文摘

等边三角形单元的包装问题不仅具有理论意义而且在材料加工和网络资源优化提供了广阔前景。因为这个问题是不确定性多项式(NP)硬和连续性的特点,有必要限制单元等边三角形的位置前优化和获得近似解(例如,单位不允许等边三角形旋转)。本文采用一种新的quasi-human战略研究包装单位等边三角形的问题。提出了一些新概念如side-clinging行动,和一个近似算法设计了解决解决问题。时间复杂度分析和计算结果表明,该方法是一个多项式时间算法,它提供了任意三角形的可能性来解决包装问题。

1。介绍

NP困难问题的解决方案有声望和棘手,这是很有价值的科学哲学和现实生活。包装问题在二维平面上是一个典型的NP困难问题,也就是如何有效地使用二维空间。到目前为止,研究结果表明,目前一个完整的公理化方法并不可行。包装单位等边三角形的问题实际上是一个二维包装问题的特殊情况。因此,研究包装单元等边三角形是理论上重大问题寻找一种有效的近似算法一个NP困难问题,特别是对于包装问题。此外,研究合理分配一组单元等边三角形,不相互重叠在一个有限的地区,在实际应用是非常有用的。包装问题探讨的一个关键问题在CAD / CAM领域,的任务就是设计一个高性能的算法来提高布局方案的质量的目的,节省原材料,缩短施工周期,降低成本,提高生产力,等等。

一个分类方法对包装问题已经提出了在1990年•迪克霍夫头(见,例如,1]),提出了一种改进的分类方法沃斯切尔一如既往等人于2007年(见,例如,2])。沃斯切尔一如既往等人有分类包装问题分为四个案例中,即一维(1 d),二维(2 d)、三维(3 d)和高维(- d)空间。1 d包装问题只考虑一个因素,如重量、体积或长度。2 d包装问题总是考虑两个因素。一些常见的问题包括地理分工停车场,修剪包装材料,皮革。三维包装问题考虑三个因素,通常长度,宽度和高度。例如,三维空间不应超出设定范围在船或汽车装载过程。- d包装问题始终是矩形的最佳操作包装问题在时间和空间维度。文献[3)可以被视为一个世界早期的结果- d包装问题,棒的布局特征1单元进行了分析,但具体算法还没有描述。随后,Fekete等人发表了一系列的文章来讨论一般(见,例如,[- d包装问题4- - - - - -6])。根据图论和框架和树搜索算法提供了基于各种合理的分类。典型的例子关于1 d和2 d空间,但4 d或更多的情况下是不讨论。此外,著名的或图书馆和PackLib²只提供2 d和3 d包装实例;参见[7,8),分别。

在日常生活中最常见的包装问题包括裁衣和钢铁加工。如今,学术界进行了大量有价值的研究2 d和3 d包装问题;见,例如,(9,10]。2 d包装问题主要包括圈包装问题,三角形矩形包装问题,包装问题。基于人口控制战略和corner-occupying(烫)的方法,提出了一种新的混合算法解决包装的问题平等或不平等的圈成一个更大的圆形容器11]。在[12),一种新的计算方法设计相同的不重叠的磁盘在单位平方,半径最大化。基于猜想,一个随机搜索算法,它显示数值性能良好。通过精心模拟容器中的光滑弹性圆盘的运动在物质世界中,一个启发式拟物提供了战略(13为解决磁盘包装问题。随后,基于模拟退火,即模仿对象在不同温度下的位移,计算速度也提高了。在[14),而且给出了拟物优化方法求解平衡约束的圆包装问题,密集的包装被认为是圆形磁盘满足平衡约束。三维包装问题是主要局限于一个长方体包装问题,这主要包括块排列方法(15)、空间表征技术(16)、遗传算法(17),动态空间分解方法(18),序列三连音的方法(19]。

在过去的十年中,矩形包装问题受到了国内外研究人员的广泛研究;例如,一个人口提出启发式(20.]。一个有效的确定性启发式,即灵活性越少第一战略,研究了(21]。中提供了一个混合启发式算法(22),这是基于分治和贪婪策略。不幸的是,最好的作者的知识,到目前为止,三角形包装问题和凸多边形包装的问题还没有讨论。在[23),初步研究了一般三角形包装问题,但还需要进一步的改进和一些深入的研究。

