文摘
我们提出一个家庭最小的表面由起重平面调和映射的家庭。在这个过程中,我们使用Clunie和Sheil-Small剪切建筑平面谐波凸映射的一个方向。这个家庭最小的表面,通过连续变换,连接了三个著名的表面:Enneper表面波浪面、螺旋面。此外,识别过程用于识别表面提供了一个连接到表面,先给严格边界曲率估计研究在1988年由Hengartner和Schober工作。
1。介绍
最近的调查方法最小的表面结果利用了调和映射平面上(1- - - - - -7]。特别是Weierstrass-Enneper表示,为当地提供了一个公式表示的极小曲面使用,但在大多数情况下,作者一直未能确定最小图由相应的平面调和映射。例如,在[5],Hengartner Schober发现任何极小曲面曲率估计躺在一片领域,半平面,带有一个狭缝的缝面躺在实轴。对于每一个领域,他们发现表面的估计是锋利;然而,他们只能够识别提供严格的表面边界的三个领域。在本文中,我们确定剩下的两个表面。此外,我们构建一个家庭与家庭相关的最小图形调和映射的建立通过Clunie Sheil-Small剪切建设(8]。这个过程会导致之间的联系三个著名的表面:Enneper表面,波浪面、螺旋面。利用共轭调和映射之间的表面提供了一个进一步的识别方法和最小的表面。在这一过程中,我们扩展了家庭上面提到的两个参数家庭最小的图。
2。背景
我们首先定义背景谐波函数打开单位圆盘。让解析函数的集合解决零。定义的设置功能单价的和额外的正常化吗。一个调和函数与可以唯一地表示为与。此外,如果我们写,然后是感觉保留如果雅可比矩阵,的映射是正的。这个函数是本地单价的如果永远不会消失。路易的结果(9),是单价的本地和保留当且仅当对所有。在本例中,我们简单地说是本地单价的。此外,我们的电话单价的如果是一对一和保存。让谐的家庭单价的功能的形式与和。很明显。的扩张是函数给出的。
我们回想一下,一个域凸的方向吗,,如果每一行线平行和有一个连接的十字路口,一个域这是在每个方向是凸凸。如果,我们说凸在实轴的方向。下面的定理由于Clunie和Sheil-Small [8)通常被称为剪切构造和极小曲面结构将至关重要。
定理1。让。一个谐波本地单价的,是单价的映射到一个域凸的方向当且仅当是一个正形单价的映射的到一个域凸的方向。
我们现在把一些背景之前最小表面引入谐波之间的连接映射和最小的表面。
一个常规的表面可以参数化的地图吗写成。在一个给定的点存在一个法向量。让是一个切线方向,让曲线的交点的表面和飞机包含和。让的参数化关于arclength的法曲率方向是由我们认为表面具有二阶连续偏导数的参数表示。主曲率和表面的的最大和最小值吗作为在切平面范围在四面八方。平均曲率的表面是和一个表面是最小的在每一点上表面。几何,这意味着主曲率弯曲程度相同方向相反的正常。请注意,我们将使用术语最小图当最小表面没有self-intersections给定域。可以找到更多关于最小表面(10- - - - - -12]。
一个经典的方法连接两个最小的表面是通过所谓的共轭曲面。让和是参数化的表面区域成。然后和方面,考虑到共轭如果他们满足柯西黎曼方程。也就是说,他们满足和。此外,任何两个共轭最小表面和通过单参数可以加入家庭的最小的表面 显然,当,我们有极小曲面参数化当我们有最小曲面参数化。因此,对于,我们有一个家庭相关的最小的表面称为表面。
摘要三个最小的表面会出现螺旋面,波浪飞机,Enneper的表面。螺旋面可以参数化的在以下方式: 波浪平面可以参数化的通过 Enneper表面可以参数化的通过
值得注意的是,落下的石块和反思在飞机包含两个轴不改变最小表面的几何形状。
在本文中,我们将使用剪切建设(定理1)产生一个家庭调和映射,可以解除家族最小的表面,使用以下版本的Weierstrass-Enneper表示(cf。13,页177 - 178)。
定理2 (Weierstrass-Enneper表示)。让是一个单连通域包含原点。如果一个最小的图 参数化的保向等温参数,其基准平面投影定义了一个调和映射的到的扩张是一个解析函数的平方。相反,如果是一个低单价的映射的到与扩张一个解析函数的平方,然后,参数化 定义了一个最小投影到复平面的图。除了签署和任意加常数的选择在第三协调函数,这是唯一这样的表面。
虽然Weierstrass-Enneper表示定理指出,单价的调和映射电梯的极小曲面图,调和映射的扩张,是一个完美的平方总是电梯极小曲面,但没有保证表面图。
3所示。一个家庭最小的表面
在本节中,我们使用剪切建设来源于定理1建立一个家庭调和单叶函数的一系列凸向一个方向,电梯一个家庭最小的图中描述的定理2。此外,我们识别函数的最小图究竟电梯各种这个家庭的成员,并提供几个著名的最小表面之间的连接。在这样做,我们将确定表面利用Hengartner和Schober [5]显示紧张边界曲率估计表面躺在半平面和带有一个狭缝的缝面负实轴。最后,我们使用一个结果共轭表面引入两个参数家庭最小的表面。
