文摘
我们使用一个通用的双曲正切函数展开法和直接法研究了(1)的解析解+2)维正弦戈登(2 dsg)方程。我们获得一些新的互动解决方案中孤波和周期波,如kink-periodic波交互方案,two-periodic solitoff解决方案,和two-toothed-solitoff解决方案。我们也调查这些解决方案的传播特性。
1。介绍
Sine-Gordon (sG)方程是一个最著名的偏微分方程研究的许多物理学家几十年了。sG方程有很多不同的科学领域中发挥了核心作用,比如在微分几何(1),等离子体物理(2),非线性光学(3,凝聚态物理4,量子场理论5,6),等等。研究人员已经花费大量的努力推广(1 + 1)维耗散孤子方程(2 + 1)维耗散方程。非凡的方程,在1980年代,Nizhnik-Novikov-Veselov (NNV)方程(7- - - - - -9[]和Davey-Stewartson (DS)方程10- - - - - -12)被发现。NNV方程和DS方程的(2 + 1)维概括Korteweg-de弗里斯KdV方程和非线性薛定谔(NLS)方程,分别。之后,在1991年,Konopelchenko和罗杰斯(13,14)提出了一个重要的对称概括(1 + 1)维sG方程为(2 + 1)维sG方程通过重新解释和泛化的无穷小Backlund变换。著名的nonintegrable(2 + 1)维耗散sine-Gordon (2 dsg)方程如下:
各种方法已经被用来研究这个方程因其丰富的对称结构。简单和有效的方法解决2 dsg方程包括二进制达布变换(15,16],广泛的对称群分析[17,18),副大臣的方法(19)、羊肉的方法(20.,21),Painleve卓越的(22),Backlund变换(23]。和研究人员发现丰富的类型的解决方案2的dsg方程,如multisoliton解决方案和漩涡的解决方案(24),线和圈孤子25,26),曲线孤子,瞬子孤子和双周期波解(27- - - - - -29日),Solitoff结构解决方案,snake-shape孤立波解(30.]。
最近,已经提出的一些新的有用的和强大的方法寻找非线性偏微分方程的精确解,如一般的代数方法耦合Schrodinger-Boussinesq方程(31日),一般广义形变映射方法将加德纳方程强迫项(32),广义双曲正切函数展开法Abowitz-Kaup-Nwell-Segur系统(33],bosonized超对称KdV模型[34),和Broer-Kaup系统(35]。值得注意的是,广义双曲正切函数展开法是一种有效的新技术为我们获得一些新的交互解决方案2的dsg方程。同时,我们可以通过直接解2 dsg方程方法基于映射之间的关系2 dsg方程和立方非线性克莱因戈登(CNKG)方程。这种方法也可以应用于解决双sine-Gordon方程,三重sine-Gordon方程,金兹堡朗道方程(36),等等。在本文中,我们想寻求更多的互动解决方案的新类型2 dsg方程的孤波和周期波的广义双曲正切函数展开法和直接法。
本文组织如下。节2kink-periodic波交互解决方案2的dsg方程是通过使用广义的双曲正切函数展开法。节3,two-periodic solitoff解决方案,定期soliton-periodic行波交互方案,two-toothed-solitoff解决方案,和周期性solitoff-kink交互解决方案2的dsg使用直接法方程得到。节4,一个简短的总结和讨论。
2。Kink-Periodic波交互解决方案
2 dsg方程(1)不能直接解决广义双曲正切函数展开法(33- - - - - -35),并找到一些soliton-periodic波交互的解决方案2 dsg方程,我们假设 并采取以下坐标变换: 然后,我们用(2)和(3)(1)和到达 的常量,,,令人满意的 值得注意的是,(4)可以通过使用广义双曲正切函数展开法来解决。首先,我们设置 在哪里,,,是变量的函数。为了获得一些soliton-periodic波交互的解决方案,让 在哪里,,在这,,,是待定常数。然后,我们用(6)和(7)(4)和分析函数的系数订单,订单我们得到的表达 的功能和满足 此外,是下面的雅可比椭圆函数方程的解决方案: 与这些参数,,,令人满意的 在哪里,,,,在这和是一个常数。
现在我们选择正弦雅可比椭圆函数的解决方案(10), 和功能和很容易得到吗 然后用(12),(13)和(11)(10),这些参数都写成的关系 在哪里雅可比椭圆函数的模量吗。
最后,准确的表达得到: 在哪里,,。解决方案(15)代表一个kink-periodic波交互2 dsg方程的解决方案。这两个行波的速度和,分别。
图1显示了kink-periodic波相互作用的密度分布解决方案上x- - - - - -y飞机由和(15),这些参数 在时间。这图展览一个特殊交互扭结和周期波的结构。图2显示了kink-periodic波的传播解决方案和。在这个图中,孤子传播的负方向x设在,它的速度比一个周期波,快也沿着负面传播方向。
