文摘
本文解决了的问题控制设计通过proportional-spatial导数(P-sD)控制方法对于一类非线性分布参数系统建模的半线性抛物型偏微分方程(pde)。利用李雅普诺夫直接法和分部积分法的技术,一个简单的基于线性矩阵不等式(LMI)设计方法的健壮P-sD控制器,闭环PDE开发系统指数稳定与给定的衰变率和规定扰动衰减的性能。此外,次优控制器,提出了衰减水平对于一个给定的衰变率降到最低。该方法成功地用于解决控制问题的FitzHugh-Nagumo (FHN)方程,以及实现仿真结果表明其有效性。
1。介绍
一个重要的研究领域,受到大量的关注过去几十年是分布参数系统的控制设计(离散长)建模抛物型偏微分方程(pde)。这些离散长可用于描述许多工业过程,如热扩散过程,流体,热交换器(1- - - - - -4]。离散长是空间分布的关键特征,导致其输出、输入、过程状态和参数空间变化。另一方面,外部扰动和非线性现象出现在大多数实际系统。在这种情况下,研究健壮非线性抛物PDE系统控制设计具有理论和实践意义。
重大研究成果已报告在过去的几十年里离散长(1- - - - - -3,5- - - - - -18]。最有趣的结果在这些研究活动的基础上开发PDE模型(9- - - - - -18]。例如,侵袭和Smyshlyaev开发了非适应和自适应基于逐步退焊法线性边界控制PDE方法系统(9- - - - - -11]。弗里德曼和奥洛夫12)提出了指数稳定性能的线性矩阵不等式(lmi)不确定半线性抛物型、双曲系统通过一个健壮的边界配置静态输出反馈控制器。这些结果(9- - - - - -12PDE)只适用于边界控制系统。最近出于重要驱动和传感技术的进步,特别是微机电系统的发展,可以制造很大的微型传感器和致动器阵列集成控制电路(控制应用程序的设备,请参阅[13),在其中的引用)。因此,分布式控制理论和设计上的问题对PDE系统得到了大量的关注(1- - - - - -3,14- - - - - -18]。例如,奥洛夫等人开发了状态反馈跟踪控制设计(3)一个不确定的热扩散过程和指数稳定14)为一个不确定的波动方程通过分布式动态输入扩展。王、吴、李建立了分布式指数稳定的充分条件,通过简单的模糊比例为一阶双曲PDE系统状态反馈控制器(15- - - - - -17),通过一个模糊proportional-spatial导数(P-sD)半线性抛物PDE系统[18]。吴、王、李(19)提出了一个Lyapunov-based分布模糊控制器设计为半线性一阶双曲PDE系统约束。注意,报告的结果(15- - - - - -19]给出的空间微分线性矩阵不等式(SDLMIs),大概只能解决的基础上,标准的有限差分法和现有的凸优化技术(20.,21]。尽管有这些努力,最好的作者的知识,还有一些结果强劲控制设计通过半线性抛物PDE的原始PDE模型系统与外部障碍,促使本研究。
在这项研究中,我们将处理这个问题的控制设计了一类半线性抛物PDE通过P-sD控制系统与外部干扰的方法。基于李雅普诺夫直接法和分部积分法,指数稳定的充分条件给定的衰变率和规定扰动衰减的性能提出了lmi的标准。此外,次优控制器,提出了衰减水平对于一个给定的衰变率降到最低。最后,仿真研究了健壮控制的半线性抛物PDE系统由FitzHugh-Nagumo (FHN)方程提供了展示了该方法的有效性。
本文的其余部分组织如下。部分的问题公式化和预赛2。鲁棒P-sD控制设计中提供了部分3。部分4给出了一个例子来说明该方法的有效性。最后,部分5提供了一些结论。
符号。论文中使用的符号给出如下。,,表示所有实数集,维欧几里得空间,所有真正的集合矩阵,分别。单位矩阵,适当的维度,将用。对于一个对称矩阵, 意味着它是正定(semipositive定,负定,seminegative明确的职责)。是一个希尔伯特空间的维平方可积向量函数,,内积和规范: 在哪里和。上标”“用于向量或矩阵的转置。符号””作为一个省略号在矩阵表达式所诱导的对称性;例如,
