l ) ( 1 + 2 l ) } , 在哪里 k < 1 / 2 和 l 是李普希茨常数 T 。考虑 (17) ∥ x n - - - - - - p ∥ 2 = 〈 x n - - - - - - p , j ( x n - - - - - - p ) 〉 = 〈 年代 y n - - - - - - p , j ( x n - - - - - - p ) 〉 = 〈 T x n - - - - - - p , j ( x n - - - - - - p ) 〉 + 〈 年代 y n - - - - - - T x n , j ( x n - - - - - - p ) 〉 ≤ k ∥ x n - - - - - - p ∥ 2 + ∥ 年代 y n - - - - - - T x n ∥ ∥ x n - - - - - - p ∥ , 在哪里 (18) ∥ 年代 y n - - - - - - T x n ∥ ≤ ∥ 年代 y n - - - - - - T y n ∥ + ∥ T y n - - - - - - T x n ∥ ≤ ∥ x n - - - - - - 年代 y n ∥ + ∥ x n - - - - - - T y n ∥ + ∥ T y n - - - - - - T x n ∥ ≤ ∥ 年代 x n - - - - - - 年代 y n ∥ + ∥ T x n - - - - - - T y n ∥ + ∥ T y n - - - - - - T x n ∥ = ∥ 年代 x n - - - - - - 年代 y n ∥ + 2 ∥ T x n - - - - - - T y n ∥ ≤ ( 1 + 2 l ) ∥ x n - - - - - - y n ∥ , (19) ∥ x n - - - - - - y n ∥ ≤ ∥ x n - - - - - - x n - - - - - - 1 ∥ + ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ = ∥ 年代 y n - - - - - - x n - - - - - - 1 ∥ + ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ ≤ ∥ 年代 x n - - - - - - 1 - - - - - - 年代 y n ∥ + ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ ≤ 2 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ = 2 β n ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - T x n ∥ ≤ 2 β n ( ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ + ∥ p - - - - - - T x n ∥ ) ≤ 2 β n ( ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ + l ∥ x n - - - - - - p ∥ ) , 因此从( 18)和( 19),我们得到 (20) ∥ 年代 y n - - - - - - T x n ∥ ≤ 2 ( 1 + 2 l ) β n ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ + 2 l ( 1 + 2 l ) β n ∥ x n - - - - - - p ∥ 。 用( 20.)( 17)和使用( 16),我们得到 (21) ∥ x n - - - - - - p ∥ ≤ 2 ( 1 + 2 l ) β n 1 - - - - - - k - - - - - - 2 l ( 1 + 2 l ) β n ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ ≤ ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 为 n ≥ n 0 。 所以,从上面的讨论,我们可以得出这样的结论:序列 { x n - - - - - - p } 是有界的。自 T Lipschitzian,所以 { T x n - - - - - - p } 也有界。让 米 1 = 吃晚饭 ⁡ n ≥ 1 ∥ x n - - - - - - p ∥ + 吃晚饭 ⁡ n ≥ 1 ∥ T x n - - - - - - p ∥ 。我们还通过(ii), (22) ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ = β n ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - T x n ∥ ≤ 米 1 β n ⟶ 0 作为 n → ∞ ,这意味着 { x n - - - - - - 1 - - - - - - y n } 是有界的,所以我们 米 2 = 吃晚饭 ⁡ n ≥ 1 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - y n ∥ + 米 1 。进一步 (23) ∥ y n - - - - - - p ∥ ≤ ∥ y n - - - - - - x n - - - - - - 1 ∥ + ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ ≤ 米 2 , 这意味着 { y n - - - - - - p } 是有界的。因此 { T y n - - - - - - p } 也有界。

集 (24) 米 3 = 吃晚饭 ⁡ n ≥ 1 ∥ y n - - - - - - p ∥ + 吃晚饭 ⁡ n ≥ 1 ∥ T y n - - - - - - p ∥ 。

