文摘
生成函数中扮演重要角色的调查各种有用的属性序列生成。在本文中,我们的目标是建立完整的某些生成功能超几何函数引入了斯利瓦斯塔瓦et al。(2012)。所有派生的结果摘要一般能产生大量的(新)导致生成函数的理论。
1。介绍和定义
最近出现很多研究工作的研究和发展熟悉不完整的伽马函数类型和给出了 和 ,分别。不完整的伽玛函数的研究已经有很长的历史(见,例如,1),现在在相当坚实的基础上通过不同的作者的研究贡献(见,例如,2- - - - - -17])。不完整的伽马函数是重要的特殊功能及其密切相关的是广泛应用于物理学和工程;因此,他们感兴趣的物理学家、工程师、统计学家和数学家。
不完整的伽马函数理论,作为合流超几何函数的理论的一部分,收到首次系统论述了Tricomi [18在1950年代早期。熟悉的不完整的伽马函数和分别定义
下面的分解公式有: 在哪里是熟悉的伽马函数定义的
从历史上看, 和 于1877年首次研究了由Prym [1]。的函数 和 也被称为Prym的功能。对于一般(甚至),这个函数 出现在练习计算积分的勒让德(19),在他的一些作品。
这个函数可以表达的Tricomi合流超几何函数如下所示(见[6,266页,方程):
γ函数,Pochhammer符号定义()(见,例如,10第2页,页4 - 6) 在哪里和表示复数的集和负的整数,分别。
最近,斯利瓦斯塔瓦等。16]介绍和研究的一些基本性质和特点以下两个家庭可能有用的广义定义不完整的超几何函数如下: 在哪里和某些有趣的概括Pochhammer象征的定义,不完整的γ型功能和给出了 和 ,通过
这些不完整的Pochhammer符号和,定义为斯利瓦斯塔瓦等。16),如 ,也满足下列分解关系:
备注1。正如前面提到的,斯利瓦斯塔瓦等。16注7)(参见[17,3220页,备注]),因为 精确(充分)条件下的无穷级数的定义 和 收敛绝对可以从那些证据确凿的情况下的广义超几何函数()(有关详细信息,请参阅,,20.,72 - 73页]和[11,第20页);参见[21- - - - - -23])。事实上,在他们的特殊情况,两个(),()将立即减少广泛调查了广义超几何函数()(见,例如,(20.第五章);参见[10,1.5节)。此外,作为一个直接后果的定义 和 ,我们有以下分解公式: 熟悉的广义超几何函数()。
生成函数中扮演重要角色的调查各种有用的属性序列生成。他们找到特定的属性和公式用于数字和多项式在各种各样的研究对象,事实上,在现代的组合。系统的介绍,和一些有趣的(有用的)应用程序,获得线性的各种方法,双线性,双边、多边或混合为一个相当广泛的序列生成函数(和多项式)在一个特殊的功能,2、和更多的变量,在丰富的文学,我们指的是广泛的斯利瓦斯塔瓦和Manocha [24)和阿加瓦尔Koul (25]。在这方面,事实上,一个非常大量的生成函数涉及多种特殊功能已经由许多作者(见,例如,24,26];参见[27])。也有许多生成函数包含不完整的超几何函数 和 已提交(见,例如,17推论3])。在这里,动机主要是由陈和斯利瓦斯塔瓦的作品(28),斯利瓦斯塔瓦和赵17),我们现在某些生成函数涉及不完全超几何函数 和 。此外,它应该顺便提到我们的结果本文建立了通过使用一个不同的方法采用(17]。
2。生成函数的不完整的超几何函数
在本节中,我们建立一定的生成函数的不完整的超几何函数 和 由定理断言2。
定理2。下面的生成函数适用:
证明。为方便起见,让的左边
是用。应用的级数表达式
来,我们得到
使用以下已知身份(见,例如,10第5页):
正整数的集合,我们可以证明下面的身份(见[28,169页):
通过改变订单的合计
和使用单位
简化后,
我们发现内在的总和
广义二项展开式吗
最后,取代了内心的总和
的身份
收益率(殖利率)我们想要的结果
。
很容易看到,一个类似的论点的证据
将建立的结果
。这就完成了定理的证明2。
备注3。最近,斯利瓦斯塔瓦和赵17)提出了一个非常通用的类的某些有趣的生成函数涉及不完全超几何函数 和 从本质上使用以下有趣和有用的统一扩张公式由古尔德(见[29日,196页,方程];参见[17,3221页): 在哪里,,复数是独立的和是一个函数的通过隐式定义
结果(17,推论3]看起来非常类似于定理2。然而,很容易发现他们不能特殊或一般情况下的另一个结果。
3所示。进一步泛化的生成函数的不完整的超几何函数
定义4。让我们介绍两个序列和定义为
为了方便起见,缩写的数组参数如下:
然后,在定理2,我们可以给下面的生成函数的广义不完整的超几何函数
由定理断言5。
定理5。以下身份适用:
证明。同样的定理2,我们可以在定理证明的结果5。所以他们的细节将在感兴趣的读者,而不是基本的身份 ,呈现以下标识:
应该注意的是,如果我们设置和替换通过在 ,我们很容易导致的结果 。
结束语。如果我们添加两个生成功能 和 并使用分解公式 ,我们有一个有趣的结果表示的广义超几何函数:
我们还观察到结果 对应于给定的(28,170页,方程]。
广义不完整的超几何函数给出 和 减少,当广义超几何函数(已知)的特定情况下表达的特殊功能发生在数学,物理和工程科学。因此大多数的已知和广泛调查的特殊功能也可表现的广义不完整的超几何函数(),()(对于一些有趣的例子和应用程序,看到16部分5和6)。视图的观察,本文提供的结果,是共性,可以产生大量的生成多项式为一定阶级的不完整的超几何函数(见[17]),其他特殊功能使用的超几何函数。最后,我们得出结论我们目前的调查,这里给出评论:“我们的研究结果也认为给一些贡献通信理论、概率论和地下水建模。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者应该表达深深的感谢所有裁判对他们很有帮助和批判性的评论来自只有详细审查的本文通过分享他们的宝贵的时间。在某种程度上,这项研究是支持的基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会由教育部资助,韩国科技(批准号2010 - 0011005)。这项工作是支持的东国大学研究基金。