文摘

本文提出了一种新的应用同伦分析方法(火腿)求解演化方程描述的非线性偏微分方程(pde)。的新方法,称为二元光谱同伦分析方法(BISHAM),是基于所谓的规则中使用二维拉格朗日插值解表达式的火腿算法。新方法的适用性已证明了应用程序在多个非线性pde进化的例子,即费舍尔,Burgers-Fisher Burger-Huxley, Fitzhugh-Nagumo的方程。比较文学与已知精确的结果被用来证实该方法的准确性和有效性。

1。介绍

非线性演化的研究偏微分方程(pde)是一个广阔的研究领域与发达的和记录的理论和应用在几乎所有的科学和工程领域。pde是用来描述许多复杂非线性设置在振动和波传播等应用,流体力学,等离子体物理、量子力学、非线性光学、固体物理、化学动力学、物理化学、种群动态、和许多其他领域的数学模型。的发展分析和数值方法求解复杂的高度非线性pde仍然是一个肥沃的研究领域面向丰富和深化我们对这些有趣的非线性问题的理解。

同伦分析方法(火腿)已经被广泛的讨论在文献中求解非线性普通和偏微分方程。全面阐述火腿的基础概念和应用程序可以在最近出版的图书中找到(1- - - - - -4]。火腿的一个独特的特性,这使它有别于所有扰乱性的和nonperturbative方法在文献中报道,灵活地改变其嵌入式控制辅助参数和函数收敛。先前的研究已经表明一个精心挑选的选择辅助线性算子导致显著改善收敛性和精度的火腿(5- - - - - -7]。巴克斯特et al。5)检查多个辅助线性算子找到最好的运营商,收益最好的精度的解决方案Cahn-Hilliard方程,非线性偏微分方程。巴克斯特的线性算子的研究et al。5),以及许多其他火腿基础研究求解非线性pd,方便地选择是保证火腿算法产生分析系列解决方案。这些火腿为基础的方法的局限性,寻求获得完全分析结果是生成增量的火腿系列解决方案就会变得越来越繁琐和最终解决问题的练习变得棘手。尤其如此重要的线性算子时使用或需要最佳的准确性。因此,这种方法可以承认任何形式的线性算子,无论多么复杂,火腿中需要的算法。然而,复杂的线性算子排除的可能性分析解决火腿系列解决方案。Motsa et al。8,9)提出了一个离散的火腿基于切比雪夫光谱实现火腿搭配方法解决分析算法,否则是不可能的。这种离散变异的火腿被称为光谱同伦分析方法(假的)(8,9]。虚假的最近扩展到解决基于非线性偏微分方程问题引起的非定常边界层流动的冲动拉伸板(10]。Motsa [10)使用基于偏微分方程的辅助运营商提高基于普通导数线性算子方法以前由廖(11)来解决同样的问题。Motsa [10)得出的结论是,当解决非线性pd,基于PDE的线性算子的使用会导致更好的结果比基于ODE的线性算子的使用。在实现方法,应用谱分解方程解决方法在空间变量和单项级数展开的时间变量。这种方法被发现适合的非定常边界层问题考虑10因为无量纲时间变量中定义的范围。然而,这种级数的方法是众所周知的有能力解决精确的解决方案只有在该地区。因此,有必要发展变异的假象给一致有效的解决方案包括的地区。更健壮的虚假的变化需要复杂非线性pd模型重要问题的解决方案与广泛应用在科学、工程、应用数学等领域。

这项工作的主要目的是引入的一个新变体光谱同伦分析方法求解非线性偏微分方程。该方法是由定义一个规则表达式基于二维拉格朗日插值的解决方案。同伦分析方法的算法应用于执政的非线性pde分解为一系列线性pd。结果pd包含变量系数的线性序列和完全解决是不可能的。因此,切比雪夫谱配置方法应用独立的空间和时间的独立变量。针对二元插值和光谱的应用搭配分化,新方法叫做二元插值光谱同伦分析方法(BI-SHAM)。这项研究提供了一个通用BI-SHAM算法,可用于解决二阶非线性演化方程。适用性、准确性和可靠性,证实了该BI-SHAM解决费舍尔,Burger-Fisher, Burger-Huxley, Fitzhurg-Nagumo方程。BI-SHAM结果与精确解比较,科学文献中报道。