2。预赛和配方问题
考虑下面的非线性离散长半线性抛物型pd模型: 受均匀诺伊曼边界条件: 和初始条件: 在哪里国家,是下标吗和偏导数对站,分别和分别表示的位置和时间是控制输入。是控制输出。外生干扰满意吗。是非线性系统中的一部分,它是一个局部李普希兹连续函数和满足对所有和。,,,,,,real-known矩阵与适当的维度。
本研究认为以下P-sD状态反馈控制器: 在哪里和是确定控制增益矩阵。控制器结构如图1的符号””是指一个一阶空间差异。
备注1。必须要强调的一点是,控制器的实现(7)需要分布式传感和驱动。尽管这通常被认为是一个关键的缺点,与最新进展在微机电系统的技术发展,它成为可行的生产很大的微型传感器和致动器阵列集成控制电路,可用于分布式反馈控制回路的实现在一些实际的应用程序中(见[13),在其中的引用)。信号使用有限差分法可以获得。此外,它已经在[指出18),控制器(7)可以提供更多方便的空间表现。
为了减弱的影响、健壮的控制将采用本文处理干扰衰减问题。让我们考虑以下控制性能的闭环PDE系统形式(5),(6)和(8): 在哪里是一个真正的矩阵和是一个规定的扰动衰减水平。一般来说,它是可取的尽可能小的衰减水平达到最优扰动衰减性能。
为简单起见,当,PDE系统(3)- (6)被称为一个不勉强的PDE系统,而当,它被称为一个disturbance-freePDE系统。我们介绍以下定义。
定义2。给定一个常数,非受迫性disturbance-free PDE系统(5),(6)和(8)(例如,和)说与给定的衰变率指数稳定 ,如果存在一个常数这样,下面的不平等是适用的:
定义3。给定的常数和,非受迫性PDE系统(5),(6)和(8)说与给定的衰变率指数稳定 和 - - - - - -扰动衰减如果响应满足(9)和disturbance-free系统与给定的衰变率指数稳定 。
因此,本研究的目的是找到一个健壮的P-sD控制器的形式(7),这样产生的闭环系统指数稳定规定的性能保证扰动衰减水平。要做到这一点,下面的假设和引理是有用的发展的主要结果。
假设4。存在一个标量这样,下面的不平等适用于任何: 在哪里。
引理5。对于任意两个平方可积向量函数,,,下面的不平等适用于任何积极的标量,:
证明。它很容易验证适用于任何和任何积极的标量。因此,
这意味着
整合双方的14)来,我们可以获得
这意味着不平等(12)持有。证明已经完成。
3所示。健壮的P-sD控制设计
本节的目的是开发一个健壮的P-sD状态反馈控制器不仅指数稳定半线性PDE系统(3)- (6),但也实现了与规定的扰动衰减性能水平。
考虑以下系统的李雅普诺夫函数(5),(6)和(8): 在哪里是一个真正的增益矩阵决定。的时间导数系统的解决方案(5),(6)和(8)是由 分部积分和考虑(5)产量 应用的假设4,对于任何一个标量, 替换(18)和(19)(17)意味着 在哪里和 结合(4)和(20.)给 在哪里和
从上面的分析,我们有如下定理。
定理6。考虑到半线性PDE系统(3)- (6)P-sD控制器(7)。对于一些给定标量和闭环PDE系统指数稳定衰减率和扰动衰减,如果存在一个矩阵,矩阵,,一个积极的标量满足以下LMI: 在哪里和。在这种情况下,增益矩阵,可以构造成
证明。集
通过预处理和post-multiplying矩阵的矩阵,分别
使用舒尔补两次,LMI (24)相当于不平等。自和,我们可以得到不平等。
的不平等和(22),我们就可以开车
自,我们可以获得从(28),
积分(29日)来收益率
这意味着
自我们获得(9)(31日)。
接下来,我们将展示与给定的衰变率指数稳定性disturbance-free系统的(5),(6)和(8)。当不平等(20.)可以写成
