文摘
同伦分析方法应用于解决变量系数KdV-Burgers方程。借助广义椭圆法和傅里叶变换方法,得到了双周期形式的近似解。这些解决方案可能退化成双曲函数的近似解的形式和三角函数的近似解在极限情况下形成。结果表明,该方法有效耗散项的非线性模型和变量系数。
1。介绍
解决非线性偏微分方程(NPDE)已经被一个有吸引力的数学家和物理学家的研究课题。具有变系数非线性演化方程可以更准确地描述物理现象,它是具有重要意义的研究如何找到解决方案的非线性演化方程的变量系数。非线性偏微分方程一般很难解决,很难获得准确的解决方案。近年来,等各种近似方法开发了同伦分析方法(1- - - - - -13和Adomian的分解方法14- - - - - -17)来解决线性和非线性微分方程。然而,上述只能研究与常系数方程的解决方案。在这项工作中,我们将同伦分析方法应用于变量系数KdV-Burgers方程和获得雅可比椭圆函数的近似解的形式。这种方法的优点是简单和容易执行。
本文以以下的方式排列。节2我们现在同伦分析方法。节3,同伦分析方法对变量系数KdV-Burgers方程。最后,给出了一些结论。
2。同伦分析方法的基本思想
解释同伦分析方法的基本思想,我们考虑下面的非线性微分方程: 根据边界条件 在哪里是一般的微分算子,是边界算子,是已知的解析函数,区域的边界吗。
一般来说,操作符可以分解为线性部分和非线性部分。方程(2因此可以写成 现在我们建立了同伦映射,满足 在哪里是参数,辅助函数,。
由(4),我们得到
我们可以看到从0到1的是一个过程,来的;这是同伦变形。
假设的解决方案可以写成一个幂级数在吗: 所以,当,的解决方案是;当的近似解是。
3所示。应用程序
在本节中,我们关注的变量系数KdV-Burgers方程 在哪里和任何函数是。
它是有趣的观察,当和是恒定的,(7)成为知名KdV-Burgers方程;方程中扮演一个重要的角色在研究液体泡沫内,液体的流动弹性管,和动荡的问题18- - - - - -20.]。当是常数,,(7)成为著名的汉堡的方程。当是常数,,(7)成为知名KdV方程。当是恒定的,(7)成为
接下来,我们应用同伦分析方法研究(的近似解8)。
为了得到解决(8),我们在同伦映射。
瞄准(8),我们建立了同伦映射, 在哪里,,是辅助函数,线性算符表示为。
通过使用广义椭圆法(21),我们可以得到相对应的典型KdV方程(8), 椭圆函数如下解决方案:
当,退化以下孤波的解决方案:
当,退化的三角函数的解决方案 在哪里,,,任意常数,是模块,。
一个很容易证明和(8)是相同的,所以解决方案(8)的解决方案当条件下。
让 的解决方案;由(22)我们可以知道这个系列是一致收敛的。因此,它的收益率
为了获得近似解(8),我们的替代品(14)方程。通过辅助函数,比较的系数相同的力量,一个人可以获得
从(16)我们有
利用傅里叶变换,可以获得的解决方案(17与初始条件)如下: 同样,一个还发现的解决方案(18与初始条件)作为 从(11),(12),(13),(20.)和(21)2摄氏度的近似解(8)可以获得如下:
在哪里,,,任意常数,是模块,。考虑 当和,退化到以下近似解:
通过比较功率系数就越高,更多的高功率近似解(8)也可以获得。
4所示。结论
这项工作研究的变量系数KdV-Burgers方程利用同伦分析方法,和2摄氏度雅可比椭圆函数的近似解的形式,可以退化孤波近似解和三角函数极限情况的近似解。我们的研究结果表明,同伦分析方法适用于变量解决方程;如何将这种方法应用到高度和高维系统还有待进一步研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。61070231),江苏省六大领域的杰出的个人项目,中国(批准号2009188),江苏省研究生创新项目(批准号CXLX13_673)。