文摘

更现实的数学模型介绍了疟疾,我们不仅考虑恢复人类返回到易感类,但也考虑恢复人类回归感染类。基本的繁殖数量由下一代矩阵法计算。结果表明,无病平衡点是全局渐近稳定,系统是一致持久性。给出一些数值模拟来解释我们的分析结果。我们的结果表明,控制和消除疟疾,它是非常必要的政府减少复发率,提高回收率。

1。介绍

疟疾是由疟原虫引起的疟原虫,这是通过受感染蚊子的叮咬传播。世界上大约一半的人口面临疟疾风险。大多数疟疾病例和死亡发生在撒哈拉以南非洲地区。2011年,99个国家和地区的疟疾传播(1]。最近,疟疾的发病率不断上升,由于耐药性。已经采取了各种控制策略来减少疟疾传播。

许多流行病模型分析了数学和应用特定疾病(2,3]。自从第一个疟疾传播的数学模型是由罗斯(4),相当多的数学模型是制定调查疟疾的传播动力学(5- - - - - -12]。Ngwa和舒5]分析疟疾流行的确定性微分方程模型涉及人类和蚊子数量的变量。Ngwa [6]分析数学模型流行疟疾涉及变量人类与蚊子种群中,并使用一个微扰近似的地方病平衡点分析重要的情况下,疾病相关的死亡率是零,虽小但意义重大。此外,quasistationarity,随机过程发生振荡意味着人口的大小可以用稳定的流行近似确定的平衡。Chitnis et al。7,8]研究向量模型,人类和物种遵循物流的人口,和人类移民和disease-induced死亡。他们提出一个分岔分析和分析疟疾蚊子periodically-forced差分方程模型捕获季节性的影响,让蚊子吃异构主机人口。Chamchod和布里顿9]vector-bias项合并到一个疟疾传播模型考虑到蚊子传染人类的更大吸引力的不同概率蚊子到达人类取决于他是否感染性或敏感。考虑到寄生虫的潜伏期在人类与蚊子,延迟Ross-Macdonald模型被阮et al。10]。此外,肖和邹11)用数学模型来探讨传染病引起的多个物种的自然关注一个地区的疟疾寄生虫。他们发现疫情涉及两个物种在一个区域是有可能的。李(12)提供了一个基本分析stage-structured疟疾模型和显示基线和stage-structured疟疾模型进行逆向分岔。

最近,李et al。13疟疾)考虑一个快速和慢速动态模型与复发,使用几何和分析全球动力学奇异摄动理论。他们发现应治疗有症状的患者完全和充分而不是无症状感染。另一方面,对于无症状的患者,他们的研究结果有力地表明,控制和消除疟疾,是非常必要的,政府严格控制复发率。Nadjm和behren14),复发是当症状出现后,寄生虫已经失去了血液但存在休眠hypnozoites肝细胞。这日到24日之间常发生周,是常见的间日疟原虫和p .那感染。其他文件也考虑气候影响复发的戒烟和戒酒,请参阅[15,16)和引用引用。

Chitnis et al。7]假设恢复人类一些免疫疾病和没有得到临床病了,但他们仍然在他们的血液流港低水平的寄生虫,能通过感染蚊子。一段时间后,他们失去了免疫力并返回到易感类。不幸的是,他们并不认为恢复人类将回到他们的感染状态,因为不完整的治疗。李等人。13)考虑恢复人类的复发但不可能返回到易感类。

出于这些作品,在这篇文章中,我们提出一个更现实的数学模型,疟疾,我们假设恢复人类返回到易感类和复发。基本再生数计算和持久性理论用于分析系统的一致持久性。

本文的组织如下。在下一节中,疟疾复发是制定的数学模型。节3,基本的繁殖数量和无病平衡的稳定性。特有的均衡的存在性和一致持久性证明节4节中,给出了一些数值模拟5。在最后一节中,我们给出一些简短的讨论。

2。该模型

2.1。系统描述

在本节中,我们介绍了一个数学模型的疟疾复发。因为主机可能会反复感染由于没有获得完全免疫的人口被认为是所描述的SIRS模型。蚊子被假定不恢复寄生虫的蚊子种群可以SI模型进行描述。人口的总数是由和。的结构模型如图1。转移图导致下列常微分方程组: 在哪里,,,,,,代表的数量受到人类感染人类,恢复人类,受到蚊子,传染性的蚊子,人类人口的总大小,分别和人口的总大小的蚊子。是人类的自然出生率和死亡率,是自然出生和死亡的蚊子,是一种传染性的蚊子在人类受到人类的传输速度,和代表感染和恢复人类易受感染蚊子,蚊子传播的几率是治疗速度,回收率(个人恢复类可以回到易感类,因为他们有少量的寄生虫,这将迅速被清除自己的免疫系统),复发率,每个个体是蚊子的数量。所有的参数可以在表中找到1。在模型中,和是常数,所以我们引入新变量的比例如下: 与。然后系统(1)成为

2.2。基本性质

2.2.1。不变的地区

请注意,从(1)我们有 因此,整个人口和蚊子的人口是常数。由于系统(3)监控人口,它是合理的假设所有状态变量和参数都是非负的。此外,它可以表明该地区 positively-invariant。因此,每个系统的解决方案(3),与初始条件,仍。因此,系统的极限集的解决方案(3),包含在。此外,在通常的存在唯一性,并延续的结果保持系统,这样的系统(3),是适定的临床流行病学和数学。所以我们考虑动力学系统(3)的设置在这篇文章中。

