文摘
介绍了变分迭代法求解广义Degasperis-Procesi方程。首先,根据变分迭代,拉格朗日乘子发现后修正功能。此外,几个近似的这是聚合获得,Degasperis-Procesi方程的精确解将通过使用传统的和合适的初始近似变分迭代法吗。最后,在扰动项,原始方程近似解将明确表示。
1。介绍
孤子理论已经广泛应用于物理、力学和燃烧科学。近年来,许多研究人员研究了孤子理论领域的冲击波(1,2),光散射、量子力学、大气物理学、神经网络、爆炸和燃烧(3]。有许多新方法搜索等非线性演化方程的孤子解双曲正切函数法(4[],齐次平衡方法5),雅可比椭圆函数展开法(3),和伪谱法(6]。
变分迭代法(VIM)开发,在1999年他(7- - - - - -13]。VIM提供快速收敛的连续近似精确解如果存在这样的一个解决方案;否则,一些可以用于数值近似。Adomian分解方法患有复杂的计算工作所需的推导Adomian多项式非线性项。VIM没有特定的要求,如线性化、小参数非线性算子。因此,VIM可以克服上述限制和摄动技术的限制,所以,它为我们提供了一个可能性,分析强非线性问题。另一方面,VIM能够极大地减少计算规模的同时仍然保持高精度的数值解14]。此外,方法的力量使它广泛的适用性,在处理大量的分析和数值程序。VIM被成功地应用于研究各种各样的微分方程。它是基于拉格朗日乘子,它的优点是简单和容易执行。结果,许多作者已经证明是一个强大的数学工具解决各种线性和非线性问题。例如,这种方法被用于解决非线性波方程和拉普拉斯方程Wazwaz [14]。VIM的求解常系数常微分方程的线性系统,研究了Khojasteh Salkuyeh [15]。亥姆霍兹方程研究了Momani和Abuasad16]。耿(17]介绍了分段VIM求解黎卡提微分方程。部分振动方程研究了Das (18]。此外,高阶边值问题被徐研究[19],努尔,Mohyud-Din [20.]。努尔et al。21应用修改他的变分迭代法求解奇异四阶抛物型偏微分方程。提议的修改是通过引入他的多项式校正功能。Ghorbani和Saberi-Nadjafi22)修改了VIM没有未知参数通过构造初始测试函数。Sevimlican [23]构造近似的格林函数通过使用VIM的电场矢量方程。
在本文中,我们考虑的是变分迭代方法求解广义Degasperis-Procesi方程。回顾一下,我们将暂时召回了VIM的部分2。
2。变分迭代法
在本节中,变分迭代法的基本概念(VIM)介绍了。这里描述的方法(7- - - - - -15]给出处理一般非线性问题。考虑到微分方程的形式 在哪里是一个线性算子,是一个非线性算子,非齐次项。根据他的变分迭代法,我们可以构造一个校正功能(1)如下: 在哪里是一个通用的拉格朗日乘子,这可以通过变分理论确定最优(12,24]。在这里被认为是一个受限制的变化(14,25)这意味着;下标表示近似。连续近似解决方案的,后,可以使用获得的拉格朗日乘子和零的近似从任何函数,选择满足初始条件。与确定,一些近似,跟进。因此,苛捐杂税的解决方案可以获得 事实上,VIM取决于初始近似的合适的选择。此外,我们使用一个著名的,强大的工具来证明通过VIM和获得的序列的收敛速度。这是巴拿赫不动点定理。
定理1(巴拿赫不动点定理)。假设是巴拿赫空间 是一个非线性映射,假设 为一个常数。然后有一个独特的定点。此外,序列 任意选择的收敛于不动点的。
根据定理1非线性映射 收敛的一个充分条件变分迭代方法是严格的收缩。此外,序列(2)收敛于不动点这也是解决问题(1)。一些修改证明了收敛速度和延长VIM级数解的收敛区间是建议在17,26- - - - - -30.]。
3所示。广义Degasperis-Procesi的变分迭代方程
Degasperis Procesi考虑以下家庭的三阶色散的守恒定律(31日), 在哪里,,,,,是真正的常数。在这个家庭中,只有三个方程满足渐近可积性条件(31日]。也就是说,如果,,,,,,(8)是KdV方程 如果,,,,,,(8)是Camassa-Holm方程 如果,,,,,,(8)是Degasperis-Procesi方程 应该提到碳氢键和基于方程都是派生的一个单参数的家人渐近浅水欧拉方程的近似。这说明,这两个方程物理相关;否则,基于方程将纯粹的理论兴趣。
变分迭代法KdV-Burgers和宽松的seventh-order KdV方程研究了苏(32]。在本文中,我们考虑广义Degasperis-Procesi方程 提出了在(33]。是广义扰动项。我们假设是一个足够光滑函数的变量。
步骤1。独立变量的转换: 在这里,是一个任意的复数。波数;波速。用(13)(12),我们有 在这里,的导数是关于;也就是说,。。
步骤2。从[34),我们找到特殊的解决方案,当是一样:
备注2。请注意,,,,,,在那里。这些解决方案包含其他四种形式命名,,,。
步骤3。使校正功能
在这里,,,,被认为是作为一个受限制的变化(35]。也就是说,
步骤4。在上述条件下,做出正确的功能固定与尊重;注意到,我们有
对于任意的从上面的关系,我们得到Euler-Language方程:
解决(19),我们得到
替换(20.)(16),我们的集成形式:
从上面的解决方案过程中,我们可以看到,近似解收敛于精确解。也就是说,,近似解的任意程度的准确Degasperis-Procesi方程的孤波。
第5步。计算的近似解。
根据集成形式(21),我们就可以计算出近似解。首先,我们(15)是零级近似解:
替代(15)(21)。我们获得一阶近似解
在这。
然后,替代(23)(21)。我们可以获得二阶近似解:
使用相同的方法,我们可以得到高阶近似解。
4所示。光学孤子微扰解和数值例子
特别,我们设置 然后(12)改变 我们获得零级的一阶近似解(20.)
5。结论
通过分析结构的左侧(8)的属性关于变量和分析的变分迭代公式,我们可以证明的函数序列决定(21)是一致收敛。函数的极限是方程的解。此外,零级近似解的孤子(8)中,;应该特别指出,更准确的识别乘数,越快近似收敛于精确解。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
青年基金会支持的工作是中国国家自然科学基金(批准号71101072)。