本文的其余部分组织如下。节2介绍该算法的Bi-SHAM一般非线性PDE进化。部分3描述了应用BI-SHAM选择问题的数值实验。并给出了数值模拟和结果4。最后,我们得出结论,描述未来的工作部分5。

2。二元插值光谱同伦分析方法(BI-SHAM)

在本节中,我们介绍了二元插值光谱同伦分析方法(BI-SHAM)用于解决执政非线性pde进化。不失一般性,我们考虑非线性pde的形式 在哪里解决方案和是一个包含所有的非线性算子的空间衍生品吗。解决方案的过程是基于最初的假设的解决方案可以用一个二维拉格朗日插值多项式近似的形式 它篡改独立在指定点的和方向定义如下: 网格点的选择3),这被称为Chebyshev-Gauss-Lobatto点,确保有一个简单的转换不断衍生品,在空间和时间离散网格点衍生品将在稍后讨论。的函数拉格朗日多项式基本特点定义如下: 克罗内克符号方程服从。考虑 的函数以类似的方式定义。

获得相对应的火腿方程非线性方程(1重写),这是方便的控制方程形式 点和质数表示时间和空间衍生品,分别是一个线性算子,是一个非线性算子。解决方案的实现过程中的一个关键步骤是评价时间导数的网格点()。导数应用之前,给定的物理区域,说转换为该地区利用线性变换。衍生品的值在Chebyshev-Gauss-Lobatto点计算如下: 在哪里,标准的切比雪夫分化矩阵的条目吗的大小(见,例如,12,13])。通过评估(6在网格点),我们获得

如果初始条件(1)是在(对应于),我们写(8)如下: 在哪里是已知的初始条件。

方程(9)形成一个系统的耦合的非线性常微分方程的未知数,。下面,我们描述光谱同伦分析方法用于解决(9)。

火腿的算法开始同伦的建设对于一个给定的线性算子定义如下: 在哪里 是一个嵌入参数;代表一个非零收敛控制辅助参数;的初始近似解的吗为。应该强调,在火腿的专业语言,同伦方程(10)被称为零阶变形方程。从(10),它可以指出,增加从0到1,不同初始近似解决方案非线性方程(9)。扩大利用泰勒级数约给了 在哪里 因此,自和,我们获得 系列(15)收敛当辅助参数是精心挑选的。的函数出现在系列(15)得到解决所谓的高阶变形由微分获得零变形方程(10),次对,然后除以,最后设置。这给了 在哪里 最初的近似选择以这样的方式呢 ,当使用的定义在(11),可以编写如下: 方程(20.)要解决初始近似一起给高阶变形方程构成的序列线性常微分方程,解决了利用切比雪夫光谱应用独立的搭配方法方向()使用Chebyshev-Gauss-Lobatto点。考虑 定义为 衍生品与尊重定义术语的切比雪夫函数微分矩阵吗 在哪里导数的顺序,(),作为一个切比雪夫导数矩阵和向量被定义为

因此,用(23)的方程初始近似(20.),我们获得以下矩阵系统: 在哪里 和是单位矩阵的大小的上标表示转置,和功能的系数后的光谱方法已应用于线性函数。解决(25)给出了初始近似值。获得的近似解(),与discretisation谱配置方法方向,以类似的方式适用于高阶变形方程(16)。这给了以下矩阵系统: 在哪里和中定义的(26), 在上面的方程中,通过将持续衍生品切比雪夫光谱衍生品。

3所示。数值实验

演示的适用性提出Bi-SHAM算法作为一个适当的工具求解非线性偏微分方程,我们该算法适用于著名的非线性pde的形式(1),具体的解决方案。为了确定BI-SHAM近似解的精度水平,在特定的时间层面上,与精确解相比我们报告定义的最大误差 在哪里获得的解决方案(28),是精确解时的水平。

例1。我们认为费雪方程如下: 初始条件 和精确解14] 在哪里是一个常数。费雪方程代表reactive-diffusive系统和遇到的化学动力学和种群动态的应用程序。对于这个示例,线性和非线性算子选择用于Bi-SHAM算法如下: 因此,使用(17我们获得 的近似解得到解决(28)。

