文摘

本文的目的是研究对耦合系统的分型积分微分方程可解性与多点分数半直线上的边值问题。给出一个例子来证明我们的假设的有效性。

1。介绍

分数阶的微分和积分理论经历了多年的快速发展,起到了非常重要的作用在现代应用数学模型的过程中发生现象研究在物理、力学、工程等(1- - - - - -3]。最近,存在涉及分数微分方程的解耦合系统是一个由许多作者的理论领域的研究(4- - - - - -13]。

最近,王et al。10]研究了解决方案的存在以下耦合非线性分数微分方程组用Schauder的不动点定理: 在哪里,,和表示Riemann-Liouville部分衍生品和秩序分别;也,是这样的,和。

出于[10),在本文中,我们考虑一个耦合的非线性部分积分微分的方程组在无限域和更一般的边界条件: 在哪里,,,是实数,,表示Riemann-Liouville分数导数。很明显,边值问题(2)包括问题(1)作为特殊情况。

积分微分的方程已经成为重要的现象近年来数学模型在物理和社会科学。特别是一些物理现象涉及某些类型的记忆效应由积分微分的方程(14- - - - - -18]。

然而,我们所知,没有工作已经报道了对耦合系统的非线性部分型积分微分方程存在的结果在一个无限域。

本文组织如下。节2,我们回忆起一些基本定义、符号和初步的事实。部分3致力于对系统非线性部分型积分微分方程存在的结果在一个无限域。节4,给出了一个例子来演示我们的结果的适用性。

2。预赛

在本节中,我们将首先回忆起一些基本定义和引理用于下面,可以发现在2,19]。

定义1。Riemann-Liouville部分积分的一个函数是由 右边是逐点的定义。

定义2。Riemann-Liouville分数阶导数的秩序的连续函数是由 在哪里,右边是逐点的定义。

备注3。以下属性是众所周知的:

引理4。为方程当且仅当有效吗 在哪里是最小的整数大于或等于。

引理5。假设;然后, 在哪里是最小的整数大于或等于。

对于任何我们可以定义空间 配备标准 很明显,是巴拿赫空间19]。为我们定义 然后,巴拿赫空间。

3所示。主要结果

在本节中,我们证明了边值问题存在结果(2)。为了方便我们使用以下符号: 通过替换与分别时,我们可以定义。

引理6。让和;然后,独特的解决方案 是由 在哪里格林函数由吗 与

证明。由引理5的解决方案(12)可以写为 使用边界条件(13),我们发现和 现在考虑第二边界条件,我们有 因此,唯一解边值问题(12)- (14)是 在哪里,,是由(16),(17)和(18),分别。证明已经完成。

现在,我们介绍下面的功能: 在哪里

注7。定义的和,对于任何,我们有 在哪里

让操作员被定义为 从算子的定义问题(2)有解当且仅当操作员有一个固定的点。

定理8。下面的假定。(H₁)存在非负函数这样 在哪里是β函数。(H₂)存在非负函数这样 在哪里是β函数。
然后,系统(2)有一个解决方案。

证明。取 并定义一个球 在第一步,我们证明了运算符将球为本身。对于任何我们有 以类似的方式,我们可以得到的 因此,这表明,。
接下来,我们证明完全是连续的。首先,让作为在。从(32)我们有 然后,由Lebsegue控制收敛定理和连续性,我们获得 作为。因此,通过的话7,我们有 作为。类似的过程可以重复;因此,运营商是连续的。
现在,我们证明是等度连续算子。让和;不失一般性,我们可以假设。自和,对于任何和,我们有 鉴于(37),类似的过程(20.),我们可以很容易地证明算子是等度连续的。类似的过程可以重复;因此,是等度连续的。另一方面,是一致有界的。因此,是完全连续的运营商。因此,通过Schauder不动点定理边值问题(2)至少有一个解决方案。

4所示。一个例子

考虑下面的边值问题在无限域: 在这里,,,,,,,,,,,,。我们有 为 通过直接计算得到,,, 因此所有定理的条件8满意,问题(38)至少有一个解决方案。

5。结论

在当前,我们研究了存在对耦合系统的非线性部分型积分微分方程的结果分部分无限域的边界条件。本文获得的结果是基于Schauder的不动点定理。为了显示的有效性假设在我们的结果,我们还包括一个说明性的例子。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。