文摘
讨论了加速收敛的一些家庭为了解决标量非线性方程组迭代方法。事实上,我们构造mono -和biparametric方法与记忆和学习他们的订单。表明可以达到收敛订单12和14只使用4个功能评估,提供高计算效率指标。一些插图也将给reverify理论讨论。
1。介绍
发现非线性函数的零使用迭代方法是计算数学的一个具有挑战性的问题,有许多应用程序(见,例如,1,2])。解决方案可以获得作为函数的不动点吗通过以下定点迭代:
为此目的而使用最广泛的方法是经典的牛顿法及其derivative-free形式称为Steffensen的计划(3]。这些方法收敛条件下平方函数是连续可微的,一个好的初始近似给出了(4]。
考虑这些基本方法,许多迭代方法没有内存拥有最优的收敛阶假设的基础上宫和特劳布(5)已建造了文学;见,例如,(6,7)和引用。对于应用程序,请参阅[8,9]。
根据最近的趋势这一主题的研究,迭代方法与记忆(也称为自我加速计划)是值得研究的。记忆可以提高订单的迭代法收敛的一个没有记忆的方法,不需要任何额外的功能评估,因此它有一个非常高的计算效率指数。有两种迭代方法与记忆,也就是说,Steffensen-type和牛顿型方法。在本文中,我们只考虑Steffensen-type方法与记忆。
简要回顾文献,我们没有记忆的话,最佳Steffensen-type家庭介绍了求解非线性方程(10在一般形式);两步自我加速Steffensen-type方法和他们的应用程序解决方案的非线性系统和非线性微分方程进行了讨论(11]。
2012年,Soleymani等人在12)提出了一些multiparametric多步最优非线性方程组迭代方法没有内存。例如,他们提议 ,为简单起见在使用。方程(2)读取误差方程如下: 他们还提出以下方案: 与误差方程 也 在哪里
错误的关系(3),(5)和(7)在我们的研究中扮演关键角色的收敛加速在随后的部分。
本文的目的是扩展的结果(12)通过提供与记忆上面的三步计划的变体。我们的目标是在提供两种类型的记忆,也就是说,变量使用一个加速器和变体使用两个加速器。获取一个背景等加速度,可能指的是(13]。
本文的其余部分组织如下。部分2致力于解决新根的推导与内存使用一个加速器。部分3获得一些新方法没有和记忆具有很高的计算效率指数。计算效率指数还讨论了展示该方法的适用性和有效性。性能测试是通过数值例子4。此外,收敛性和计算效率的理论结果关于订单确认的例子。结果表明,提出的方法比现有的同行更有效率。最后,给出了结论部分5。
2。一些Monoaccelerator方法与记忆的发展
动机构建方法与记忆是直接连接到数值分析的基本概念,任何数值算法应尽可能好的输出结果以最少的计算成本。换句话说,它是必要的搜索算法的计算效率。
随后,我们建议以下monoaccelerator方法的参数取而代之的是()加快收敛的速度在下面: 或以下变量: 也
注意,在这个工作中,代表通过牛顿插值多项式集可用近似(节点)从当前和以前的迭代(s)。
事实上,在构造方法的主要思想与记忆包括参数的计算迭代所得的公式或者类似的地方是一个近似。从本质上说,以这种方式我们最小化因素参与最后的误差方程的家庭没有记忆。这个自动影响收敛的速度扩展和被称为记忆的方法。
也认为,最初的估计(或类似的方法与记忆)应该选择在开始迭代过程之前。
现在让我们记住一个重要引理特劳布(4在下面)。
引理1。如果,,那么估计 持有,是一个渐近常数。
定理2决定了订单的三步迭代方法与记忆(8),(9)和(10)。请注意,本文选择以获得尽可能高的收敛。显然,如果减少节点用于插值多项式,缓慢加速。
定理2。如果最初的评估接近一个简单的根吗的,作为一个充分的可微函数,那么收敛阶的三步方法与记忆(8),(9)和(10)是至少12。
证明。让是一个生成的序列近似迭代方法(IM)。如果这个序列收敛于一个根的与订单,我们会写
在哪里倾向于渐近误差常数(IM),当。因此
我们假设订单的迭代序列,,至少是,,分别;也就是说,
由(14)和引理1,我们获得
用这些与,,,,我们有
这给了以下线性方程组:
这个系统的解决方案,,,,它指定了收敛阶的十二derivative-free方案与内存(8)和(10)。类似的结果是有效的(9)。证据现在已经完成。