因此,本文的主要目的是研究单位等边三角形的包装问题根据单位等边三角形的特点和基础的分析一般三角形包装的问题。本文的主要贡献可以列出如下。(我)包装问题的数学描述的等边三角形单元,提出了和通俗说的特点和优势。(2)合理quasi-human策略是根据自然法则形成的“物以类聚”。(3)解决包装问题的新算法单元提出了等边三角形的基础上,提出quasi-human策略。

2。问题公式化

包装单位等边三角形的问题:给定一个方形容器的一面,如果等边三角形单元可以放入容器,然后制定相应的具体算法,否则提供相反的答案。实际上,这个问题可以被正式描述如下。对于任何给定的正整数和一个方形容器的四面八方,让的重叠区域th三角形()和th三角形()。存在以下的吗真正的数字吗?考虑 这样 如果存在一个满足(i)和(ii),然后提供相应的解决方案。

备注1。重要的是要注意,如果给定的够大,很容易找到解决方案受到(i)和(ii)等边三角形单元的包装问题。然而,这不是一项容易的任务把单位迅速等边三角形到方形容器,当给定的相对较小。另一方面,等边三角形单元的包装问题可以描述如下。鉴于等边三角形单元,如果这些三角形可以放在一个方形容器没有重叠,然后多久广场两侧的容器应至少?
因为数据在一架飞机可以翻译和不断旋转,总是有无限的布局方案的方法。因此,它总是限制的配售填料时迅速解决包装问题。的限制政策1)只允许多边形翻译但不旋转;因此,多边形包装问题可以转化为一个NP完全问题。

定义2(接触)。两个等边三角形单元在同一平面上,如果他们相交,但重叠区域是零,那么这两个三角形切。如图1,和彼此切线,和也切。

定义3(角区域)。给定两个切单元等边三角形,对于任何双方从两个三角形,分别,如果所有项目下面是匹配:(1)有一个且只有一个交点双方,这是用;(2)角(让是双方形成的顶点)是正的,但不到;(3)在(2)的角度,在一边的两个等边三角形单元,除了这些(1),然后角(2)据说是角地区的两个切三角形。它的大小叫做角的角地区。初始角的边(2)被称为初始角的地区,和角的终边(2)角的终边区域。(1)的交点叫做角的顶点。

如图2,是切在;是一个角地区的和。角地区用的大小。和是最初的地区和终端的角度,分别。

来判断是否存在一个角度地区由两个切单元等边三角形,它只是与公众双方从每个单元等边三角形顶点和判断角由双方积极的和小于,并验证没有另一边的两个等边三角形单元的角度。计算过程可以实现根据三角形的顶点坐标。

3所示。一个角度分类地区和Side-Clinging行动

当一个单位等边三角形是等边三角形切到另一个单位,零,一个,或两个角区域可能形成,如图3,4,5(一个)- - - - - -5 (c),分别。

基于人类社会的长期生产实践,为了放一些填充物在给定容器尽可能多的,一个总是选择一些合适的填料匹配容器中的空闲空间的大小。然后,把这些填充物到一些相对稳定的位置。这种所谓的稳定位置不能自由旋转或滑动。

等边三角形单元,如果可以顺时针或逆时针旋转它的一个顶点,然后单位等边三角形是自由旋转或是限制性地旋转。让单位等边三角形的一边坚持的一面;即重叠部分的长度两个等边三角形单元大于零。如果三角形可以沿着抱住一边向一个方向,然后单位等边三角形是限制性地滑动或据说自由滑动。一点应该注意的是,单位等边三角形相交他人,必须始终不能在广场的容器。

如果一个单位的等边三角形坚持别人,那么三角形只能沿着执着的一面,和的位置据说是一个可移动的位置。如果幻灯片在执着的一面坚持第三单元等边三角形,在那里仍然坚持,然后的位置是稳定的。如果一个单位等边三角形可以自由滑动或旋转,然后是迫在眉睫。显然,目前这个单位等边三角形的位置非常不稳定,如图6。如果一个单位等边三角形是限制性地滑动,但自由旋转,然后实际上是不稳定的位置,如如图6。此外,如果一个单位等边三角形是限制性地旋转,但自由滑动,仍然是不稳定的位置,(左和右)移动,,(不与任何三角形)的重叠图所示6。一般而言,一个单元的位置等边三角形是稳定的,只有限制性地旋转和限制性地滑动,和如图6。

