文摘

发病率的能量 ,定义为关联矩阵的奇异值的总和 ,是一个在化学物理学习与众所周知的应用程序数量。在这篇文章中,我们推导出封闭公式表达的入射能量3.12.12晶格,三角晶格,戈薇和 分别晶格。入射能量的同时,明确的渐近值在这些晶格得到利用的应用分析方法在软件的帮助下计算。

1。介绍

普遍问题感兴趣的物理、化学、和数学的计算的能量图(1- - - - - -3],它现在已经成为一个热门话题的研究;然而,几乎所有的文学处理有限的能量图。燕和张4)首先考虑渐近的能量无限点阵图;他们获得各种晶格的能量的渐近公式。历史上在晶格统计、六角晶格3.12.12晶格,三角晶格,戈薇和 晶格吸引了最多的注意力(4- - - - - -9]。伊辛自旋和XXZ /伊辛自旋的 研究了在10,11]。

让 是一个简单图 顶点,让 邻接矩阵,让 顶点度的对角矩阵 ,分别。的拉普拉斯算子的特征值 是 和无符号的拉普拉斯算子矩阵 。特征多项式 , 的 被称为 特征多项式或 多项式的 和用 。的光谱 由的 特征值也叫 光谱的 ,分别。众所周知, , , 对称半正定;然后我们表示的特征值 , , 通过 , , ,分别。细节在其理论中可以找到最近的论文(12- - - - - -14)和参考引用。

著名的能量图 一个简单的图 ,介绍了古特曼(1),被定义为 。可以用来估计的总数量 电子能量共轭碳氢化合物。作为一个模拟的 发病率能源 ,是一种新型的拓扑指数,灵感来自Nikiforov想法(2),Jooyandeh et al。15]介绍了概念 的图 作为 ,这是关联矩阵的奇异值的总和 。该指数已经吸引了广泛关注由于其广泛应用于物理、化学、图论,等等;更多的工作 ,读者被称为论文(15- - - - - -18]。

在[4,19)的能量 和基尔霍夫指数 环形的晶格进行了研究。这是一个有趣的问题来研究一些晶格的入射能量环形边界条件。出于以上结果,我们认为问题的计算 3.12.12晶格,三角晶格戈薇, 晶格与环形条件。

2。主要结果

2.1。3.12.12晶格

由物理学家(3.12.12晶格与环形边界条件5),用 ,见图1。


图1
的 晶格与环形边界条件(5]。

最近,3.12.12晶格的邻接谱提出了在5)如下。

定理1(见[5])。让 与环形3.12.12晶格边界条件。然后邻接谱 在哪里 , , , 。

下面的结果是一个重要的关系 和 。

认为,如果 是一个 正则图的顺序 ,然后 因此, 我们可以得出这样的结论: 定义的映射 地图的特征值 的特征值 可以被看作是一个同构的 光谱对应的 正则图的频谱。

假设 是一个 正则图与 顶点, 。然后

请注意, 线图的细分 这是一个 正则图与 顶点, 有 顶点。因此,我们得到了下面的定理。

定理2。让 3.12.12晶格和环形边界条件 , , , 。然后无表示的拉普拉斯算子的谱

通过入射能量的定义,我们可以很容易地得到的入射能量 。

定理3。让 , , , 。然后的入射能量 可以表示为

从上面定理,我们认为 因此,人们很容易到达的渐近值入射能量

最后一行的数值积分价值计算与MATLAB软件计算。

因此 渐近入射能量吗 。

2.2。三角晶格戈薇

三角晶格戈薇(5)与环形边界条件,用 图中所示2。


图2
的 晶格与环形边界条件(5]。

为了获得 环形边界条件,我们回忆的频谱和拉普拉斯算子的谱 。

定理4(见[5])。频谱的拉普拉斯算子的谱 是 在哪里 , , , 。

注意,三角晶格戈薇的线图 格和 是一个 正则图与 顶点。

因此,我们可以很容易地得到无表示的拉普拉斯算子的谱 : 在哪里 , , , 。

定理5。让 , , , 。然后的入射能量 可以表示为

因此,

上面的数值积分值意味着 渐近入射能量吗 。

注6。(相比5),作者推导的公式生成树的数目,能源和基尔霍夫索引三角晶格戈薇的环形边界条件(5),而我们已经处理了 3.12.12晶格,三角晶格戈薇,丰富和扩展了结果早些时候刘和严5]。

2.3。的 晶格

的 格(20.)与环形边界条件,用 ,可以由从一开始 平方晶格和添加两个对角线边缘广场,见图3。


图3
的 晶格与环形边界条件(20.]。

的特征值 取得了在20.]。

引理7。的特征值 是

请注意, 是一个 正则图。让 是无符号的拉普拉斯算子矩阵的 ,然后无表示的拉普拉斯算子的特征值 是

根据引理7和入射能量的定义,很容易推断出以下。

定理8。让 , , , ,然后的入射能量 可以表示为

同样地,我们就能很容易地获得 上面的数值积分值意味着 渐近入射能量吗 。总结,我们完成证明。

3所示。评论的结论

在本文中,我们推导出的公式和渐近公式表达的入射能量3.12.12晶格,三角晶格戈薇, 分别晶格与环形边界条件。

众所周知,处理这个问题的渐近发病率不同晶格的能量与自由边界不是一件容易的事;然而,我们可以将困难得多的问题通过的应用相对简单的分析方法和计算软件的帮助。事实上,我们的方法可以广泛用于处理其他晶格的渐近行为,同时可以获得一些有用的结果。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

j·b·刘的工作部分是支持中国安徽省自然科学基金批准号下KJ2013B105,中国和美国国家科学基金会资助。11471016,和11401004。j·谢的工作由中国安徽省自然科学基金批准号下1208085 ma15和关键项目的基础科学研究、安徽省,教育主管部门批准号KJ2014ZD30和合肥大学重点建设学科基础的批准号2014 xk08。