表示 米 = 米 1 + 米 2 + 米 3 。很明显 米 < ∞ 。

现在,从( 15),为所有 n ≥ 1 ,我们获得 (25) ∥ x n - - - - - - p ∥ 2 = ∥ 年代 y n - - - - - - p ∥ 2 ≤ ∥ y n - - - - - - p ∥ 2 , 通过引理 10, (26) ∥ y n - - - - - - p ∥ 2 = ∥ ( 1 - - - - - - β n ) x n - - - - - - 1 + β n T x n - - - - - - p ∥ 2 = ∥ ( 1 - - - - - - β n ) ( x n - - - - - - 1 - - - - - - p ) + β n ( T x n - - - - - - p ) ∥ 2 ≤ ( 1 - - - - - - β n ) 2 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 2 β n 〈 T x n - - - - - - p , j ( y n - - - - - - p ) 〉 = ( 1 - - - - - - β n ) 2 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 2 β n 〈 T y n - - - - - - p , j ( y n - - - - - - p ) 〉 + 2 β n 〈 T x n - - - - - - T y n , j ( y n - - - - - - p ) 〉 ≤ ( 1 - - - - - - β n ) 2 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 2 k β n ∥ y n - - - - - - p ∥ 2 + 2 β n ∥ T x n - - - - - - T y n ∥ ∥ y n - - - - - - p ∥ ≤ ( 1 - - - - - - β n ) 2 ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 2 k β n ∥ y n - - - - - - p ∥ 2 + 2 米 l β n ∥ x n - - - - - - y n ∥ , ∀ j ( y n - - - - - - p ) ∈ J ( y n - - - - - - p ) , 这意味着 (27) ∥ y n - - - - - - p ∥ 2 ≤ ( 1 - - - - - - β n ) 2 1 - - - - - - 2 k β n ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 2 米 l β n 1 - - - - - - 2 k β n ∥ x n - - - - - - y n ∥ ≤ ( 1 - - - - - - β n ) ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 4 米 l β n ∥ x n - - - - - - y n ∥ 为 n ≥ n 0 。 因为( 16),我们有 ( 1 - - - - - - β n ) / ( 1 - - - - - - 2 k β n ) ≤ 1 和 1 / ( 1 - - - - - - 2 k β n ) ≤ 2 。而且,(ii)和( 19), ∥ x n - - - - - - y n ∥ ≤ 2 米 ( 1 + l ) β n → 0 作为 n → ∞ 。

因此( 25)和( 27)给 (28) ∥ x n - - - - - - p ∥ 2 ≤ ( 1 - - - - - - β n ) ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ 2 + 4 米 l β n ∥ x n - - - - - - y n ∥ 。

对所有 n ≥ 1 ,把 (29) ρ n = ∥ x n - - - - - - 1 - - - - - - p ∥ , θ n = β n , b n = 4 米 l β n ∥ x n - - - - - - y n ∥ ; 然后根据引理 11我们从( 28), (30) lim ⁡ n → ∞ ∥ x n - - - - - - p ∥ = 0 。 这就完成了证明。

 推论13。

让 K 是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间 H , 让 年代 : K → K 是一个扩张映射,让 T : K → K 李普希茨强烈pseudocontractive映射等 p ∈ F ( 年代 ) ∩ F ( T ) = { x ∈ K : 年代 x = T x = x } 和条件 ( C 3 ) 。让 { β n } 是一个序列 ( 0 1 ] 满足条件(i)和(ii)定理 12。

对于任意的 x 0 ∈ K ,让 { x n } 是一个序列迭代定义为( 15)。然后序列 { x n } 强烈收敛到一个公共不动点 p 的 年代 和 T 。

 例14。

作为一个特定的情况下,我们可以选择,例如, β n = 1 / n 。

 评论15。

( 1 ) 条件 ( C 2 ) 是由于康et al。 17)和条件 ( C 1 ) 与 年代 = T 变成了条件 ( C 2 ) 。

(2)条件 ( C 3 ) 是由于康et al。 18)和条件 ( C 3 ) 与 年代 = T 变成了条件 ( C 2 ) 。

 利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 确认

作者要感谢编辑和所有裁判的宝贵的意见和建议改进。本研究从东亚大学研究基金的支持。

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