一般来说,更稳定的单位等边三角形的位置,越接近它会抓住其他三角形,因此空间利用率越高。

定义4 (side-clinging动作)。如果一方单位的等边三角形坚持最初或角的终边区域(重叠的部分大于零)和单位等边三角形的另一面是终端或切线初始角区域,然后把三角形的过程到角地区据说side-clinging行动。

以这种方式可以找到side-clinging行动。让方单位的等边三角形坚持最初的一面或终端角地区的和推动沿着或直到它不能移动(三角形是初始切线或终端侧角地区)。如果一方也坚持最初的一面或终端的,然后修复等边三角形单元的位置。因此,把一个单元等边三角形的问题变成一个角地区由两个给定切线等边三角形单元之间的位置关系转化成等边三角形单元和一条线段;因此,搜索空间是有限的几个点从连续的欧几里得空间。

定义5 (side-clinging学位)。如果一方单位的等边三角形坚持一边一个角地区(长度),重叠部分的长度设置为,那么side-clinging side-clinging行动的程度。具体来说,如果单位等边三角形的另一边坚持另一侧(长度角地区的),设置重叠部分的长度,那么side-clinging side-clinging行动的程度。

注6。实际上,side-clinging度可以用来衡量一个等边三角形单元提出了适合的位置。side-clinging程度越大,三角形适合就越好。

4所示。Side-Clinging算法

如图7,方形容器可以视为一个平面图形由四个等边三角形。

定义7(模式)。一个模式指的是一种有序偶在一些点是四个三角形的集合构成方形容器和单元等边三角形一直放在容器中(每个元素集是用三角形的三个顶点坐标)和是角的集合区域形成的三角形。

在第一时刻,让;有四个三角形构成的方形容器;是由四个三角形角区域的集合构成方形容器。然后,这时用最初的模式。把th三角形到方形容器在最初的模式,那么相应的模式被称为th模式,这是用。在th模式,让一个三角形执行side-clinging行动;如果三角形仍在广场容器和不相交的三角形,那么side-clinging行动被认为是一个适当的side-clinging行动。

Side-Clinging策略。设置side-clinging适当程度的两个side-clinging操作(和),和,分别。如果,然后优先side-clinging行动高于。

基于side-clinging策略,quasi-human算法求解给定包装单元等边三角形可以提出的问题如下。

给定一个初始模式,在那里是三角形的集合构成一个给定的方形容器,是由四个三角形角区域的集合构成一个给定的方形容器。适当安排角区域和side-clinging行动根据时间序列模式。

步骤1。集,,单位等边三角形的数量放入容器。

步骤2。在模式,如果,然后打印的信息表明所有的三角形都放入方形容器和停止;如果并没有适当的side-clinging行动执行,然后打印,未能获得解决方案和停止;如果还有一些适当side-clinging行动被执行,然后去一步3。

步骤3。执行最高优先级根据side-clinging side-clinging行动策略。如果只有一个合适的基于side-clinging side-clinging行动策略,然后把一个单元等边三角形到容器根据side-clinging行动或根据第一corner-occupying行动。

步骤4。集并添加three-vertex坐标三角形的一步3来。因此,代表一组角地区形成的三角形;然后,去一步2。

5。Side-Clinging算法的时间复杂度分析

一般来说,一个可以假设单位已经放入容器的等边三角形的模式;也就是说,有三角形的,它将时间单位来查找和执行最高优先级side-clinging行动的等边三角形单元。序列的实现如下。

(1)形成角地区的时间复杂度 三角形的 。考虑到三角形,如果需要时间单位来判断双方是否来自每个三角形都可以形成一个角,然后将时间单位最多找到角地区由两个三角形。此外,很容易知道它时间单位最多找到所有可能的角度形成的区域三角形的。根据角的定义区域,两个三角形可以形成两个角区域。因此,将会有角地区。