显著加速收敛达到没有任何附加功能的计算,它提供了非常高的计算效率的方法。我们的话,另一个优势是一个方便的事实,提出的方法不使用衍生品。
下面给出的效率指数的定义,而和站的收敛速度和功能评估每循环的数量,然后计算效率指数的变异与记忆这是高于1.682的家庭(2),(4)和(6)。
3所示。Biaccelerator方法与记忆
加速的方法,类似于在前一节中,将申请建设三步方法与记忆。两个参数的计算变得更加复杂既然每个迭代都需要更多的信息。
3.1。一些家庭没有记忆的发展
我们首先运用自由参数在分母上的第一个步骤(4)收益率以下更一般的家庭eighth-order没有记忆方法:
定理3。假设函数只有一个根,在那里是一个开放的时间间隔。而且假设是一个足够的可微函数在附近的,也就是说,。然后,迭代的收敛阶的家庭没有内存定义为(18)是8。
证明。这个定理的证明类似于证明(10]。因此它是省略了,我们只给下面的误差方程(18): 在哪里。
同样的,我们有以下新multiparametric家庭的方法:
同样,我们有下面的定理。
定理4。假设函数只有一个根,在那里是一个开放的时间间隔。而且假设是一个足够的可微函数在附近的,也就是说,。然后,迭代的收敛阶的家庭没有内存定义为(20.)是8。
证明。这个定理的证明类似于证明(10]。因此它是省略了,我们只给下面的误差方程(20.)通过考虑: 在哪里。
在下一小节,我们将这些计划和记忆方法求解标量非线性方程组。
3.2。一些Biaccelerator方法与记忆的发展
现在使用合适的牛顿插值多项式的合适程度通过所有可用的节点,我们可以提出以下方法与记忆两个加速器:
同样的,我们有以下引理。
引理5。如果和,,那么估计 持有,和是一些渐近常数。
随后,下面的定理确定三步迭代的收敛订单与记忆方法(22)。
定理6。如果最初的评估接近一个简单的根吗的,作为一个充分的可微函数,那么收敛阶的三步方法与记忆(22)是至少14。
证明。让是一个生成的序列近似迭代方法(IM)。如果这个序列收敛于一个根的与订单,我们会写 在哪里倾向于渐近误差常数(IM),当。因此 我们假设订单的迭代序列,,至少是,,分别;也就是说, 由(27),(28),(29日),引理5,我们获得 用这些,,,,我们获得 在哪里,一些渐近的常量。将错误的权力指数成对的关系(27)- (31日),(28)- (32),(29日)- (33)和(26)- (34)给 这个系统的解决方案,,,,它指定了订单的收敛十四derivative-free方案与内存(22)。
计算效率指数的变异与内存(22)是,这是高于1.861的家庭(8),(9)和(10)。注意biparametric加速技术通过自动调整的参数在三步迭代的方法并不适用于目前文学,这清楚地揭示了本研究的原创性。
4所示。数字报告
数值结果的演示本节是指很高的计算效率,并证明该方法的快速收敛。
的错误表示近似寻求0,代表。此外,表明收敛的计算顺序(COC)和计算
注意,包和多精度算法使用Mathematica 9。
相比之下,在数值实验中,我们还测试了几种以下三步迭代方法。
龚和特劳布的方法5)是
Sharma et al .的方法(14)是 在哪里和。
Lotfi和Tavakoli的方法15)是 在哪里,,,。
Lotfi和Tavakoli的方法15)是
郑等人的方法(16)是
在表中1,2,3,不同的测试函数测试作为标题显示。第二个和第三个迭代得到的结果仅供演示收敛速度的测试方法和在大多数情况下不需要实际问题。从表中,我们观察的准确性产生近似,得到仅使用一些功能评估。不需要这样的精度在实践中,但理论的重要性。我们强调,我们的主要目的是构建非常有效的三步方法与记忆。
5。总结
在本文中,我们表明,三步(家庭12)另外可以加速不增加计算成本,直接提高了改性方法的计算效率。在构造高阶方法的主要思想包括引入另一个参数和加速技术参数的改进。
很明显从表1来3时近似根拥有伟大的准确性提出了应用方法与记忆。
进一步研究必须延长对非线性方程组的方法或提出内存版本使用三个或四个加速器。这些可以在未来的研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
第一作者“Taher Lotfi“感谢”哈马丹分支,伊斯兰自由大学”提供优秀的研究设施和部分财政支持。