文摘
我们获得了代数时间衰变率的非线性热方程弱解的非线性项在整个空间。傅里叶分析的方法是基于能量的方法和技术。
1。介绍
在这项研究中我们考虑下面的非线性热方程的柯西问题在整个空间: 与初始数据 在这里,未知函数和吗
这种非线性模型似乎是相关理论的粘性不可压缩牛顿和非牛顿流体流动(参见[1- - - - - -4),在其中的引用)。广义非线性热方程 有很多研究和大时间行为适定性问题解决这些非线性热方程(5- - - - - -7]。例如,庞塞[8和郑、陈9]研究了全局弱解的广义非线性热方程的不同方法。Escobedo和Zuazua10)、张(11,12)研究了时间衰变热方程弱解的非线性与filtration-type非线性项。赵(13)最近研究了弱解的渐近行为的非线性热方程非线性项满足一些生长条件。也指一些有趣的一次衰变的结果弱非线性偏微分方程模型的解决方案(1,14,15]。更准确地说,最优衰减估计等解决方案的非线性模型
出于结果(16,17),本研究的主要目的是调查代数时间衰减弱非线性热方程的解决方案(1)- (2)。更准确地说,当初始数据满足一些可积的条件,我们将展示非线性热方程的弱解(1)- (2)热方程的线性衰减。结果证明了通过开发一些分析技术,如傅里叶变换和能量的不平等。
2。声明的主要结果
在本节中,我们首先介绍一些符号。我们表示与通常的勒贝格空间规范。特别是,。通常是与常态水列夫空间(参见[18])。是任意常数可能只取决于初始数据吗但从来没有依靠。的傅里叶变换是或,
对于一个非线性热方程的弱解(1)- (2),我们的意思是一个函数 满足 和能源的不平等
我们的主要结果读取如下。
备注2。众所周知,解决方案的线性热方程 时间衰减属性一样吗 与初始数据。因此我们的结果不能改善在同等条件下初始数据。此外,它似乎是一个有趣的和重要的问题进一步考虑上述非线性热方程之间的明确的错误估计和线性热方程;我们将研究这个问题在即将发表的论文。
备注3。与以前的结果相比时间衰减问题的非线性热方程,这里的主要困难在于统一的非线性项的估计。为了克服这个困难,我们进一步发展所谓的经典傅里叶分解方法首次引入的Schonbek [16)当她研究了n - s方程的时间衰变。然后我们进一步需要应用持有人不平等,年轻的不平等,和能源不平等,加上严格的计算。
3所示。定理的证明1
为了证明定理1,弱解的存在的非线性热方程可以推导出标准方法(也指19),例如);我们首先推导出一些辅助前题将从事的主要定理的证明。
引理4。在同等条件下的定理1,一个
引理的证明4。我们第一次用傅里叶变换非线性热方程的两边(1)
我们可以看看上面的方程(14)作为一个线性常微分方程对,根据常微分方程的基本理论,很容易检查的解决方案(14)可以表示为
现在我们需要估计的右边(15)。自
我们使用年轻持有人不平等和不平等。
此外,集成的能量不等式(9)时间来给了
一起,,收益率
堵塞(18)(15)给
在这里我们使用了事实。
因此,我们完整的引理的证明4。
引理5(帕平等7])。如果的傅里叶变换满足和
现在我们开始证明定理1。
从能量不等式(9),我们有
借助帕平等,我们重写(21), 选择一个光滑函数,这样 然后乘以双方的不平等(22),一个显示
让 然后我们有 上面的不平等插入(24),它遵循 和集成的收益率
为的初始条件,通过定理1和帕平等,很容易检查
为,利用引理4和直接计算,我们有 我们现在选择得到 因此,
插入的估计和到(28),请注意 的,一起,帕意味着平等
因此我们完成定理的证明1。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这项工作是支持的部分武汉科技大学创新基金,没有。2013 - la - 024。