在我们介绍调和映射的家庭之前,我们需要一些背景解析函数通常被称为广义Koebe函数。为,定义,,因为 我们很容易看到 请注意和。为,和凸在实轴的方向。此外,为,是凸的。从这,我们有下面的定理。
定理3。为,定义调和映射满足 归一化的在哪里是由(7)。然后和凸在实轴的方向,和作为变化从0到2,从脱衣舞映射到一个狭缝的映射转换。
证明。由定理1,和凸在实轴的方向。是什么还有待证明的映射性质。
使用(9)来解决和给了
为了了解映射的属性,我们执行一个改变的变量使用
与,这个替换导致
通过编写,和,再次,表明,它不是困难地图在加沙地带和地图到。
参见图1的图不同的价值观和。值得注意的是,通过上述工作,我们也会明确地描述的形象是该地区包含原点和有界的曲线在飞机。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
我们现在准备介绍一个家庭的最小图以后会扩展到最小图的两个参数家庭讨论的介绍。
定理4。为,定义调和映射满足(9)归一化。然后电梯到最小的图在为每一个。此外,是一个部分的螺旋面,是一个波浪平面的一部分,是一个Enneper表面的一部分。
证明。自通过定理2,电梯最小图为每一个。应用这个定理收益率以下的最小的图形表示:
是很难辨认的表征螺旋体的一部分,波浪平面,分别和Enneper表面。然而,在定理的证明3,应用变量的变化再一次写这些表示可以表示为
比较了表面的(16)的螺旋面参数化(2),我们看到交换第二和第三的坐标在(16)和缩放因子的4给螺旋面给出的公式(2)。从公式(2)延伸到正确的半平面,我们看到表面一样吗。也就是说,是螺旋体的一部分。同样,交换第二和第三的坐标在(17),比例的2倍,翻译由一个常数,我们有共轭曲面在(3)。自共轭波状表面平面本身,我们看到表面一样吗。因此,飞机是波浪的一部分。最后,用同样的方法做,表面一样吗,所以是Enneper表面的一部分。参见图2一个图像的表面,,。
一般来说,对于所有,在(9)提升到一个最小的图,和这张图是由
因此,作为参数增加从0到2,最小的图形变换不断从螺旋面波浪飞机最后Enneper表面。
现在明显的表面由Hengartner和Schober [5]获得大幅边界曲率估计确实是相关的定理4。即表面躺在整个半平面由Hengartner Schober是共轭的表面在(14)。随着波浪平面共轭本身,我们已经确定的表面5]随着波浪平面。进一步,表面躺在狭缝平面缝隙躺在实轴构造(5),我们现在把它看作一个多项式Enneper表面通过相同的改变的变量和上面类似的分析。
结果从定理4在表面的性质,,由由(9在定理3,我们使用以下定理提供了一个谐波之间的连接映射,共轭表面,和相关的表面提供了两个参数的最小图中描述的介绍。
定理5。让与凸,。定义的谐波函数这样满足,,,。为,定义是。然后电梯到最小的图在。此外,和共轭曲面和为每一个吗,是一个相关的表面。
证明。首先,观察的定理1,和地图到一个域凸在实轴的方向。其次,对,的扩张是。因此,通过这个定理,我们看到和地图域上凸的方向。
自只是一个旋转单叶调和函数,通过定理呢2,很明显电梯到最小的图。此外,对于和,
因此,仍需显示什么和共轭曲面。使用线(20.),我们看到的协调功能解析函数的虚部吗,,分别,而协调的功能分别是真正的部分。因此,和满足柯西黎曼方程和共轭曲面。
注意,在定理的证明5,我们已经表明,如果电梯最小图和是凸的,那么电梯共轭最小图。通过类似的方法,我们发现对于任何,如果在最小的图和电梯是凸的,那么在将提升它的共轭最小图。
推论6。为和,定义通过 在哪里被定义为(9)和规范化。然后为每个和,电梯到最小的图,为每一个,和共轭曲面。
证明。为和,让被定义为(21)。回想一下,和由(7),是凸的。这与(9)和定理5允许建设两个参数家庭最小的图使用的Weierstrass-Enneper表示定理2解除。对于一个固定的,是由表面吗在(13),(14)和(19)。因此,对于一个固定的,因为范围从来,表面转换从相关的表面在(13),(14)和(19)相应的共轭曲面。
进一步研究的问题(1)如前所述,定理2州,单价的谐波电梯映射到一个极小曲面图。尽管如此,调和映射与一个完美的平方扩张总是电梯极小曲面。没有保证表面图在其领域。因此,虽然我们只能确定这是不同,的必然结果6电梯到最小的图,我们猜想存在一些的,单价的,因此将解除的最小图定理2。进一步,似乎增加到两个,减少为零。表1总结了一些信息相关的图片和相应的最小表面的各种价值和提供一些证据支持的猜测。(2)此外,家庭的调和映射定理3也可以广义通过改变膨胀,。也就是说,对于和,让,在那里 这个案子是本文的基础。的情况下和,结果似乎极小曲面是一个螺旋面。这将是有趣的使用技术本文调查的家庭功能为。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
本文的初步调查例子阿曼达·柯蒂斯和瑞秋梅西克在2010年支持的杨百翰大学活NSF资助dms - 0755422。第二作者感谢杨百翰大学支持作为访问学者在2011年的春天。