文摘
根据一般黎曼函数和大臣的双线性形式,我们设计出一个简单的方法来显式地构造的双周期波解维非线性偏微分方程。由此产生的理论应用于维Sawada-Kotera方程,从而产生其双周期波解。周期波解和孤子解之间的关系是严格建立了一个限制的过程。
1。介绍
总重要的是调查非线性演化方程的精确解,研究中发挥重要作用的非线性模型的自然和社会现象。非线性波现象出现在各种科学和工程领域,如流体力学、孤子理论,流体力学,和湍流理论,光学纤维、混沌理论、生物学、物理学和化学。在过去的三十年里,各种强大的方法被提出,如扩展的双曲正切法(1齐次平衡方法],[2],李群方法[3),朗斯基矩阵技术(4,5),达布变换方法(6),副大臣的双线性方法(7- - - - - -10],algebro-geometrical方法(11]。
副大臣的双线性方法提供了一种强大的方法来获得孤子解非线性可积方程和它的基础是副大臣双线性公式。一旦获得相应的双线性形式,multisoliton解决方案和合理的解决非线性微分方程可以计算系统的方式。在1980年代,中村副大臣双线性形式的基础上,提出了一个全面的方法来构造一种multiperiodic解非线性方程组在他的论文12,13),这种方法的解决方案不需要任何松懈对及其诱导黎曼曲面的方程。该方法的优点是,它只依赖于存在副大臣双线性形式。此外,所有参数出现在黎曼矩阵是完全随意的,而algebro-geometric解决方案涉及特定的黎曼常量,这通常是很难计算的。
近年来,鸿等人已经扩展这个方法探讨离散户田拓夫晶格(14),维修改Bogoyavlenskii-Schiff方程(15),和超对称KdV-Sawada-Kotera-Ramani方程16]。马等人构建one-periodic two-periodic波解的一类维副大臣双线性方程(17]。田和张给了一些进化方程的周期解的援助副大臣双线性方法和θ的函数身份(18,19]。
我们的目标在当前工作是提高风机的现有方法的主要步骤和周润发(15到三个维度。我们提出了一个定理,这实际上给我们提供了一个直接的和统一的方式申请的类维非线性偏微分方程。一旦这样的方程是用双线性形式,其双周期波解可以直接通过使用这个定理。
本文的组织如下。节2我们简要介绍副大臣双线性算子和黎曼θ的函数。特别是,我们提出一个定理构造周期波解维非线性偏微分方程。我们的方法的应用,在部分3,我们构造双周期波解维Sawada-Kotera方程。此外,它是严格地证明了双周期波解往往小振幅限制下的孤子解。最后,提出了一些结论和讨论部分4。
2。副大臣双线性算子和黎曼θ的函数
在本节中,我们简要介绍将在本文中使用的符号。这里的双线性算子是由 与。
命题1。副大臣双线性运算符有属性
在哪里,是常数。更一般的,人
在哪里是一个多项式运营商呢。这些属性是有用的在推导副大臣的双线性形式和建设周期波解非线性方程。
然后,要考虑一般黎曼函数并讨论它的周期性;黎曼函数读取
在哪里、复杂的参数,,和复杂的相变量,叫做θ黎曼函数的矩阵。
在θ的定义函数(4),这个案子以后,使用的符号,为简单起见。此外,有。
定义2。一个函数在据说是准周期的与基本时期如果是线性相关的和存在一个功能在,这样
特别是,被称为双周期是,它成为周期的当且仅当。
命题3。θ的函数有周期性的性质: 一个向量1和问好时期的θ的函数因子1和,分别。
命题4。亚纯函数在如下: 那么认为 也就是说,是一个与1和双周期函数。
证明。通过使用(6),我们很容易知道
然后与各自的差异化,我们有
相当于
区分(11与各自的)立即再次证明了公式(8)。
定理5。假设和两个黎曼θ的函数,然后副大臣双线性算子,,表现出以下完美属性时作用于一对θ的函数:
的符号代表两种不同的转换对应。双线性公式为,是一样的(12)代替与和。
一般来说,对于一个多项式算子关于,,,一个有用的公式如下:
在哪里
和一个表示向量。
证明。利用公式(2),我们获得的关系 转移总和指数为,然后 公式(13从()之前12)。公式(13)和(14)暗示,如果满足以下方程 然后和双线性方程的周期波的解决方案:
