文摘

在这个工作我们计算行列式在一定对称矩阵和逆矩阵的瑞利总结。作为一种特殊的情况下我们也获得伯努利的决定因素和逆矩阵和相关的号码。

1。介绍

伯努利数的序列数学是最重要的一个序列。数论有很深的联系,例如,伯努利数是用来表达的价值观,在那里黎曼ζ函数和吗是一个正整数(1,2]。在分析伯努利数也很重要,例如,他们出现在Euler-Maclaurin公式(1),这在数学和物理是很重要的。渐近的伯努利数也很重要不同寻常的功能;例如,在[3我们证明了一个完整的渐近展开式伽马函数在复平面上的伯努利多项式多项式和伯努利方程。伯努利数的应用程序在应用数学只是太多的列出所有;这里只列出了其中的一些,例如,看到[4- - - - - -6]。瑞利的资金概括众所周知,是一种理性的倍数吗(7]。在这个工作我们第一次获得一定的对称矩阵的逆矩阵和行列式的定义然后专门定义的矩阵伯努利数的结果及相关数据。

但是我们必须强调,目前的工作展示了一个方法来计算某些汉克尔矩阵的逆,而不是决定因素。事实上有许多已知的方法来计算行列式;例如,参见[1,8- - - - - -11]。

2。预赛

为第一类贝塞尔函数被定义为(1,7,11,12]: 在哪里 作为一个特例 众所周知,甚至整个函数有无限多的零,所有这一切是真实的。让 是所有的积极0;然后瑞利和被定义为(7] 很明显(1), 在伯努利数是由(1,2,12] 相关的数据是由(2,13] 为和;众所周知,

3所示。主要结果

定理1。给定一个非负整数,一个 为。

推论2。对于任何非负整数,一个 或者,同样,

4所示。证明

给出了概率测度在这样对所有,我们定义的内积平方可积函数和通过 为每一个,让与为在哪里是一个多项式序列这样,对于每个,是线性无关的。然后有一个独特的正交系统(1,10,11]: 积极的首项系数。显然我们有对于一些实数为和为。

引理3。对于每一个非负整数,让和。然后

证明。从(15),很明显, 为每一个,因为这两个和相同的一组多项式是一个基础,对于每一个必须可逆的。我们表示;然后为。很明显,为。因此, 为,这是 因此。

4.1。定理的证明1

归一化甚至秩序Lommel多项式是由(11] 为和。他们满足正交关系 为,很明显,th时刻对正交性的测量 让为;然后 由引理3,矩阵有行列式 和它的逆矩阵有元素

4.2。推论的证明2

从(24),(25)和(6),我们得到 他们简化 由(9),我们得到 简化为(12)和(13),分别。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

第一和通讯作者的工作,张Ruiming,部分是由中国国家自然科学基金支持,批准号11371294。Derchyi吴,他也感谢李教授Jyh-Hao为他们的热情在他访问数学研究所,台北中央研究院。