注8。事实上,这是不可能的,一个单位等边三角形是方形容器中的每个三角形切。一般而言,角形成的区域的数量三角形远低于。这是完全必要的算法的快速特性的原因。

(2)时间复杂度的Side-Clinging行动把 th等边三角形单元成角地区 。假设需要时间单位为单位等边三角形一个角地区,与单位等边三角形的一边抱着角地区的一边。因为只有两种不同side-clinging行动被执行,而在给定单位等边三角形角区域,它将时间单位。你可以很容易地发现它将需要时间单位为单位等边三角形到所有角地区。

(3)判断是否每个Side-Clinging行动的时间复杂度是一个适当的Side-Clinging行动。如果需要时间单位来判断两个三角形是否能彼此相交,时间单位来判断是否单位等边三角形是广场上的容器,那么它将时间单位找到所有合适的side-clinging行动。

(4)时间复杂度的最高优先级Side-Clinging行动从所有适当的Side-Clinging行动。如果需要时间单位来比较两个side-clinging操作的优先级,那么它将最多时间单位找到最高优先级side-clinging行动。

基于上述分析,我们可以把知道的最长时间单位th等边三角形单元到广场的容器,在那里,,,,是常数。因此,把的时间复杂度th三角形是的时间复杂度三角形不会超过,这意味着设计算法的时间复杂度。如果没有合理的side-clinging行动执行,然后停止。因此,总计算时间的数量级并不多。

解决包装问题过程中单位等边三角形,我们发现一些类似的包装问题可以通过经验来解决在长期实践中积累起来的。例如,三角形和砖瓦匠包装问题是一样的:把不规则的石头如何充分利用有限的空间吗?根据以往的经验,他们总是先占领的角落,然后边和中心。事实上,这种想法只是提供了一个排列顺序。的启发,我们只考虑为等边三角形单元side-clinging行为的性质,从而保证放置方法的密实度。根据拟议中的side-clinging算法,解决包装问题的近似算法一般多边形在未来可以开发。

6。说明性的例子

这个项目是由使用Visual c++ 6.0开发。仿真的例子是在电脑上测试与奔腾2.8 GHz处理器和1 G内存。

输入:容器的长度的平方;数量的单位等边三角形。

输出:利用;计算时间;序列的单位等边三角形到广场的容器。

仿真结果如图所示8,我们可以知道,建议quasi-human算法的计算速度是多项式时间。然而,广场的大小的容器放置三个等边三角形单元是一样的四个在个别例子,表明集装箱的空间利用率有待提高。在未来的研究中,我们将探索如何调整和完善quasi-human算法来提高空间利用率。

7所示。结论和未来的工作

在这个报告中,小说quasi-human算法解决包装的问题提出了等边三角形单元。我们有两个切三角形的角地区分类基于他们的位置关系。一些概念和术语的定义,如接触角地区,side-clinging行动,分析了三角形的稳定性。根据side-clinging策略,一个有效的quasi-human算法解决了包装单位等边三角形的问题。在仿真结果的基础上,我们可以发现,总是只有一个角之间的区域连续两个等边三角形单元,和角山区域可以相对稳定。因此,搜索范围的可用空间可以减少后续三角形,这是较低的根源提出quasi-human算法的复杂性。

虽然计算结果已经非常满意,仍有许多可能的方法,可能会进一步提高提出quasi-human算法,如声音模糊方法;参见[24,25)和引用。众所周知,网络系统(NSs)、复杂网络、传感器网络、和多重代理系统在日常生活中,一些重要的系统和研究已成为近年来日益活跃,主要是由于其在许多领域广泛应用;见,例如,(26- - - - - -30.]。自然,如何应用quasi-human算法来优化资源在不同的系统仍然是一个深思熟虑的问题。另一方面,干扰(如白噪声和周期性窄带噪声)和不完整的信息(如数据包辍学和失踪测量)不可避免地存在各种各样的系统和网络;见,例如,(31日- - - - - -35),这无疑会影响算法的可行性建议。因此,准确性和鲁棒性的设计quasi-human算法在复杂背景是一个有前途的未来和有价值的研究方向。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这部分工作是支持关键工程技术部门河南省中国,格兰特122102210042下,河南省的科技头脑风暴项目,中国,在格兰特12 b520054,郑州大学的青年教师基金项目特别任命(东方学者)教授上海高等学校新世纪优秀人才计划的大学授予ncet - 11 - 1051,中国国家自然科学基金资助下61074016和61374039,和上海浦江计划在13 pj1406300格兰特。