我们可以很容易的得到从。因此,不平等(32)可进一步写成
集成的(33)来收益率
自,它很容易观察到由(16)满足如下不等式:
在哪里和是两个积极的标量。不平等(34)和(35)意味着
因此,从定义2和(36),disturbance-free系统(5),(6)和(8)与给定的衰变率指数稳定。从定义3闭环系统(5),(6)和(8)与给定的衰变率指数稳定和扰动衰减。此外,从(26),我们(25)。证明已经完成。
从定理6,因为控制器(7)已被证明是一种有效的控制可以减弱的效果不确定的外部干扰,它呼吁消除外部干扰带来的影响,也就是说,使衰减程度尽可能小。为了实现这一目标,对于一个给定的衰减率,设置,我们认为以下最小化优化问题: 下面的LMI
注7。注意,控制设计提出了不同于报告的结果(18,19]。的结果(18)只考虑简单的一类半线性抛物PDE系统指数稳定。这项研究的结果之间的主要区别,19)考虑的是系统在后者一个是一类半线性一阶双曲PDE系统,而该系统解决了在这个研究是一类半线性抛物PDE系统。另一方面,不同于SDLMI-based控制设计(18,19),提出了本研究的主要结果标准LMI而言,可以通过现有的直接验证凸优化技术(20.,21]。
4所示。仿真研究FHN方程
为了说明提出方法的有效性,FHN方程的控制问题是,这是一个波浪行为模型广泛应用于易激动的媒体在生物学22)和化学(23]。FHN方程封闭如下描述: 边界条件 和初始条件 在哪里和状态变量和是操纵输入。,,表示独立时间、空间变量,分别和空间域的长度。和初始条件。
更直观地说明了该设计方法的有效性,为上述值,我们首先通过仿真验证,操作稳定状态和的系统(39)- (41)是不稳定的。初始条件(41)被认为是和。空间域的长度设置为20;也就是说,。扰动输入选择。图2显示了开环进化的概要文件和从初始条件。它很容易观察到的从图2的平衡和的系统(39)- (41)是不稳定的,,,。
(一)
(b)
方程(39)可以写成PDE的形式(3)使用以下参数: 在哪里和是一个非线性项。控制输出被选为。因此,参数矩阵(4)被选为和。
从图2,我们可以很容易地观察到,,,。让。的参数令人满意的假设4被选为 我们第一次表明了设计方法的有效性。集。解决优化问题(37),我们可以得到优化的程度的衰减作为。设置和解决LMI (24),控制增益矩阵(7)可以推导如下: 应用P-sD控制器(7)中给出的控制增益矩阵(44)的半线性PDE系统(39)- (41),进化的闭环配置文件和如图3,这意味着该P-sD控制器(7)中给出的控制增益矩阵(44)可以稳定半线性PDE系统(39)- (41)。此外,概要的进化如图4。
(一)
(b)
定义的函数作为 图5显示的价值。从这个图中,我们可以看到对于所有的时间,这意味着控制性能(9)是保证。
5。结论
在本文中,我们解决问题的鲁棒性P-sD状态反馈控制器设计了一类半线性抛物PDE系统与外部干扰。基于李雅普诺夫方法,健壮P-sD状态反馈控制器设计是制定一个标准的LMI优化问题。该控制器不仅可以半线性PDE系统指数稳定而且也满足性能(9)。尽可能消除外部干扰造成的影响最小化的优化问题。最后,开发设计方法成功地应用于FHN的控制方程,并实现仿真结果说明了其有效性。相比一个节点,有趣的是研究集体控制耦合网络中多个节点所描述的非线性抛物pde在未来工作。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这部分工作是支持下由中国国家自然科学基金资助61273012,部分大学科技计划项目的资助下山东省J12LN91 J13LN84,部分由山东省科技发展计划项目在资助2012 yd01052部分和临沂大学的应用数学增强项目。作者欣然承认洞察力的副主编和匿名评论者的评论和建议,这有助于提高本研究的质量。