文摘
一个先生们模型将一般非线性接触函数是制定和分析。当基本的繁殖数量无病平衡点是局部渐近稳定的。有一个独特的地方病平衡点局部渐近稳定。在一些情况下,地方病平衡点是全局渐近稳定的。最后,我们进行数值模拟来说明一些结果揭示了媒体报导说,可能是传染病控制的非常有效的方法。
1。介绍
媒体报道有一个巨大的影响和控制传染病的传播(1- - - - - -6]。摘要(7)认为,证据表明,面对致命或新颖的病原体,人们会改变他们的行为来减少他们的风险。
在[8],作者研究了媒体报道的影响疾病的传播,通过使用以下模型: 作者提出了一个在哪里与一般非线性接触模型的功能和和都是正的常数。在这里,通常是没有考虑到感染性个人和接触率最大接触率降低是由于受感染的个人的存在。每个人都不能避免接触别人在任何情况下它。当感染性个人出现在一个地区,人们减少与他人接触,以避免被感染时意识到被感染的潜在危险,更具传染性的个人报告,与他人接触敏感会越少。因此,假设。有限的力量感染由于接触是反映在饱和函数。总之,功能满足,,。
在本文中,使用相同的函数作为联系(8),我们研究一个模型与媒体报道。让,,表示易感个体的数量,感染者和恢复个人时间,分别。常微分方程的非负初始条件如下: 在这里,所有的变量和参数模型是负的。招聘率,代表了自然死亡率,是恒定的免疫力的损失,是疾病引起的恒定的死亡率,是恒定的回收率。
我们有,,,。所以, 是一个正不变集(2)。
2。平衡的存在
很容易看到,模型(2总是有一个无病平衡点,在那里。让。然后模型(2)可以写成 在哪里 根据定理2 (9),基本繁殖数量的模型(2)是
之后,建立了地方病平衡点的存在性和唯一性。流行的组件的平衡满足 这给了
用(8)和(9)(10),我们得到,在那里 因此,如果一个地方病平衡点存在,其坐标必须是根在这一期间。
请注意, 因此,是单调递减的。
除此之外, 因此,当,,具有独特的正根在这一期间。和唯一确定的。因此,模型(2)有一个独特的地方性平衡如果。否则,没有流行的平衡。
3所示。无病平衡点的稳定性
定理1。无病平衡是局部渐近稳定和不稳定。
证明。系统的雅可比矩阵(2)是 矩阵的特征值是由 如果,然后。因此,使用Routh-Hurwitz标准,所有的特征值有负的实际部分,是局部渐近稳定系统(2)。
4所示。地方病平衡点的稳定性
定理2。如果,是局部渐近稳定的。
证明。让 的雅可比矩阵是 矩阵的特征多项式是由 在哪里 因此,使用Routh-Hurwitz标准,所有的特征值这意味着负实际部分吗是局部渐近稳定的。
定理3。如果,是全局渐近稳定,只要不平等和适用。
为了研究全球的稳定,我们使用几何方法开发的论文史密斯(10]和李和Muldowney [11]。我们获得简单的充分条件是全局渐近稳定吗。首先,我们给这个几何方法的简要概述。
让是一个函数在一个开放的设置。考虑微分方程 表示由的解决方案(20.),这样。我们做出以下两个假设。(我)存在一个紧凑的吸收。(2)方程(20.)有一个独特的平衡在。
平衡据说是全球稳定吗如果是局部稳定和所有轨迹收敛到。
以下通用全球稳定原则是成立于(11]。
让是一个矩阵值函数为。假设存在,是连续的紧凑的吸收集。数量被定义为 在哪里 和是第二个添加剂复合雅可比矩阵的矩阵呢。矩阵通过替换每个条目吗的由其衍生的方向,,Lozinskiĭ衡量吗对于一个向量规范在()定义为12] (所示11),如果是单连通的,条件排除了任何轨道的存在,产生了一个简单的封闭可矫正的曲线不变的(20.),比如周期轨道,同宿轨,heteroclinic周期。因此,全球稳定后的结果证明了定理3.5的11]。
引理4。假设是单连通的,(i)和(ii)持有的假设。然后,独特的平衡(20.)是全局渐近稳定的如果。
证明。摘要(13)表明,一个紧集的存在吸收室内的相当于证明(2)是均匀持久,这意味着退出这样每一个解决方案(2),在室内满足
事实上,当,然后是不稳定的。的不稳定性,加上,意味着统一的持久性14]。因此,(我)验证。此外,正如前面所示,是唯一在内部的平衡(2)验证,。让和表示的向量场(2)。雅可比矩阵关联到一个通用的解决方案(2)是
在哪里
和第二添加剂复合矩阵是
设置函数;然后
和矩阵在块形式可以写吗
在哪里
向量规范在被选为,让Lozinskiĭ措施对这个规范。在[方法后15),我们有
在哪里
和矩阵范数对向量范数。更具体地说,
计算,添加的非对角元素的绝对值对角线的每一列然后最大的两个金额。我们因此获得
因此,我们有
这将导致
我们可以推断,如果
保持,然后
在哪里
在每个解决方案的系统(2),我们有
根据引理4,如果,那么流行的平衡的系统(2)是全局渐近稳定的。
5。仿真研究和讨论
补充前一节中进行数学分析,利用龙格-库塔方法,我们现在调查一些数值的属性(2)。选择,,反映了人们的反应速度和媒体报道。相关的参数值表中列出1。
图1(一)表明,当感染者是渐近稳定的数量,和媒体报道有利于降低感染者的数量。图1 (b)表明,当,感染者的数量往往零点,和媒体报道可以加快传染病的灭绝。
(一)
(b)
此外,分析相关参数对传染性疾病进展的影响非常重要。定义的,可以看出 因此,是一个增加函数的和的递减函数。数学结果表明,基本的繁殖数量满足一个阈值属性。当事实证明,无病平衡点局部渐近稳定,疾病将会消除来自社区的。,当,唯一的地方病平衡点全局渐近稳定,疾病持续下去。这表明减少一个值小于统一通过减少或增加,以控制传染病的传播。
从图2,我们可以发现,感染者的数目减少招聘率()减少。组织等措施限制旅行,关闭公共场所,或隔离有利于减少招聘率来控制传染病的传播。图3显示,感染者的数量减少的恢复率()增加。所以及时有效治疗被认为是一个好方法在管理传染病。
根据结果,我们可以得到媒体报道有一个有效的对传染病的控制和传播的影响。希望这些控制策略,我们认为可能为政府提供一些有用的建议。此外,我们可以概括当前模型中加入一些控制方法,如隔离和治疗策略。一个更现实的模型应该被考虑。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。11371048),融资项目学术人力资源开发在高等学校管辖北京市(没有。PHR201107123)。作者希望表达他们的感谢金融支持。