例2。我们考虑广义Burgers-Fisher的方程(15)如下: 与初始条件 和精确解 在哪里,,参数,出于演示目的,选择一个。在本例中,当,线性和非线性算子选择用于Bi-SHAM算法如下: 因此,使用(17我们获得

例3。考虑Fitzhurg-Nagumo方程如下: 与初始条件 和精确解16] 在哪里是一个参数。在这个例子中,线性的和非线性算子选择用于Bi-SHAM算法如下: 因此,使用(17我们获得

例4。考虑Burgers-Huxley的方程如下: 在哪里是常量参数,是一个正整数(设置在这项研究中),。

确切的解决方案的初始条件, 据报道在17,18] 在哪里和。精确解的通解(48在()报告19,20.]。

在这个例子中,线性的和非线性算子选择用于Bi-SHAM算法如下: 因此,使用(17我们获得

4所示。结果与讨论

在本节中,我们讨论BI-SHAM的实现算法的数值解的非线性演化方程如前一节所述。搭配点在空间的数量这里给出变量用于生成结果在所有情况下。此外,除非另有说明,订单总数的火腿系列)的火腿系列是集。发现足够的精度是通过使用这些值在所有的数值计算例子考虑。

使用有限的虚假的系列我们定义在搭配分阶近似和(和)如下:

假设是BI-SHAM近似解的搭配(网格)点,残留误差的定义是 在哪里被定义为

残差是用于建立合适的收敛控制参数。一个精心挑选是最重要的获得准确和收敛虚假的系列解决方案。残差的无穷范数在特定时间水平,定义为 被用来确定最优值的让最好的准确性。

在数据1,2,3,4我们给插图典型的残留误差曲线,可用于计算的最优值费舍尔,Burgers-Fisher、Fitzhugh-Nagumo Burgers-Huxley方程,分别时。剩余曲线绘制使用的不同订单BI-SHAM系列。的最优值选择的明确定义的最小剩余曲线。从这些数据可以看出,最优的价值在于范围费雪方程,Fitzhugh-Nagumo方程,Burgers-Fisher的方程。Burgers-Huxley的方程,它可以观察到从图4的最优值是1.1−附近。我们还注意到残留误差随的增加而减小的顺序BI-SHAM系列。这表示该方法的收敛。也观察到,收敛也改善与提高,搭配使用的数量- variable。这一观测结果符合早期的观察在一个相关的研究(21),基于插值的光谱同伦分析方法用于解决基于PDE的非定常边界层流动。

在表中1,2,3,4我们给确切和BI-SHAM结果之间的最大误差(定义使用(30.Fisher)), Burgers-Fisher、Fitzhugh-Nagumo Burgers-Huxley方程,分别选择的值不同的搭配点,,在- variable。这里值得一提的是,在所有表的结果计算域的空间。来表达对该方法的计算效率,计算时间生成的结果也显示在表中。结果显示在表中1,2,3,4清楚地表明该方法的准确性。精度是提高搭配点的数量的增加。引人注目的是,准确的结果,错误的订单获得使用很少搭配点的和变量,。这是清楚地表明,BI-SHAM是强大的方法,非常适用于解决非线性pde的类型进行了调查。我们的话,BI-SHAM是计算速度所需的准确的结果生成在几分之一秒的例子被认为在这工作。

5。结论

本文提出了一种新的变异谱的同伦分析方法求解一般非线性演化的偏微分方程。的新方法,称为二元光谱同伦分析方法(BISHAM),是由的组合同伦分析方法与二维拉格朗日插值算法和谱搭配分化。本研究的主要目的是评估的准确性,该方法的适用性和有效性在解决非线性偏微分方程。费雪方程进行了数值模拟,Burger-Fisher方程,Fitzhurg-Nagumo, Burger-Huxley方程。本研究表明,BISHAM给计算高效的方式非常准确的结果。从本研究进一步证明,BISHAM给解决方案大间隔均匀准确和有效的管理时间和空间域。成功的方法可以归因于使用重要的线性算子和微分谱配置方法。这项工作有助于现有文献基于同伦分析方法的工具,用于解决复杂的非线性偏微分方程。需要做进一步的工作来建立BISHAM是否同样可以成功解决高阶非线性偏微分方程和两个更多的方程的耦合系统。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这部分工作是基于研究支持由南非国家研究基金会(批准号85596)。