3所示。Solitoff、周期性Soliton-Periodic行波和周期Solitoff-Kink交互的解决方案
在本节中,我们使用直接法研究2 dsg方程。基于羔羊替换(20.,21),解决方案(1)可以设置为以下形式: 的函数是CNKG方程的解决方案(30.,36), 在约束条件下 与。函数可以是各种风格,如,,,(36]。在这里我们把 在函数,在这是一个函数的变量,不断雅可比椭圆函数的模量。然后,我们用(17)和(20.)2 dsg方程得到 与限制条件 在这里,我们定义 然后一个任意的函数可以包含在功能通过求解(22),即 和参数,,,,,满足 标志”“在(22)和(25)“−”和“+”。由于任意函数的存在,丰富的解决方案(1)将获得只要功能是正确的选择。
当我们把 (2 + 1)维耗散two-periodic solitoff 2 dsg方程的解决方案可以获得: 我们知道solitoff被定义为半线孤子。解决方案(27)表明solitoff类型解决方案由两个旅行波在不同的方向传播。这两个行波的速度和,分别。
图3显示了一个two-periodic solitoff解决方案(27),这些参数 在时间。在这个图的角度two-periodic solitoff实际上是一个钝角虽然似乎是正交的。这是因为。图4显示更多细节的two-periodic solitoff解决方案(27)和(28)。的two-periodic solitoff溶液具有不同波长具有相同的振幅和传播过程中保持峰值不变。他们的相速度是不同的,但是他们的旅行方向相同;他们沿着的负面传播y设在。
(一)
(b)
一个周期soliton-periodic 2 dsg方程的行波交互的解决方案可以获得: 通过选择
图5(一个)显示了周期性soliton-periodic行波相互作用的解决方案(29日),这些参数 在时间。solitoff-type结构解决方案没有出现,而这两个行波在不同的方向传播。图为类似于[soliton-periodic互动波33),但真正的孤子具有周期性和孤波的峰值保持定期改变。图5 (b)显示的密度分布在x- - - - - -y飞机。
(一)
(b)
此外,如果我们把 然后two-sawtooth-solitoff解决方案和周期性solitoff-kink互动解决方案2的dsg方程可以写成 分别。图6显示了一个two-toothed-solitoff解决方案(33)和(31日在极限情况下的模量。two-toothed-solitoff结构是由一个扭结孤子和一个次方孤子。他们的旅行速度是不同的,但是群速度是一样的。和旅行方向这两个solitoff波在传播过程中构造一个恒定的锐角。
(一)
(b)
图7(一)显示一个周期性solitoff-kink互动解决方案由一个亮孤子和扭结孤子。数据7 (b)- - - - - -7 (d)显示亮孤子和扭结孤子有不同的速度旅行,他们沿着负面传播x设在。亮孤子的峰值不断增加,直到到达相同的扭结孤子的振幅。
(一)
(b)
(c)
(d)
4所示。总结和讨论
首先,我们使用广义双曲正切函数展开法来解决2 dsg方程;一个特殊的新kink-periodic波交互的解决方案是明确表达分析和图形化。tanh-type孤子之间的相互作用的解决方案和2 dsg的周期波方程是首先获得。然后,我们使用直接法和获得更多新的交互解决方案2的dsg方程,包括two-periodic solitoff解决方案(27),周期性soliton-periodic行波交互解决方案(29日),two-toothed-solitoff解决方案(33),周期性solitoff-kink互动解决方案(34)。解决方案(34)是一个泛化的单一直线扭结孤子解,而解决方案(33)是一种泛化的周期性直线solitoff类型的扭结孤子解。这些类型的交互解决方案也首先发现2 dsg方程。所有这些解决方案表明孤波和周期性的波之间的交互的解决方案;他们的旅行速度是不同的,但集团速度一样,他们在不同的传播轨迹含有线性形状,曲线形状,锯齿状的形状。事实上,形式的(12)和(20.)不仅可以正弦雅可比椭圆函数,可以选择更多的功能等,,,可以获得更明确的解决方案。丰富的解决方案解决了这两个方法表明,非线性系统的丰富结构不仅存在于可积系统还在nonintegrable系统。此外,有一些类型的本地化解决方案的四面八方,例如,dromions和环形孤子没有发现这两种方法;这将留给我们去做更多的研究。
利益冲突
作者宣称他们没有财务关系与他人或组织不当影响这项工作或可能的利益冲突。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持。11175158和创新研究团队项目在浙江师范大学。