文摘

我们考虑非线性pseudoparabolic方程与记忆 , , ,一个初始条件和狄利克雷边界条件。消极的初始能量和合适的条件下p, ,放松的功能 ,我们证明一个限定时间爆破结果通过使用凹度的方法。

1。介绍

在本文中,我们考虑一个类的初始边值问题的非线性pseudoparabolic方程与记忆术语: 在哪里 是一个有限域平滑边界 , 是一个给定的连续函数, , , 都是实常数参数, , 是所谓的 拉普拉斯算子。这种类型的方程描述了各种重要的物理过程,如导热的分析在材料的记忆中,电信号与非线性阻尼非线性电报线,粘性流在材料与记忆1),非线性弹性杆的振动粘度(2),非线性双向浅水波[3,无碰撞的等离子体中离子声波的速度演化波当调用一个离子粘度(4]。

方程(1)包含了许多重要的数学物理模型。

没有记忆,粘性项, 拉普拉斯算子的术语 ,该模型降低了半线性抛物型方程: 存在、不存在的属性的解决方案(2),有许多结果(5- - - - - -9]。

没有记忆的词 拉普拉斯算子的术语 ,该模型降低了半线性pseudoparabolic方程: Kaikina et al。10讨论了周期边值问题(3)在某些假设形式的非线性函数 。曹et al。11]研究了一类周期pseudoparabolic类型方程的非线性周期性的来源问题。一个相当完整的分类指数 了,的存在和不存在非平凡周期解和非负。曹et al。12)处理半线性pseudoparabolic方程的柯西问题。当地的解决方案的存在性和唯一性证明,大时间行为进行了研究。Kaikina [13和徐和苏14]讨论了pseudoparabolic方程的初边值问题(3)在某些类型的非线性函数 。他们获得了一些当地的解决方案的存在性和唯一性的充分条件和全球的大时间行为的解决方案。

在缺乏记忆项和粘性项 ,(1)成为非线性抛物型方程 拉普拉斯非线性项: 堤(15]研究的初始边值问题(4), ,在那里 。他获得全局弱解的存在性通过使用潜在的好方法。刘和赵16)被认为是关键的初始条件相同的问题 或 并证明了全球解决方案的存在这个问题。徐et al。17(讨论)4在高能级), 如果 和 如果 。他们证明了有限时间爆破解的比较原理和变分方法。Messaoudi (18(相关)认为一个初始边值问题4),并证明了,在合适的条件下 ,一个放大的结果解决方案与消失或消极的初始能量。

没有粘性项的和 拉普拉斯算子 ,Gripenberg [19)考虑非线性抛物方程沃尔泰拉积分方程: 他调查的初始边值问题(5),建立了强大的全球存在问题的解决方案。

没有粘性项的和 拉普拉斯算子 ,因为 方程,该模型降低了 阴(20.)获得的古典解的存在性7在单边增长的假设条件下)。Messaoudi [21]调查项和粘弹性记忆项的半线性抛物方程。他建立了有限时间爆破结果的解决方案与消极或消失的初始能量的非线性函数 。

我们所知,很少有工作的研究非线性pseudoparabolic方程与记忆沃尔泰拉积分类型的术语。商和郭22- - - - - -24]研究了初始边值问题和非线性pseudoparabolic方程的初值问题沃尔泰拉积分条件: 他们证明了解的存在唯一性,和全球强解的规律,给一些不存在的条件下的全球解决方案。2007年,Ptashnyk [25]研究了退化拟线性pseudoparabolic方程的初边值与记忆。他获得了一些存在全球解决方案的结果。到目前为止,没有任何研究工作的多维非线性pseudoparabolic方程与记忆。

在目前的工作中,我们处理的初始边界问题非线性pseudoparabolic与记忆的沃尔泰拉积分方程类型,阻尼项, 拉普拉斯算子: 在哪里 是一个有限域, 是一个给定的连续函数, , 是所谓的 拉普拉斯算子。通过使用凹度方法首先引入了莱文(5),在消极的初始能量和合适的条件下 ,放松的功能 ,我们证明存在限定时间爆破方案。

不失一般性,我们选择 在接下来的讨论。

2。预赛和主要结果

在本节中,我们介绍一些符号,需要基本的定义和重要的前题。

函数的 上定义 介绍

我们现在建立一个空间的函数,如下所示。让 表示水列夫空间与规范 。 表示的类 功能与紧凑的支持 。 表示的关闭 的 。希耳伯特空间 是一个水列夫空间的子空间 。

下面是基本的假设建立本文的主要结果:(一) ;(b) 是一个 函数满足

本文获得的结果,我们将介绍“修改”能量函数: 在哪里 类似以下引理的引理21)与轻微的修改。

引理1。假设(10)举行。让p满足 ,让 的解决方案(8)。然后 是nonincreasing函数;这是 此外,下面的能量不等式是适用的:

证明。用方程(8) ,集成 ,我们获得 (左边的最后一学期的16), 插入(17)(16),我们有 常规的解决方案。引理的证明1就完成了。这个结果是弱有效的解决方案,通过一个简单的密度参数。

现在我们考虑解决方案的有限时间爆破 的问题(8)。

定理2。让 满足(a),让放松的功能 是一个 函数满足(10)和(11)。假设 这样 。那么解决方案 的问题(8)炸毁在有限时间;也就是说,最大生存时间 的 是有限的,

证明。证明利用所谓的“凹度”参数。对于任何 ,让 为 。
直接计算产量 乘以(8), 和集成 , 这意味着 我们有 在哪里 使用施瓦茨不等式,我们有 由(26),我们有 因此, 在哪里 左边的第三个任期的(29日),我们有 由(29日)和(30.),我们有 利用引理1,我们有 然后 自 这意味着 在哪里 是一个积极的常数。
从上面的讨论中,我们看到 定义的 ,存在 ,这样 我们有 因此, 因此,这证明 在有限的时间达到0 。自 是独立于 ,我们可以假设 。
这意味着 或 这意味着 然后,立即遵循所需的断言。
备注1。在缺乏粘性项 或 拉普拉斯算子 的问题(8),方程减少(1) ,(2) ,(3) ,从证据的过程中,我们可以看到,定理的结果2仍然保持。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持中国的NSF(40890150和40890150)和(2008 b080701042)广东省科学项目。作者感谢匿名裁判的有益的意见和建议。