文摘
本文研究分形插值函数的分数阶积分的连续性和法官的分形插值函数的分数阶积分是否仍然是一个分形插值函数与否。迭代函数系统和有关定理Riemann-Liouville分数阶微积分是用来证实上述研究内容。结论表明,分形插值函数的分数阶积分是一个连续函数和分数阶积分的分形插值仍然是一个分形插值函数的区间。
1。介绍
分形几何是一个主题非常不规则和复杂的现象和图片的性质进行了研究。从分形发展的过程中,有一些有效的方法用于研究分形。例如,曼德布洛特(1- - - - - -5)应用分形维数的概念来描述分形曲线和分形表面的粗糙度。巴恩斯利(6,7]和Massopust [8,9]提出分形插值曲线(参考图1)和分形插值曲面(参考图2)可以应用于拟合和分析自然图形的形状。冯et al。10- - - - - -12]提出了分形的概念和原则的变异和它用于估计分形维闵可夫斯基的表面和描述分形表面的粗糙度。李、吴(13应用小波分析在研究分形几何。跑和棕褐色14)和马克(15]讨论了傅里叶分析与小波分析之间的关系。一般来说,研究人员一直试图通过传统整数阶微积分研究分形。然而,这是非常罕见的,分形研究分数阶微积分。因为传统整数阶微积分研究光滑曲线和曲面,它几乎不能被应用于分析和处理分形问题,虽然分数微积分被认为是一个重要而有效的工具应用于研究分形插值函数。
为了讨论分形插值函数的分数阶积分的性质,讨论了以下内容,分形插值函数的分段积分的连续性和分形插值函数的判断分数积分仍然是一个分形插值函数与否。所以迭代函数系统、概念和定理对Riemann-Liouville分数阶积分是用来证实上面的问题。结果表明,分数阶积分自仿变换的分形插值函数是连续的它仍然是一个分形插值函数。
2。主要概念和引理
定义1(见[16])。让和函数是一个连续函数在区间并且可以在任何有界子区间包含在积分;然后下面的公式 被称为订单Riemann-Liouville部分的积分。
定义2(见[17])。“双曲线”迭代函数系统包括一个完备度量空间()与一组有限的收缩映射因素,各自规律运动映射,因为。缩写用于“IFS迭代函数系统。“IFS刚刚宣布的符号和收缩的因素是。
定义3(见[7])。让是一组点,在那里。一个插值函数对应这组数据是一个连续函数这样
的点被称为插值点。它被称为的功能篡改数据的图表通过插值点。
引理4(见[17])。让是一个大于1的正整数。让表示上面定义的IFS,相关的数据集 让垂直比例因子服从为。然后有一个指标在,相当于欧几里得度量,这样IFS双曲对。特别是,有一个独特的非空的紧集,这样
特别是,一个IFS的形式被认为是,映射是一个仿射变换的特殊结构
根据转换都受制于数据
引理5(见[18])。假设是一组连续函数满足和。定义的指标是由以下公式:
然后是一个完备度量空间。让真实的数字,,,被定义为(7)。定义了一个映射通过
在哪里是可逆的变换
然后在间隔时间是连续的吗和是一个收缩映射,所以拥有一个独特的定点。也就是说,存在一个函数这样
3所示。分形插值函数的连续性的分数阶积分区间
引理6。如果是一个连续函数在区间吗和,然后是一个连续函数了。
证明。自 然后 在哪里,所以是一个连续函数在区间吗。
推论7。假设是一个分形插值函数在区间吗;然后上是连续的了。
证明。自仿射变换的分形插值函数是一个连续函数,上是连续的。根据引理6,是一个连续函数了。
推论8。假设仿射变换的分形插值函数在区间;然后可以集成在。
证明。从推论7,因为有限闭区间上连续函数是一个集成的功能,必然的结果8是正确的。
4所示。分形插值函数的判断定理部分积分
定理9。如果仿射变换的分形插值函数在区间,然后仿射变换的分形插值函数在区间了。
证明。 ,考虑间隔,因为,。让迭代函数系统(IFS) 所以 所以仿射变换的分形插值函数在区间[0,)和迭代函数系统(IFS): 在哪里;然后, 所以是一个分形插值函数在区间吗。
5。结论
从上面的内容有三个获得结果。首先,分形插值函数是连续的分数阶积分区间。其次,分形插值函数的分数阶积分可以集成在任何闭区间。最后,分数阶积分的分形插值函数仍然是一个分形插值函数的区间。
分数阶积分的分形插值函数的可微性和拳击维度将在未来的研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究得到了江苏省研究生创新科研基础(没有。CXZZ13_0686)和南京师范大学泰州学院(没有青年基金项目。Q201234)。