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精确和近似解非线性pde

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体积2014年| 文章的ID271960年| https://doi.org/10.1155/2014/271960

的解决方案和守恒定律Drinfel 'd-Sokolov-Wilson系统

凯瑟琳Matjila,¹ 本Muatjetjeja ,¹ 和Chaudry马苏德Khalique ¹

学术编辑器: 宝健香港

收到了 2014年1月22日

接受 2014年3月04

发表 2014年3月27日

文摘

介绍了我们研究Drinfel 'd-Sokolov-Wilson系统,随着水波的典范。首先我们获得这个系统使用的精确解扩展方法。除了精确解我们还为底层系统使用Noether构造守恒定律的方法。

1。介绍

古典Drinfel 'd-Sokolov-Wilson (DSW)下手系统给出的在哪里,,,非零常数,研究了(1]。作者获得各种类型的显式解决方案(1)利用动力系统的分岔方法和定性理论。此外,姚明和李(2)和c·刘,刘x [3)获得一些DSW系统(下手的精确解1使用直接代数法)。古典DSW系统下手的一种特殊情况,即, 研究了由几个作者(4- - - - - -8]。副大臣et al。4调查的孤子结构(2),并通过使用一个代数方法,风机(5建造一些确切的解决方案。通过使用改进的广义雅可比椭圆函数方法,姚(6)获得一些行波解(2),而通过应用Adomian分解方法,公司(7)获得近似双周期波解(2)。赵和智8]构造的双周期解(2通过使用一种改进的)扩展方法。

在本文中,我们研究了Drinfel 'd-Sokolov-Wilson (DSW)下手系统给出的这可以从(1)通过和。我们获得精确解和构造守恒定律DSW系统(下手的3)和(3 b)。

非线性偏微分方程(pde)模型不同的非线性现象等自然科学和应用科学的力学、流体力学、生物学、等离子体物理、金融和数学。因此找到精确解的非线性pde是非常重要的。不幸的是,这是一个非常艰巨的任务,没有系统的方法,可以用来找到非线性pde的精确解。然而,在过去的几十年里开发了一些新方法来获得精确解非线性pde。这些方法包括exp-function法、齐次平衡方法,正弦余弦方法,双曲正切函数展开法,扩展函数法(9- - - - - -15]。

我们回想一下,守恒定律是物理定律的数学表达式,如能量守恒、质量,和动量。他们的解决方案过程中具有重要意义,减少pd。在文献中,发现守恒定律已经被广泛应用于研究存在,唯一性,稳定性的解决方案的非线性偏微分方程(16- - - - - -18),以及开发和使用的数值方法(19,20.]。同时,守恒的向量与谎言点对称曾发现偏微分方程的精确解21- - - - - -23]。有各种各样的方法构造守恒定律。变分问题的方法之一是通过诺特定理24]。为了应用诺特定理,合适的拉格朗日的知识是必要的。对非线性微分方程没有拉格朗日,几种方法已经开发出来(见,例如,25- - - - - -30.])。

本文的结构如下。节2的解决方案(3)和(3 b)使用扩展功能的方法。节3,我们构造Noether的对称性和守恒的向量DSW系统(下手3)和(3 b)。结论提出了部分4。

2。精确解的DSW系统(下手3)和(3 b)

在本节中,我们获得的精确解DSW系统(下手3)和(3 b)。我们第一次转换系统(3)和(3 b)成一个系统的常微分方程通过使用替换在哪里。用(4)进入系统(3)和(3 b)和集成,我们获得以下常微分方程(常微分方程): 在积分常数为零。从第一个方程,我们得到。用这个值的在第二个方程的系统,我们获得现在上面的方程乘以和集成,而积分常数为零,我们到达一个一阶变量分离方程。积分方程和恢复回原来的变量,我们获得在哪里是一个任意常数的集成。自,我们有因此,我们得到一个确切的解决方案的DSW系统(下手3)和(3 b)。

为了获得更精确的解决方案的DSW系统(下手3)和(3 b),我们采用扩展函数法(15]。我们假设ODE的解决方案(6)可以表示为多项式通过在哪里平衡数量待定,函数满足二阶线性的颂歌与和被任意常数。在我们的例子中,平衡过程。因此用(11)(6和利用10),然后将所有条款等同于相同的权力为零收益率以下代数方程组: 解决上面的方程,借助数学软件,我们获得因此,我们获得以下两种类型的行波解DSW系统下手。

为,我们得到双曲函数的行波解为旅行,我们获得了三角函数的解决方案

3所示。DSW方程下手的守恒定律(3)和(3 b)

在本节中,我们构建的守恒定律DSW系统(下手3)和(3 b)。自从三阶DSW系统(下手3)和(3 b)没有一个拉格朗日,我们不能应用Noether定理。然而,如果我们把三阶DSW系统(下手3)和(3 b)四阶转换的援助,(31日),我们得到这个系统有一个拉格朗日它满足了欧拉方程在哪里和是由分别。

现在让我们考虑向量场

第二次延长运营商,的的话,是在哪里我们回想一下,由(20.),是一个Noether对称(16一个)和(16 b),如果它满足在哪里和是测量功能。扩大上述方程这导致帕金森病的一个超定的系统功能,。解决pd体制我们可以选择和当他们为微不足道的一部分守恒的向量。二阶拉格朗日守恒的向量是由(24,31日] 在哪里和是特征函数。现在使用(26)和(25),,,我们获得以下独立守恒的向量系统(3)和(3 b): 我们注意到(27)是一种非局部守恒的向量,而(28)是一个本地守恒的向量。同时,对于任意函数和,我们获得以下保守向量: 这给了我们无限多的外地的守恒定律。

4所示。结论

的三阶DSW系统(下手3)和(3 b)进行了研究。精确解的使用直接集成和DSW系统获得下手扩展功能的方法。获得的解决方案是双曲线和三角函数的解决方案。除了守恒定律也派生。这个系统没有拉格朗日。为了调用诺特定理我们使用了转换和将DSW系统四阶系统,下手一个拉格朗日。守恒定律被获得,包括本地和无数外地守恒的向量。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

所有作者要感谢联盟和西北大学,麦非肯校园,为金融支持。

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