文摘
得到了充分条件以确保starlikeness积极为解析函数中定义的开放单位圆盘满足特定的三阶微分不等式。因此,starlikeness条件的函数定义的积分运算符。连接也早知道结果。
1。介绍
让表示解析函数的类打开单元中定义的磁盘。为和一个正整数,让 和,。为,表示的子类星形的订单组成的函数令人满意的 类是著名的星形的子类函数研究了在几何函数论。
在续集中,我们强调类 ,在那里。显然为。类调查了西尔弗曼(1显示的)正值单价的函数的系数为负。随后这类研究在一些其他作品(见,例如,2])。
确定问题的充分条件,以确保starlikeness功能已被广泛研究。这些包括条件的微分不等式;见,例如,(2- - - - - -11]。米勒和Mocanu [12],Kuroki和Owa [13),最近,阿里et al。14starlikeness]确定条件定义的函数的积分算子的形式 或由二重积分算子
本文在某些三阶微分不等式条件发现意味着starlikeness积极的秩序。因此,条件对某些积分的内核运营商也获得确保这些操作符定义的函数是星形的。连接也早知道结果。
回想一下,一个解析函数是下属一个解析函数在,写成,如果存在一个分析self-map的与令人满意的。
需要以下引理的续集。
引理1(见[15定理1,192页),参见[16定理3.1 b, 71页)。让是凸的与,和。如果和 然后 在哪里 这个函数是凸,是最好的占主导地位的。
引理2(见[17]和参见[16定理3.1 d, 76页)。让h是一个星形的函数。如果满足 然后 这个函数是凸,是最好的占主导地位的。
2。主要结果
以下两个结果很容易通过简单的适应性(定理2.1和定理2.6的13]。因此忽略了它们的证明。
引理3。让,,。如果 然后与一个极值函数。
引理4。让,,。如果 然后 是一个星形的函数的顺序。
备注5。尽管前题中给出的条件3和4是充分的演绎,他们事实上足以暗示。
上述两个前题下用于获得条件的三阶微分不等式和演绎starlikeness的三阶积分算子的订单。
定理6。让,,,。进一步让和满足 如果 然后。平等是获得的。
证明。让
简要计算表明
因此,(15)可以在从属的形式写的
它遵循从引理1那
这意味着
因此利用引理3。
锐度,很明显,这个函数满足
因此,
定理7。让,,,。如果 在哪里 然后 满足。
证明。让满足
从定理6的解决方案(26)属于类。现在(26)的形式
在哪里
方程(27)有一个解决方案
与
注意,这个函数在引理4满足。因此更换适当的参数方程
产生一个解决方案
这就完成了证明。
接下来的结果为starlikeness提供了一个充分条件涉及二阶微分不等式。
引理8。让,与。如果 然后与一个极值函数。
证明。不平等(33)可以表示从属的形式
写作
由此可见,
现在引理1与收益率
这意味着
让
自
一个应用程序的引理2显示,
因此,
结合(38)和(42)的收益率
这意味着,。
以下结果给starlikeness给定函数的二重积分算子与引理4。的证明类似于定理2.212),省略了。
引理10。让,,,。如果 然后 满足。
一个应用程序的引理8收益率对starlikeness第二充分条件的三阶微分不等式。
定理11。让,,,,。进一步让 如果 然后。平等是获得的。
证明。进行同样的引理的证明8不平等(47)可以写成
让
然后计算产量
这
因此
应用引理1收益率
这意味着
因此
与引理,相比8,提供所需的结果。
进一步的结果是锋利的满足
评论12。为,选择在定理11结果 为这正好与引理8在,这也表现出在13推论2.4]。此外,为,(57)给 这和中给出的结果(8定理1]。
对应定理11starlikeness的充分条件函数的定义为一个三重积分算子得到以下结果。
定理13。让,,,,。进一步让 如果 然后 满足。
证明。让满足
从定理11,我们发现的解决方案(62年)位于。现在(62年)成为
在哪里
方程(63年)有一个解决方案
与
鉴于引理10方程
有一个解决方案
这就完成了证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这里介绍的工作支持的部分研究型大学授予从马来西亚理科大学。作者感谢裁判对他们的建议,帮助提高本文的清晰。