文摘
我们研究强制Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程。我们证明了方程不是软弱的自伴的;然而,它是非线性自伴的。通过使用一个守恒定律一般定理由于指甲Ibragimov和对称发电机,我们发现这些偏微分方程的守恒定律,没有经典的拉格朗日。我们还将展示一些方程的精确解的特例。
1。介绍
在最近的一篇论文1),Eloe和乌斯曼认为阻尼外部兴奋Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程的类型 在哪里和非负常数是与阻尼效应的强度成正比。方程(1)引入模型长波浪非线性色散系统。一些特殊情况(1)研究[2,3]。如果和,,,,然后(1)减少庆祝Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程 著名的BBM方程(2)在(派生4适度长波方程在非线性色散系统。作者推导出三个守恒定律(2),也被认为是强迫方程。在[5),这是证明这些守恒定律是唯一保护法律承认的BBM方程。在[6),一个家庭的BBM方程的强非线性色散项被认为是对称的角度分析。对称性减少来自最优的代数系统,导致系统的常微分方程。特殊值的参数方程,许多精确解所表达的各种单一和组合nondegenerative雅可比椭圆函数解和退行性解决方案(扭结孤子,和compactons)。在[7),外地一家Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程的对称性进行了研究。在[8)的家庭Benjamin-Bona-Mahony与强非线性色散方程,方程的子类是自伴的决心和一些重要的守恒定律。在[9]里,席尔瓦和Freire表明,BBM方程严格自伴的和缩放不变性的守恒定律得到成立。
在[1),作者获得的分析稳态解(1),他们研究了一些行波解的性质使用摄动法。
在[10),第一作者介绍了弱self-adjointness的定义和显示替换可以使用更一般的替换,替换在哪里不仅涉及到变量而且独立的变量。在[11),Ibragimov指出,在构建的守恒定律,它仅仅是重要的不恒等的定义,介绍了非线性自伴的方程;也就是说,替换可以使用更一般的替换,替换在哪里不仅涉及到变量而且其衍生品以及独立变量;也就是说,。
在本文中,我们考虑一个泛化的阻尼外部兴奋Benjamin-Bona-Mahony类型方程(1),也就是说,迫使BMM类型方程 在哪里和是负的常数阻尼效应的强度成正比,是一个任意函数的变量和。
本文的目的是证明(3)是非线性自伴的。我们确定,用谎言发电机(3的符号和技术),12),一些重要的守恒定律(3)。最后,我们提出一些具体解决方案的一种特殊情况(3)。
2。自共轭非线性自共轭方程
考虑一个阶偏微分方程 与独立变量和一个因变量,在那里,表示集的偏导数,第一,第二,等等,,。伴随方程(4)是 与 在哪里 表示衍生品(欧拉算子)和变分是一个新的因变量。在这里, 总变异。
定义1。方程(4)据说是自伴的如果从伴随方程获得方程(5)替换, 是相同的原始方程(4)。
定义2。方程(4)据说是弱自伴的如果从伴随方程获得方程(5)替换,某些功能这样(或),,是相同的原始方程。
定义3。方程(4)据说是非线性自伴的如果从伴随方程获得方程(5)替换,某些功能这样原始方程是相同的(4)。
2.1。子类的非线性自伴的方程
让我们挑出一些非线性自共轭方程方程的形式(3)。方程(6)的收益率 设置在(10),我们得到 现在,我们假设 在哪里是一个待定系数。条件(12)读 比较系数的不同的衍生品,我们获得 在哪里和满足下列条件: 从上面,我们得到 与必须满足以下条件: 我们现在可以状态下面的定理。
定理4。方程(3)是非线性自伴的 对于任何函数和满足条件(17)。
特别是,我们可以状态以下定理。
定理5。方程(3为任意函数)是非线性自伴的与
3所示。守恒定律:一般定理
我们使用下面的定理在守恒定律证明了(12]。
定理6。任何谎言,Lie-Backlund或非本地的对称 (4)提供了一个守恒定律对于系统(4),(5)。守恒的向量是由 在哪里和定义如下:
让我们运用定理6非线性自共轭方程: 在哪里 提供的发电机 在这里,必须满足。我们得到了法律保护 与 在哪里 我们简化了守恒的向量由转让条款的形式从来并获得
4所示。确切的解决方案
在本节中,我们获得的解决方案(3)当和;我们考虑以下方程: 这个方程有两个翻译对称性;也就是说,和。我们第一次使用这两个对称和变换(30.)为一个常微分方程。方程,然后采用最简单的方法,我们得到精确解。
4.1。对称的减少(30.)
对称产生group-invariant解决方案 在哪里是一个不变的。替换(31日)(30.在非线性三阶常微分方程)的结果
4.2。使用简单的方程精确解的方法
让我们简单回顾一下最简单的方程方法(13,14]。考虑的解决方案(32)的形式 在哪里满足伯努利或黎卡提微分方程,是一个正整数,可以由一个平衡过程(14),系数参数被确定。
我们考虑的伯努利方程给出 一个解决方案的形式 黎卡提微分方程的 我们将使用这两个解决方案 在哪里和是一个积分常数。
4.2.1。准备解决方案(30.)利用伯努利方程作为最简单的方程
在这种情况下,平衡过程(14)给因此解决方案(32)的形式 现在,用(38)(32和利用34),然后将所有系数的函数为零,我们获得一个代数方程组,,。
解决这个代数方程组,借助数学软件,我们获得 因此,一个解决方案(30.)是 在哪里和是一个积分常数。
4.2.2。解决方案(30.)使用黎卡提微分方程作为最简单的方程
平衡过程收益率的解决方案(32)的形式 再次用(41)(32)和利用黎卡提微分方程(36),我们得到,和之前一样,一个代数方程组的。解决代数方程组,得到 因此解决方案(30.) 在哪里和是一个积分常数。
5。结论
我们已经证明了广义迫使BBM方程(3)是非线性自伴的。我们已经确定,用谎言发电机(3的符号和技术),12),一些重要的守恒定律(3)。最后,我们提出了一些具体解决方案的一种特殊情况(3)。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
玛丽亚Luz Gandarias承认军政府的安达卢西亚的支持组fqm - 201和Chaudry马苏德Khalique感谢西北大学,麦非肯校园,继续支持。