注6。公式(17)给我们提供了一个统一的方法来构造周期波解非线性方程。一旦一个方程写双线性形式,那么它的周期波解可以直接得到解决系统(17)。
3所示。(2 + 1)维耗散Sawada-Kotera方程
在本节中,我们将关注以下维Sawada-Kotera (DSK)模型(20.- - - - - -22]: 在哪里是一个函数的变量,和,和其他数量也同样定义。这是广泛应用于物理学的许多分支,如共形场论、二维量子引力规范场理论,非线性科学Liuvill流守恒方程。当,(19)减少Sawada-Kotera方程[23]: 方程(19),b型Kadomtsev-Petviashvili (KP)模式,也被称为BKP方程,因为它是与b型组(24]。通过截断Painleve扩张和副大臣双线性方法,multisoliton解决方案(19)派生和图形中讨论25]。Bell-polynomial操作框架,Bell-polynomial表达式和Bell-polynomial-typed BT (19)在(26]。这里我们构造的双周期波解,表明one-soliton解可以得到双周期波解的极限情况。
3.1。构建双周期波解(2 + 1)DSK方程
我们考虑一个变量变换 用(21)(19)和集成,然后我们得到以下副大臣的双线性形式: 在哪里是一个积分常数。
注7。常数可能采取的是零孤子建设解决方案。然而,在我们的双周期波情况下,非零常数起着重要的作用,不能下降。
当,(19)承认one-soliton解决方案21]
在阶段变量,,,是常数。接下来,我们将看到周期性的解决方案(23);这个函数选择是一个黎曼θ的函数;也就是说,
在阶段变量。根据命题4,我们将
这表明,解决方案吗是一个双和两个基本周期1,周期函数吗。
通过引入的符号
用(24)(22),使用公式(17)和(26),导致以下线性系统:
我们用符号
这个系统承认一个明确的解决方案
我们省略了符号在哪里后,简单的公式(29日)。因此,我们得到一个双周期波解(19),读
θ的函数由(4)的情况下和参数,由(29日),而其他参数,,都是免费的。
3.2。双周期波的特性和渐近性
双周期波解(30.)拥有一个简单的描述如下。(我)它有一个单相变量;也就是说,它是一维的。(2)它有两个基本阶段1和在阶段变量。(3)的速度参数是由 (iv)它只有一个波模式,它可以被视为一种平行重叠one-soliton波的叠加,放置一个周期。
现在,我们进一步考虑双周期波解的渐近性质。周期波解之间的关系(30.)和one-soliton解决方案(23)可以建立如下。
定理8。如果向量是一个系统的解决方案(27)和双周期波解(30.),我们让 在哪里,,给出了(23)。然后下面的渐近性质
它意味着双周期解(30.)倾向于one-soliton解决方案(23下一个小幅度的限制。换句话说,周期解(30.)倾向于解决方案在小振幅限制;即
证明。我们明确扩大系统的系数(27)如下: 让系统的解决方案(27)的形式 用扩张(35)和(36)进入系统(27),第二个方程是除以,让,我们立即获得以下关系: 有一个解决方案 结合(32)和(38)导致 因此,我们得出这样的结论: 在下面,我们考虑双周期波解的渐近性质(30.)下的限制。为此,我们展开黎曼θ的函数并利用表达式(40);由此可见, 因此,我们得出结论,周期解(30.)只是孤波解(23),振幅。
4所示。结论
摘要副大臣的双线性方法的基础上,结合一般黎曼函数的理论,我们推导出双周期波解的构建方法维非线性偏微分方程。作为应用程序的方法,我们构造双周期波解维Sawada-Kotera方程。本文获得的双周期波解是θ的函数系列解决方案。通过一个限制的过程,我们分析了渐近行为的双周期波,获得周期波解和孤子解之间的关系。我们注意到,该方法可以推广到的情况构建周期波解。但更多的约束方程需要满意,因此计算将更加复杂。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持的基础研究基金为中央大学(2013 xk03),中国国家自然科学基金(批准号11371361),中国国家自然科学基金(批准号11271008)。