2.2.2。积极的解决方案

对于系统(3),以确保系统的解决方案和积极的初始条件仍然是积极的,必须证明所有状态变量都是非负的,所以我们有以下引理。

引理1。如果,解决方案,,的系统(3)是积极的。

证明。在给定的初始条件下,很容易证明系统的解决方案(3)是积极的;如果没有,我们假设一个矛盾:存在一个第一次这样 存在一个,这样 存在一个,这样 在第一种情况下,我们有 这是一个矛盾的含义吗,。
在第二种情况下,我们有 这是一个矛盾的含义吗,。
第三,我们有 这是一个矛盾的含义吗,。因此,解决方案,,的系统(3)保持积极。

3所示。模型的分析

模型(3)有一个无病平衡点和一个地方病平衡点。

3.1。无病平衡点和基本的繁殖数量

模型的无病平衡点 在以下,基本生殖系统(3)将通过制定下一代矩阵法(17]。

让,然后系统(3)可以写成 在哪里 的雅可比矩阵和在无病平衡点分别是, 用数量模型复制因此,由。在这里人类与疾病传播的感染以及感染通过受感染的蚊子敏感的人。受蚊子感染疟疾感染人类的两种方式,即由感染或复苏。敏感的人类感染后有效接触受感染的蚊子。

3.2。全球的稳定

定理2。对于系统(3),无病平衡是局部渐近稳定如果。

证明。使直线化系统(3)是由无病平衡 因此,特征方程 与,,。我们使用Routh-Hurwitz标准(18证明当,所有的根(17)有负实部。从(17),我们看到和 为便于符号,我们介绍和,所以 因此,对于,。最后,。因此,对于,所有的根(17)有负的实际部分。无病平衡点的如果是局部渐近稳定。

在下面,我们证明当,全局渐近稳定在吗。

定理3。对于系统(3),无病平衡是全局渐近稳定如果。

证明。我们介绍下面的李雅普诺夫函数19,20.]: 在哪里,,。很容易看到,,都是积极的。的导数是由 如果,然后。正如我们所知,和,所以我们获得。此外,只有在或。最大的不变是单例。拉萨尔的不变性原理(21),全局渐近稳定在吗。

3.3。地方病平衡点

3.3.1。地方病平衡点的存在

定理4。如果系统(3)有一个独特的地方性平衡,在那里

证明。它遵循从系统(3), 从第二个方程(23),我们得到 替换到第三个方程(23),我们有 然后用(24)和(25)的第一个方程(23),我们得到 因此,如果,没有积极的根(26),而如果有一个积极的根。

3.3.2。统一的疾病的持久性

我们使用的持久性理论动力系统显示统一的持久性的疾病。让是一个封闭的积极的不变子集,一个连续流定义。我们表示限制来通过和注意,一般不是不变的。让是最大的不变的在。假设是一个封闭的不变集和存在一个封面吗的,在那里是一个非空的指数集。,,是两两不相交的封闭的不变集。此外,我们提出以下假设和引理。所有是孤立的不变集的流。,是无环;也就是说,任何有限的子集没有形成一个循环。()任何紧凑的子集许多组包含最多有限(22]。

引理5(见[22定理4.3])。让是一个封闭的积极的不变子集一个连续的流定义。假设有一个常数这样是点耗散在和假设()持有。然后流是均匀持久,当且仅当。对于任何,在那里,,是内部组。

通过这个引理,我们可以显示疾病的一致持久性,类似于(定理2.3的证明13),我们有以下。

定理6。在系统(3),假设最初,疾病,疾病是均匀持久;也就是说,有一个常数这样,,。

证明。我们设置;我们将以下证明引理的条件5感到满意。很明显是孤立的。因此,很简单非循环。因此,条件()持有。我们也可以获得由引理是点耗散1。现在,我们表明,;假设这不是真的,那么存在一个解决方案这样:。任何足够小的常数,存在一个正的常数这样,尽管。
注意的是, 因此,如果,因为,然后通过一个标准的比较论证和nonnegativity解决方案的 与初始数据,收敛于。因此,在那里,被定义为 在这里,。的导数是由 因此,趋于无穷大或正数,这是一个矛盾。因此,我们有。然后,我们得到为一个常数。第二个和第三个方程(3)和引理的使用1,我们有,这样。表示,,,。定理的证明6就完成了。

4所示。数值模拟

为了说明上面的分析结果,我们给出一些模拟使用的参数值表2。数值结果显示在数字2- - - - - -5。首先,我们选择,,,数值模拟,无病平衡是全局渐近稳定(图2)。第二,我们选择,,,数值模拟疾病是均匀持久(图3)。

最后,用于显示复发的影响和恢复率基本繁殖数量,我们给的关系和(图4),以及之间的关系和(图5在数值模拟)。从数据4和5,我们知道增加对复发率,而减少对回收率。

5。讨论

一个普通的微分方程制定疟疾的传播。模型展览两个平衡,即无病平衡点和地方病平衡点。通过构造李雅普诺夫函数和坚持的动力系统理论,它表明,如果,无病平衡点是全局稳定的,如果,这种疾病是均匀持久。一些数值模拟复发率和恢复速度。增加对复发率,而减少对回收率。我们的研究结果有力地表明,控制和消除疟疾,它是非常必要的政府减少复发率,提高回收率。

利益冲突

代表所有作者,海丰霍宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的部分NNSF中国(10961018),NSF中国甘肃省(1107 rjza088),甘肃省的杰出青年NSF中国(1111 rjda003),基本要求的特别基金在中国的甘肃省大学的研究,和香港的发展计划刘在兰州理工大学杰出青年学者。