文摘
探讨病毒感染模型的动态行为与一般的易感宿主细胞之间的接触率和免费的病毒颗粒。如果基本的病毒的繁殖数量小于团结,拉萨尔的不变性原理,无病平衡点是全局渐近稳定的。如果基本繁殖的病毒数量大于团结,然后病毒仍在宿主和地方病平衡点是局部渐近稳定的。
1。介绍
病毒感染宿主中的,如乙型肝炎病毒(HBV)、丙型肝炎病毒(HCV),和人类免疫缺陷病毒(HIV)感染,是一个复杂的动力学过程,数学模型是非常重要的,可以给一只手来理解身体的反应之间的复杂性和变异条件(1- - - - - -6]。
基本的病毒感染模型包含三个变量,易感宿主细胞()、感染宿主细胞(),免费的病毒颗粒(),它可以由以下微分方程(7,8]: 在易感宿主细胞产生以恒定速率,,死的速度和感染的速度。感染宿主细胞产生的速度和死亡的速度。免费的病毒粒子释放感染宿主细胞的速度和死亡的速度。假设参数,,,,,都是积极的常量。
请注意,有一个假设是基于感染术语质量作用原理,这意味着有一个常数接触率()易感宿主细胞和病毒粒子之间的(1)。然而,许多microparasitic感染的实验表明,感染率(可能是一个非线性关系3,9- - - - - -11),如感染率存在剂量依赖的相关性。因此,为满足更多的生物实践,我们取代常数接触率(与一般的接触率())易感细胞和病毒粒子之间获得以下修改病毒感染模型: 接触率函数满足以下假设(H1):(H1) 连续可微的,,和。
本文的主要目的是进行数学分析系统(2)和预测是否感染消失或幸存。本文的组织如下。在下一节中,给出了一些初步结果,包括系统的耗散度(2),基本的定义复制病毒的数量,以及无病平衡点和地方病平衡点的存在。节3,通过分析相应的特征方程,研究了局部稳定性的平衡。节4,通过使用合适的李雅普诺夫函数和拉萨尔的不变性原理12),我们首先证明如果基本繁殖数量小于团结,无病平衡点是全局渐近稳定的。然后利用定理4.6 (13),我们获得的一致持久性(2)如果基本繁殖数量大于团结。简要讨论了部分5结束这项工作。
2。初步结果
在本节中,我们首先显示系统解决方案(2)是积极的,最终有界的。然后给出可行的平衡的存在基本条件下繁殖的病毒数量。
因为组件的生物学意义,我们专注于模型第八分仪并考虑系统(2)与初始条件
下面的结果表明,系统(2)是耗散。
定理1。在初始条件下(3),所有解决方案的系统(2)是积极的并且存在一个常数满足,这样所有的解决方案,,对于所有足够大。
证明。请注意,,和。这意味着对所有,前提是。假设并不总是积极的。让是第一次这样。的第一个方程(2)我们有,这意味着为足够小的,一个矛盾。因此,是正对所有。此外,通过第二个和第三个方程(2),我们有
对所有。因此,它很容易看到和与初始条件是积极的(3)。
接下来,我们最终有界性解决方案的草图参数(2)。让,,,。因为所有的解决方案(2)是积极的,我们有
因此,和对于所有足够大,因此,,,最终有界的一些积极的常数。
注意,一个免费的病毒粒子的平均寿命和参数破裂的大小,这意味着病毒粒子的总数由受感染的细胞在其寿命。因此,感染过程的一开始,新病毒粒子的平均数量从一个病毒粒子生成,由[基本繁殖的病毒数量14,15),可以被定义为
现在,我们开始找到平衡模型(2)由以下代数系统
解决的第三个代数方程(7),我们可以获得。通过结合这平等的第二个方程(7),我们有或。当,很容易和第三个和第一个方程(7);也就是说,系统(2总是有一个无病平衡状态,表示。如果,替换在第一个方程(7),我们有 请注意, 因此,如果,也就是说,,都有一个独特的积极支持(8)。
我们在以下结果总结上述分析。
命题2。对于系统(2),无病平衡总是存在。此外,唯一的地方病平衡点只存在如果;在这里,,独特的正根(8)。
3所示。局部稳定性
在本节中,我们研究每个可行的局部稳定性的平衡系统(2分别)通过分析对应的特征方程。
雅可比矩阵(2)是 在无病平衡点, 显然,右下方的行列式矩阵是积极和跟踪是负的前提,所以在这种情况下,它的特征值负实际部分。因此,局部渐近稳定当且仅当吗。
当,地方病平衡点存在,和雅可比矩阵是 特征方程(12)是由 在这 在这里,我们使用和假设(H1);也就是说,。
因为和都是积极的,由Routh-Hurwitz标准,局部渐近稳定当且仅当吗。一个简单的代数计算后,我们有 是积极的,因为。因此,局部渐近稳定当且仅当吗。
我们总结一下上面的结果和建议2在以下定理。
定理3。如果,那么只有无病平衡存在,是局部渐近稳定的。当,不稳定和地方病平衡点看来,是局部渐近稳定。
4所示。全球稳定和疾病的持久性
全球稳定的平衡,我们首先有以下。
定理4。无病平衡如果仅是全局渐近稳定存在;也就是说,。
证明。定义一个李雅普诺夫函数
沿着轨迹系统(2),我们有
基于定理1,我们知道所有解决方案的系统(2)是积极的。采取,我们有,;也就是说,是一个单调递增函数。因此,总是有效的,如果。因此,所有的右手边(17)是负值的时候,这意味着和当且仅当和。结果,最大不变是单例。根据定理的结果3和拉萨尔的不变性原理12),我们有是全局渐近稳定如果。
接下来,我们调查的一致持久性(2),有以下结果。
定理5。如果,然后系统(2)是均匀持久;也就是说,存在(独立于初始条件),等,,所有解决方案(2)与初始条件(3)。
证明。结果遵循从应用定理4.6 (13),与和。由于引理的证明类似于3.5 (16),这里我们只素描的修改是一种弱反射极。
自,也就是说,和函数的连续性,有一个足够小的常数这样是有效的。假设存在一个解决方案这样。因此,当是足够大,我们有吗
的第二个方程(2),我们有
拿一个辅助系统(2),
很明显,独特的平衡(20.)和雅可比矩阵(20.)是由
经过简单的计算,我们有矩阵的行列式(21)
有效期为一些足够小常数吗如果。因此,在这种情况下是不稳定的。这是一个矛盾。作为一个结果,是一种弱反射极。
5。讨论
考虑到生物实践在病毒或microparasitic感染(3,9- - - - - -11),我们提出了一个病毒感染模型与一般易感细胞和病毒颗粒之间的接触率,这是一个基本的病毒感染模型的泛化(7,8]。的生物意义的假设(H1),免费的病毒颗粒的累积会影响易感细胞和病毒颗粒之间的接触率,和联系人功能逐渐弱的增加免费的病毒颗粒。
虽然得到平衡点的稳定性的严格的分析(17基本模型),它通常是非常复杂的(18),我们不能获得地方病平衡点的全局稳定性。然而,我们已经无病平衡点的全局渐近稳定的条件和持久性的病毒。此外,系统的相图(2)表明,所有解决方案倾向于独特的疾病稳定状态在不同的初始条件(图1)。因此,我们推测是全局渐近稳定只有存在尽管严格的数学证明仍然开放。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者非常感谢匿名评论者对他们有帮助的意见和建议。这项工作是由中国国家自然科学基金(11271369和11271369号)。